第9章

微積分を代数に

微積分を代数に変えられる？

傾きが掛け算になる

ミカ: 第4章の付箋、覚えてる？ $e^{at}$ なら、傾きを取るのはただの $\times\, a$ だった。さあ、プローブが傾きをどう扱うか見てみよう。

新しい言葉

$f'$ と $f''$: $\frac{df}{dt}$ 、つまり $f$ の傾きと、その傾きの傾きの略。第7章では点をつけて $\dot x$ 、 $\ddot x$ と書いた。
$\mathcal{L}\{f\}$: 「 $f$ の変換」： $F(s)$ と同じもの。 $f$ が長い式のときに便利。
大文字: 大文字は、その小文字の変換を表す： $F$ は $f$ の、 $H$ は高さ $h$ の、 $X$ は $x$ の変換。

これが全体を価値あるものにする性質だ。信号の傾きを取ると変換はどうなる？ $f = e^{at}$ で試してみよう。その傾きは $a e^{at}$ （第4章）だから、

\begin{aligned} \mathcal{L}\{f'\} &= \frac{a}{s-a} = \frac{s}{s-a} - 1 \\ &= s\,F(s) - f(0) \end{aligned}

傾きは $s$ を掛けることに、初期値 $f(0)$ を引いたものになった。微積分が代数になった！

第9章：微積分を代数に ↗

テオ: 待った。 $e^{at}$ は特別だから、 $e^{at}$ ではうまくいく手品なんでしょ。これが丸暗記するルールだなんて言わないでよ。どんな曲線でも成り立つなんて、僕は信じないからね。

ジューン: じゃあ、君が描ける一番ぐちゃぐちゃな曲線で試してみよう。

1つ目のグラフに好きな信号を描いてみよう（またはプリセットを選ぶ）。その傾きを計算して、面積マシンでルールの両辺を求める：傾きの変換と、 $s\,F(s) - f(0)$ 。2つ目のグラフは、すべての $s$ に対するその両辺だ。

第9章：微積分を代数に ↗

テオ: 一致してる。僕のよれよれの落書きでも。丸暗記のルールなんかじゃなかった。面積マシンがどんな傾きにもすることなんだ。

ジャンプはどうなる？

テオ: 「ジャンプ」を押しても、まだ一致する。でもジャンプはなめらかじゃない。崖に傾きなんてないよ！

1つ目のグラフの傾きを見てみよう。 $t = 2$ に背の高い細いとげがある。コンピューターの傾きは、ジャンプをものすごく急な1回の上りとして見ていたんだ。このとげを除くと、両辺は $1.4\,e^{-2s}$ だけずれる（ジャンプは高さ1.4、 $t = 2$ ）。 $s = 1$ で約0.19だ。

\text{とげを除いたときのずれ} = 1.4\,e^{-2s}

ジューン: つまり急なジャンプも変化には違いない。一瞬に押し込まれているだけで、ルールはどんな変化も数える。このとげ、また出てきそうな気がする。

足りなかった代数を、絵で見てみよう。積が変わる理由は2つある。プローブが止まっている間に $f$ が変わること、そして $f$ が止まっている間にプローブが変わること。辺が $f$ と $e^{-st}$ の長方形を思い浮かべよう。一方の辺の方向に伸びて、次にもう一方の方向に伸びる。この手には名前がある。部分積分だ。

\big(f\,e^{-st}\big)' = f'\,e^{-st} - s\,f\,e^{-st}

その変化を0から∞まで足し合わせると（第3章：面積は傾きを元に戻す）、終わりの値から始まりの値を引いたものになる。かっこ $\big[\,\cdot\,\big]_0^\infty$ はそういう意味だ：

\big[f\,e^{-st}\big]_0^\infty = \int_0^\infty f'\,e^{-st}\,dt - s\,F(s)

遠い端ではプローブが全部をゼロに押しつぶしているので（ $s$ が信号の成長に勝っている限り）、左辺はただの $0 - f(0)$ 。 $s\,F(s)$ を移項すれば、ルールの出来上がり。

