第4章

なぜ指数関数は魔法なのか

傾きが自分自身のコピーになる曲線はある？

何度も何度も掛け算

テオ: 前回、コーヒーと室温の差は、その差自体に比例する速さで縮まった。差が大きければ速く縮み、小さければゆっくり縮む。そんなふるまいをするのはどんな曲線だろう？

ジューン: 第3章にもうヒントがあったよね。小さなステップのたびに、差は同じ数で掛け算されていた。だから、一番シンプルな掛け算マシンから始めよう：倍々だ。

毎秒2倍になるものを考えよう。1 秒後には 2。2 秒後には 2 × 2 = 4。3 秒後には 2 × 2 × 2 = 8。これを $2^t$ と書く。右上の小さな t は、2 を何回掛けたかを数えている。

秒数をゼロより下や、0.5 秒刻みにドラッグしてみよう。0 秒はまだ一度も倍になっていないから $2^0 = 1$ 。1 秒戻ると倍が1回取り消される： $2^{-1} = \tfrac12$ 。そして半秒は、2回使うとちょうど1回分の倍になる数でなければならない： $\sqrt2 \approx 1.41$ 。1.41 × 1.41 ≈ 2 だからね。

ミカ: つまり指数は整数じゃなくてもいいんだ。「どれだけ掛け算が起きたか」というだけ。それは少しでも、たくさんでも、マイナスでもいい。

この倍々を、棒グラフのはしごにしてみた。各ステップを半分に、さらに4分の1に、さらに細かく刻んで、ルーペを動かしてみよう：

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ミカ: ルーペをどこに置いても、ステップは自分の高さの同じ割合だけ上がる。高い棒はたくさん、低い棒は少しだけ。でも割合はいつも同じ。

テオ: それこそコーヒーの性質だ：変化はその量に比例する。最後の表示も見て。ステップを細かくすると、毎秒あたりの上昇 ÷ 高さはある数に近づいていく。倍々なら約 0.69。これ、覚えておいて。

小刻みに増やす

ミカ: $e^t$ は教科書で見たことあるよ。 $e$ って、数学者が好きなだけの適当な数なんじゃないの？ 2.718 とか、なんとか。

ジューン: 言い合うのはやめよう。増え方のルールを作って、どんな数が出てくるか見てみよう。

ルールはこれ：毎秒、今ある量の 100% だけ増える。一番手抜きなやり方は、巨大な1ステップ：1 秒後には 1 + 1 = 2。でもそれは第3章のジューンの大股ステップの技だ。1 秒間ずっと、最初の増え方を使っていた。山はどんどん大きくなっているのにね。

じゃあ、ステップを小さくしよう。50% を2回：1.5 × 1.5 = 2.25。25% を4回：1.25 × 1.25 × 1.25 × 1.25 ≈ 2.44。どのステップも、すでに増えた山をさらに増やしている。

ミカ: ステップを増やせば、もっと増える！無限に刻めば、無限に増えるはず。私、お金持ちになれるぞ。

まず予想しよう！ 1 秒をもっと刻んでいこう：1000 ステップ、100 万ステップ、好きなだけ。1 秒後の合計はどうなる？

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ミカ: 止まっちゃった！ 100 ステップでも 1000 ステップでも、2.718 を超えない。無限の財産はおあずけだ。

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この天井が数 $e$ だ。ステップを無限に小さくしたときに近づいていく先：

e = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} \approx 2.71828

テオ: 今度はウィジェットを減るに切り替えて。 $\left(1 - \frac1n\right)^n$ だと $1/e \approx 0.368$ に落ち着く：36.8% が残り、63.2% が消えた。第3章の時定数ものさしの 63% だ！

ジューン: それって私のコーヒーだ！1τをn回の手作業ステップに刻む、 $\Delta t = \tau/n$ ：各ステップで差は $1 - \frac1n$ 倍になるから、1τ後の差は元の $\left(1 - \frac1n\right)^n$ 倍。巨大な1ステップ（ $n = 1$ ）ならぴったり室温に着地する。小さなステップだと 36.8% が残る。

自分自身をコピーする曲線

今度はものさしで探そう。どの点でも傾きが高さの一定倍になる曲線がほしい。はしごからすると、どの指数関数 $b^t$ も当てはまるはずだ： $2^t$ 、 $3^t$ とその仲間たち。それぞれの曲線に接線を引いて、傾きを高さで割ってみよう。

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どの曲線に沿ってカーソルをドラッグしても、傾き ÷ 高さ の表示はびくともしない。どの指数関数も、一定の数を掛けた形で自分自身をコピーしている。底が2ならその数は約 0.693（はしごの縮んでいくステップが近づいていた数だ）。底が3なら約 1.099。

そしてちょうど一つの底で、その掛け算の数が 1 になる。すると傾きの曲線は曲線そのものにぴったり重なる。それはどの底？

\frac{d}{dt}\,e^{t} = e^{t}

ミカ: また 2.718 だ！小さなステップで出てきたのと同じ数。まったく違う2つの探し方で、同じ1つの数。わかった、前言撤回： $e$ は全然ランダムじゃない。

テオ: 同じなのは当然だよ。「毎秒、今ある量の 100% だけ、なめらかに増える」は、傾き = 高さという意味なんだ。1つの願いが、2つの衣装を着ているだけ。

どの底も、実は e

ものさしによると、底 2 の傾き ÷ 高さ ≈ 0.693。これは偶然じゃない：2 は $e$ が 0.693 秒だけ成長した姿、 $2 = e^{0.693}$ なんだ。だから

