第6章

sの地図

回転する数は、どうやって本物の揺れを生むの？　そして、それぞれのsはどんな姿？

第6章：sの地図 ↗

ばねに戻ろう（そして新たな間違い）

ジューン: 前回は回転する数を作ったね。それをばねに渡して、ちゃんと言うことを聞くか見てみよう。

ばねには $a^2 = -k/m = -4$ が必要だった。 $a = 2i$ を試してみよう： $(2i)^2 = 4\,i^2 = -4$ 。✓ そして $a = -2i$ も使える。

テオ: わかった、僕が間違っていた。指数関数を推測するトリックは生き残る。ばねは $e^{2it}$ 、つまり…2π秒ごとに2回転する回転子だ。

ミカ: じゃあばねの位置は $e^{2it}$ ？今は… $0.4 + 0.9i$ メートル？

ジューン: ばねが横に0.9メートルになるわけない。上下にしか動かない。

ミカはもう一つの答えを忘れていた。二つの解、 $e^{2it}$ と $e^{-2it}$ を見つけた：回転子と、逆回りするその鏡像の双子。足し合わせると：

第6章：sの地図 ↗

ミカ: 横の部分が完璧に打ち消し合う！和は実軸上をただ行ったり来たり滑るだけ。

x(t) = \tfrac12\left(e^{i\omega t} + e^{-i\omega t}\right) = \cos(\omega t),\qquad \omega = \sqrt{k/m}

どうして双子はいつもいるんだろう？ばねのルールには実数しか入っていない（ $m$ と $k$ だけで、 $i$ はない）。解を上下にひっくり返して、すべての $i$ を $-i$ に変えても、ルールには違いがわからない。鏡像も解なんだ。だから実数であるものでは、回転子はいつも鏡像のペアで現れ、2つの横の部分が打ち消し合って、測定できる実数の揺れが残る。

sの地図

第4章では成長または減衰する指数関数を手に入れた。今度は揺れる回転子だ。一緒にしよう： $e^{st}$ と $s = \sigma + i\omega$ 。

e^{st} = e^{(\sigma + i\omega)t} = \underbrace{e^{\sigma t}}_{\text{成長／縮小}}\cdot\underbrace{e^{i\omega t}}_{\text{回転}}

つまりすべての数sはレシピだ：σ（前後の部分）はどれだけ速く成長または減衰するかを、ω（横の部分）はどれだけ速く回転するかを示す。一緒になると螺旋を描き、その螺旋の影が私たちが見る信号だ。

まず予想しよう！ sを $-0.5 + 3i$ に置こう。 $e^{st}$ の影はどんな形？

第6章：sの地図 ↗

sをドラッグして（または矢印キーで）地図を巡ってみよう：

左半分（σ < 0）：螺旋が縮み、揺れが消えていく。
右半分 (σ > 0)：らせんが成長し、揺れが爆発する。
縦線上 (σ = 0)：完全な円、永遠に続く揺れ。
横線上 (ω = 0)：回転はまったくなく、第4章の普通の指数関数だけ。
横線から離れるほど（上でも下でも）：回転が速く、揺れも速い。さらに左：減衰が速い。

ジューン: つまりこの地図上の1つの点が、1つの性格全体を表している：どれくらい速く揺れるか、そして落ち着くのか爆発するのか。

ちょっと寄り道：すべては回転子でできている

最後の驚き。異なる速さの回転子（1、3、5、7…倍の速さ）を取り、それぞれをちょうどよく縮めて、ちょうどよい角度から回し始め、その影を足し合わせる。十分な数があれば、角が鋭い方形波まで、実にさまざまな形を作れる。

第6章：sの地図 ↗

フーリエは、多くの周期信号が回転する部品から組み立てられることを示した。方形波はその一例：部品を増やすほど、平らな部分と鋭いエッジがはっきりする。これは信号を記述する強力な方法で、条件や限界については後で探求できる。

ここまでにわかったこと

わかったこと

実際の揺れは、横方向の成分が打ち消し合う鏡像の双子回転子から生まれる。
$e^{st}$ と $s = \sigma + i\omega$ は回転しながら成長または縮小する：らせん。その影は成長または減衰する揺れ。
sの地図：左は落ち着き、右は爆発、上はより速い揺れ。
多くの周期信号は、方形波でさえ、速さの違う回転子を足し合わせて作れる（フーリエ）。ジャンプのすぐ隣では、和はいつも約9%オーバーシュートする。

ジューン：「じゃあ、この地図のどこに私たちのドローンはいるの？」

第6章：sの地図 ↗