テオ: じゃあ $f(0)$ はごまかしじゃないんだ。最初にあった長方形なんだね。

同じルールをもう一度、今度は $f'$ に使う。その始まりの値は $f'(0)$ 、つまり初速度だ：

\begin{aligned} \mathcal{L}\{f''\} &= s\,\mathcal{L}\{f'\} - f'(0) \\ &= s\big(s\,F(s) - f(0)\big) - f'(0) \\ &= s^2 F(s) - s\,f(0) - f'(0) \end{aligned}

自分たちの表

教科書には「ラプラス変換表」が、まるで空から降ってきたみたいに載っている。私たちは1行ずつ自分で導く。どの行も、1つの信号にプローブと面積のマシンを使っただけ。そして公式が実際に測った面積と合うかを確かめる。

第9章：微積分を代数に ↗

ミカ: サインの行が一番のお気に入り。サインはただの双子の回転子で、それぞれの回転子の変換は $a = \pm i\omega$ にした指数関数の行だよ。第6章では双子を足してコサインを作った。代わりに引くと、横向きの部分（虚部）が打ち消し合って $2i\sin\omega t$ が残る。 $2i$ はそこから来てたんだ！そして双子の分母を掛け合わせると、第7章の鏡像の積 $(s - i\omega)(s + i\omega) = s^2 + \omega^2$ になる。

（ $a$ が複素数でも、 $s$ の左右の部分が $a$ の左右の部分に勝っていれば、指数関数の行はそのまま使える。双子の場合は単に $\sigma > 0$ だ。）

そして最後の行は新しい計算がまったく要らなかった。 $e^{-\sigma t}$ を掛けると、 $s$ が $s+\sigma$ にずれるだけ。4行、全部導いて、全部確かめた。

もう1つ、こっそり使ってきたルールがある。面積マシンは公平だ。信号を3倍の高さにすると、面積のどの薄切りも3倍になるので、全体の面積も3倍。2つの信号を足せば、面積も足し算になる。数学者はこれを線形性と呼ぶ。

第9章：微積分を代数に ↗

ジューン: だから方程式を1項ずつ、前についた数ごと変換できるんだ。ドローンの方程式はまさにそういう足し算。表を使おう！

通分を元に戻す

テオ: これから出てくる答えは、どれも1つの大きな分数になる。でも私たちの表が知っているのは小さな分数だけ： $\frac1s$ 、 $\frac{1}{s-a}$ 、サインたち。大きな分数を、どうやって表の部品に分ければいい？

学校では、分母をそろえて（通分して）分数を足した。ここでは逆向きに進む。1つの分数から出発して、足すとそれになる小さな部品を見つけるんだ。これを部分分数分解という：

\frac{1}{s} + \frac{1}{s+2} = \frac{2s + 2}{s\,(s+2)} \qquad\text{だから}\qquad \frac{2s+2}{s\,(s+2)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+2}

それぞれの部品の分子には何が入る？ **分母にある $s$ の次数1つにつき、未知数を1つ。** $s$ や $s + 2$ のような分母には、ただの数が1つ。 $s^2 + 2s + 5$ のような2次式の分母には $B\,s + C$ 。2次式には2つ分の余地があるから、未知数も2つだ。

第9章：微積分を代数に ↗

ジューン: スライダー1本で部品が1つ動く。そして部品は時間の上でもそのまま足し算になる。 $A$ の部品はステップで、2次式の部品は消えていく揺れ。右の大きな分数は、それらを足したものなんだ。

1次の部品の数を求めるには近道がある。指で隠す技（カバーアップ法）だ。その部品の分母を掛けてから、分母をゼロにする値を $s$ に入れる。ほかの部品は全部消えて、その部品の分子だけが残る。

A = \Big[s \cdot \frac{2s+2}{s\,(s+2)}\Big]_{s=0} = \frac{2}{2} = 1, \qquad B = \Big[(s+2) \cdot \frac{2s+2}{s\,(s+2)}\Big]_{s=-2} = \frac{-2}{-2} = 1