2^{t} = \left(e^{0.693}\right)^{t} = e^{0.693\,t}

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正の底はどれも $e$ の何乗かだ。その指数には名前がある：自然対数 $\ln b$ 。そしてそれは、ものさしで測った傾き ÷ 高さそのもの。1 より小さい底は指数がマイナスになる：縮んでいくんだ。そして累乗どうしを掛けると指数は足し算になるから、 $\ln(a\,b) = \ln a + \ln b$ ：対数は掛け算を足し算に変える。第12章でこれが活躍するよ。

スピードアップ：e^(at)

現実のシステムはみんな同じ速さで変化するわけじゃない。だから指数にノブを付けてみよう： $e^{at}$ 。数aが時間を伸ばしたり縮めたりするんだ。

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すると、傾き÷高さは曲線上のどこでもちょうどaになる。理由はこう考えるといい： $e^{at}$ は $e^{t}$ の映像をa倍速で再生したものだから、どの傾きもa倍急になる。aが正なら成長する（しかもどんどん速く）。aが負ならコーヒーの隙間みたいにゼロへ向かって縮む。a = 0なら、そのままじっとしている。

\frac{d}{dt}\,e^{at} = a\,e^{at}

ノブと底は、同じものの2つの見方だ： $e^{at} = \left(e^{a}\right)^{t}$ 。1 秒ごとに、曲線は自分自身に $e^{a}$ を掛ける。

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まず予想しよう！ $e^{2t}$ の傾きを取って、さらにその傾きの傾きを取ったら？

\frac{d}{dt}e^{at} = a\,e^{at},\qquad \frac{d^2}{dt^2}e^{at} = a^2\,e^{at}

テオ: 待って、これはすごい。指数関数では、傾きを取る（微積分）がaを掛ける（ただの代数）に変わるんだ。

指数関数を当てはめてみる

傾きが、そのもの自身に決まった数を掛けただけのルール（2乗もなく、時間とともに変わる数もない）、たとえばコーヒーのルールなら、指数関数を試せる：代入して、どのaの値ならルールが成り立つか見るんだ。他の種類のルールには別の形が必要かもしれない。

コーヒーのルールは $\frac{dT}{dt} = -\frac{T - 20}{\tau}$ で、τ = 10分だった。予想は $T = 20 + 70\,e^{at}$ （70は最初の隙間）。予想の傾きがルールの要求と一致するまでaを調整しよう。

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代数はスライダーと一致する。予想の傾きは $a \cdot 70e^{at}$ （20は変わらないので傾きは0、70はただ一緒についてくるだけ）。ルールは $-70e^{at}/\tau$ を要求する。 $70e^{at}$ が両辺に現れて消える：

a \cdot 70e^{at} = -\frac{70e^{at}}{\tau} \quad\Longrightarrow\quad a = -\frac{1}{\tau}

テオ: そして第3章で手作業で作った点にぴったり乗る。指数関数を当てはめる作戦は成功。aを決めるこの方程式は特性方程式と呼ばれる。

ばねがこのトリックを壊す

ジューン: 跳ね返るものに試してみよう。ばねについたおもりは、P制御のドローンとほぼ同じ：目標から離れるほど強く引き戻される。

ばねは力 $-kx$ で引き戻す。力 = 質量 × 加速度で、加速度は傾きの傾き（第3章）。だからルールは：

m\,\frac{d^2x}{dt^2} = -k\,x

$x = e^{at}$ を予想する。傾きの傾きは $a^2 e^{at}$ 、だから $m a^2 e^{at} = -k e^{at}$ 。 $e^{at}$ を消す：

a^2 = -\frac{k}{m}

k/m = 4 のとき、2乗すると −4 になる数が必要だ。探してみよう：

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テオ: 2乗が負になることはない。青い放物線は緑の線まで下がらない。つまりそんな a は存在しない。この作戦は失敗だ。ばねは指数関数では表せないんだ。

ミカ: でもばねはそこにあって、楽しそうに跳ねている。動きはある。もしかしたら間違っているのはばねじゃなくて、何を数とみなすかという私たちの考えのほう？

テオ: …うーん。「そんな数はない」って言うの、ちょっと早かったかも。僕が知っている数はどれも2乗すると正になるから。

ここまでにわかったこと

わかったこと

$b^t$ は「b を t 回掛ける」という意味で、t は何でもいい： $2^0 = 1$ 、 $2^{-1} = \tfrac12$ 、 $2^{0.5} = \sqrt2$ 。
毎秒 100% の成長をどんどん細かいステップで刻むと、 $e \approx 2.718$ で頭打ちになる。同じように減らすと $1/e \approx 0.368$ が残る：第3章の 63% ものさしだ。
指数関数の傾きは自分自身のコピーだ：傾き ÷ 高さは一定。
$e \approx 2.718$ はその比がちょうど 1 になる底だ。 $e^{at}$ なら比は a になる。
$e^{at}$ の傾きを取るのは、a を掛けるだけ。微積分が代数になる。
指数関数を仮定して、ルールに当てはめて、a について解く。コーヒーなら a = −1/τ。
ばねの場合、この仮定は $a^2 = -k/m$ を要求する。そして普通の数ではそれは無理。まだね。

ドローンとばねは揺れる。指数関数は増えるか減るかだけ。ただし…数を2乗して負になることがある？

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