ラプラスのプローブ

信号を探る道具

テオ: 何かを解くたびに、$e^{st}$を当て推量して、代入して、祈ってた。そこに重力、初期の高さ、コントローラーまで加わったら…僕のノートが燃えそう。

ジューン: ものづくりをするときは、難しい仕事を簡単な仕事に変えるのがいつもコツなんだ。難しいのは：微積分、つまり傾きの傾き。簡単なのは：$+$、$-$、$\times$、$\div$を使った普通の代数。

ミカ: じゃあ、曲線を食べて、傾きが掛け算に変わる何かを吐き出すマシンが要るってこと？そんなのある？

あるし、もう持っている道具で組み立てられる。アイデアはこうだ。どんな信号でもいい、時間とともに変わる曲線$f(t)$を1つ取る。それにプローブ、つまり第4章の指数関数$e^{-st}$を掛ける（$s$が正なら縮んでいく）。そして、その積の下の全体の面積（第3章の積み重なる面積）を$t = \infty$までずっと測る。

これだけ。数$s$を入れると、面積が1つ出てくる。いろいろな$s$で試せば、まったく新しい曲線$F(s)$ができる。この曲線が$f$のラプラス変換、信号の指紋だ。（まともな）信号が2つ違えば、同じ$F(s)$になることはない。だから後で、答えを逆向きに表で引けるようになる。

まず予想しよう！ 一番単純な信号、ステップを考えよう：ずっと$f(t) = 1$。$s$を大きくすると、$1 \cdot e^{-st}$の下の面積はどうなる？

第8章：ラプラスのプローブ ↗

第8章：ラプラスのプローブ ↗

ウィジェットで$s$を動かすと、点がちょうどその$1/s$をなぞる。ほかの信号も試してみよう。増えていく信号$e^{0.5t}$の面積が有限になるのは、プローブが信号の成長より速く縮むとき、つまり$s > 0.5$のときだけ。それより下では面積は無限に膨らむ。揺れる$\sin 2t$は別の失敗をする：$s = 0$ではその面積が0と1の間を行ったり来たりするだけで（第3章の負の面積が正の面積を打ち消す）、1つの数に決まらない。

全体の面積は有限の値に落ち着かないといけない。そうすれば、それぞれの$s$に数が1つ決まる。プローブの消え方が遅すぎると、面積は増え続けて、その$s$には答えがない。

信号がいる場所で、変換が叫ぶ

$f(t) = e^{at}$をよく見てみよう。$e^{-st}$でプローブすると、積は$e^{(a-s)t}$、ただの指数関数になる。$s > a$である限りそれは消えていき、面積は$\frac{1}{s-a}$だ（次の章で表を作るときにちゃんと導く）。

第8章：ラプラスのプローブ ↗

ミカ: $s$が$a$に近づくと、この数はとんでもなく大きくなる。$s = a$ではプローブが成長をちょうど打ち消すので、積はずっと平らなまま、面積は無限大。

テオ: つまり変換は、信号がいる$s$でちょうど爆発するんだ。$F(s)$だけ教えてくれれば、どこで爆発するかを探して、信号の$a$を見つけられる。

第8章：ラプラスのプローブ ↗

ミカ: 火災報知器みたい。$s$を$a$に近づけていくと、どんどんうるさくなる。$a$に踏み込んだら、もう鳴りやまない。

次は$s$を複素数にする。$s = \sigma + i\omega$、第5章の回る数と同じだ。信号には、第6章のばねの回転子$e^{2it}$（双子のペアの片方）を使う。プローブ$e^{-st}$はそれを縮めて（左右の部分、$\sigma$）、しかも逆向きに回す（上下の部分、$\omega$）。下では、積の小さな面積のかけらを、0.25秒ごとに1本の矢印にして、頭と尾をつないで足していく。累計を見ていよう。

第8章：ラプラスのプローブ ↗

ジューン: プローブがちょうど2で回ると、信号の回転が止まる。どのかけらも同じ向きを指して、合計はいちばん大きくなる。その値は$1/\sigma$で、σが0に縮むと無限大へ飛んでいく。合わないと、矢印はくるくる巻いて打ち消し合う。

同じ教訓が、1次元上でも成り立つ。変換は、信号がいる複素数の$s$で爆発する。だからこれからは、どの$s$も、$\sigma$を横、$\omega$を縦にした地図の上に描く。第6章の「$s$の地図」は、ついにs平面という大人の名前を手に入れた。

ここまででわかったこと

テオ：「じゃあプローブは、信号がどこに住んでいるかを教えてくれる。でも僕らは、傾きを掛け算に変えたかったんだ。プローブは傾きに何をするの？」