2次式の分母は、表で読めるようになるまでにもうひと手間いる。平方完成で $(s + \sigma)^2 + \omega^2$ の形に押し込むんだ。真ん中の数を半分にして2乗する。すると $s^2 + 2s + 5 = (s + 1)^2 + 4$ 。 $\sigma = 1$ 、 $\omega = 2$ の減衰するコサインとサインだ。

代数でドローンを解く

第2章のP制御のドローンだ。今回はホバリング用のおまけの推力なしで、1 mの台の上から始める。 $t=0$ で放して、2 mを目標にする。その瞬間からの計算では、新しい目標値と一定の重力が、それぞれステップのように変換される：

m\,\out{h}'' + c\,\out{h}' = \eff{K_p}\,(\sp{2} - \out{h}) - \dis{m g}

ステップ1： すべての項を変換する。面積はスケールして足し算になるので（表の節）、項ごとに別々に変換できる。大きさ $r$ のステップは $r/s$ になり、傾きは $s$ を掛けることになる。私たちが書いたのはこれ：

m\,s^2\out{H} + c\,s\,\out{H} = \eff{K_p}\Big(\frac{\sp{2}}{s} - \out{H}\Big) - \frac{\dis{m g}}{s}

ステップ2： あとは代数だ。 $\out{H}$ を片側に集めてから割る：

\begin{gathered} \begin{aligned} &(m s^2 + c s + \eff{K_p})\,\out{H} \\ &\quad = \frac{\eff{K_p}\,\sp{2} - \dis{m g}}{s} \end{aligned} \\[8pt] \out{H}(s) = \frac{N(s)}{s\,\big(m s^2 + c s + \eff{K_p}\big)} \\[8pt] N(s) = \eff{K_p}\,\sp{2} - \dis{m g} \end{gathered}

ミカ: 見て。傾きがもう1つも残ってない。文字を並べ替えてるだけ。テオ、ノートの煙が止まったよ。

ステップ3： 上の節と同じように、表の部品に分ける。 $s$ の部品の分子には数を1つ、2次式の部品の分子には $B s + C$ ：

\out{H}(s) = \frac{A}{s} + \frac{B s + C}{m s^2 + c s + \eff{K_p}}

$A$ 、 $B$ 、 $C$ はどうやって求める？両辺に共通の分母 $s\,(m s^2 + c s + \eff{K_p})$ を掛ける：

\begin{aligned} N(s) &= A\,(ms^2+cs+\eff{K_p}) \\ &\quad + s\,(Bs+C) \end{aligned}

指で隠す技（カバーアップ法）

$A$ には近道がある。 $\out{H}$ に $s$ を掛けると、 $A/s$ 以外の部品にはどれも上に $s$ が残る。 $s = 0$ にすると、それらは全部消える。生き残るのは $A$ だけ：

A = \Big[s\,\out{H}(s)\Big]_{s=0} = \frac{N(0)}{\eff{K_p}} = \sp{2} - \frac{\dis{mg}}{\eff{K_p}}

そして $s\,\out{H}$ の $s = 0$ 近くの値は、ドローンが最終的にたどり着く場所だ。そもそも落ち着くならね。最後の高さが代数からそのまま出てくる。シミュレーションは要らない。

ミカ: ちょっと待って。何も解かずに、どこに落ち着くかが読めるの？ずるしてるみたい。

テオ: ずるだよ。ほかが全部消えていかない限りはね。ここでのほかの部品はドローン自身の揺れで、それは消えていくから、残るのは $A$ だ。もし分母の根が右半分にあったら、 $A/s$ はやっぱり分数の中にいるけど、大きくなっていく部品がそれを飲み込んで、ドローンはどこにも落ち着かない。確かめ方は第10章で。

それから両辺を、 $s$ の次数ごとに比べる。ただの数の項から $A$ が、 $s^2$ の項から $B$ が、 $s$ の項から $C$ が出る：

\begin{gathered} A = \sp{2} - \frac{\dis{mg}}{\eff{K_p}} \\ B = -m\,A, \qquad C = -c\,A \end{gathered}

ここで新しい物理は出てこない。通分を元に戻して、表で時間に戻せる部品にしただけだ。 $A$ がドローンの出発点を気にしていないことに注目しよう。

テオ: しかも $e^{st}$ を一度も当て推量しなくてよかった。表が代わりに当ててくれたんだ。

ステップ4： 導いたばかりの表で各部品を引く： $A/s$ はステップ、2つ目の部品は減衰するコサインと減衰するサインの和だ（下の寄り道で、それがどうその行に合うかを見る）。 $h(t)$ を読み取る。

平方完成：分母に第7章が隠れていた

2つ目の部品はまだ表にない。分母がただの2次式だからだ。それを $(s+\sigma)^2 + \omega^2$ の形に押し込むと（上の節と同じ平方完成）、減衰サインの行にぴったり合う。分子も同じように、コサインの行の分とサインの行の分に分かれる：

\begin{gathered} 0.5\,s^2 + s + \eff{K_p} = 0.5\,\big((s+1)^2 + \omega_d^2\big) \\ \omega_d^2 = 2\eff{K_p} - 1 \\[6pt] B\,s + C = B\,(s+1) + (C - B) \end{gathered}

つまり $\sigma = 1$ 、これは私たちのドローンの第7章の $\zeta\omega_n$ で、 $\omega$ は減衰した揺れ $\omega_d$ だ。

第9章：微積分を代数に ↗

テオ: 待って。分母がゼロになるのは、第7章で地図に置いたあの2つの点とぴったり同じ場所だ！この考え、覚えておこう。

ジューン: シミュレーションと照合してみよう！

まず予想しよう！ ドローンを1 mの台の上から始めて、私たちの式をシミュレーションと並べて走らせる。何が見える？

第9章：微積分を代数に ↗

ミカ: あれ？式はゼロから始まってるのに、ドローンは1 mの台の上から始まってる。代数がウソをついてる？

テオ: 代数は正しい。ウソをついたのは私たちだ。ステップ1を見て。 $\mathcal{L}\{h''\} = s^2 H$ 、 $\mathcal{L}\{h'\} = s\,H$ と書いて、 $h(0)$ を全部落としてしまった。まさにそこが台を覚えている部分なのに。

スイッチを入れて初期の高さの項を戻し、上のステップ1と2と係数が一緒に変わるのを見よう。破線の式と青いシミュレーションが、今度はぴったり重なる。最大のずれは100万分の1メートル未満、ただの丸め誤差だ。 $\eff{K_p}$ や台の高さを変えても、やっぱり一致する。

第9章：微積分を代数に ↗

テオ: 第2章ではドループを知るのにドローンを飛ばさなきゃいけなかった。ここでは分数からぽろっと出てきた。

ここまででわかったこと

わかったこと

傾きは掛け算になる： $\mathcal{L}\{f'\} = sF(s) - f(0)$ 。 $f(0)$ は信号がどこから始まったかを覚えている。忘れると、答えが間違った場所から始まる。
自分たちで表を導いた： $1/s$ 、 $1/(s-a)$ 、 $\omega/(s^2+\omega^2)$ 、そして減衰サイン用のずらした版。面積はスケールして足し算になるので、方程式を1項ずつ変換できる。
大きな分数は部分分数に分かれる。どの分母にも $s$ の次数1つにつき未知数が1つで、指で隠す技で求められる。2次式の分母は、縮んでいくコサインとサインになる。
変換して、代数をして、表の部品に分けて、答えを読み取る。 $A/s$ の部品はドローンが落ち着く場所で、ドループもそこに入っている。初期値をちゃんと残しておけば、シミュレーションと完全に一致する。

ジューン：「何かを解くたびに、答えは (何か) ÷ (s の多項式) で、ドローンの振る舞いは分母がゼロになるところから決まっていた。もしその分数がドローンそのものだったら？」

第9章：微積分を代数に ↗