La commande proportionnelle

Pousser d'autant plus fort qu'on est loin

June: La dernière fois, le drone s'est stabilisé 25 cm trop bas avec le colis. Je veux savoir pourquoi.

Theo: Notre règle avait deux morceaux : 4,9 N pour tenir le drone en l'air, plus 8 N par mètre d'erreur. Les 4,9 N, c'était une supposition sur le poids. Dès que le colis a changé le poids, la supposition était fausse.

Mika: Alors virons la supposition ! Plus de 4,9. Laissons l'erreur faire tout le travail : on pousse proportionnellement à la distance qui nous sépare de la cible.

C'est le correcteur le plus célèbre qui existe, la commande proportionnelle (« commande P » pour faire court) :

$K_p$ est le gain : combien de newtons de poussée on ajoute par mètre d'erreur. Son unité est le newton par mètre (N/m). Un grand $K_p$, c'est un correcteur impatient ; un petit $K_p$, un correcteur détendu. C'est le seul bouton dont on dispose dans ce chapitre.

Prédis d'abord ! Prenons $K_p = 5$ N/m. Le drone part du sol et vise 2 m. À quelle hauteur finit-il par se stabiliser ?

Chapitre 2 : La commande proportionnelle ↗

Regarde la ligne bleue en pointillés : c'est là que le drone finit par se stabiliser, et c'est toujours en dessous de la cible. L'écart s'appelle l'erreur statique, ou tout simplement l'affaissement.

Theo: C'est un tir à la corde. La gravité tire vers le bas avec 4,9 N, tout le temps. Le seul moyen pour le correcteur de repousser avec 4,9 N, c'est qu'il reste un peu d'erreur à multiplier.

Maintenant, descends $K_p$ à 2 N/m. Le drone ne décolle même pas ! Au sol, l'erreur est de 2 m, donc la poussée n'est que de $2 \times 2 = 4$ N, moins que les 4,9 N du poids. La formule dit qu'il faudrait s'affaisser de 2,45 m, c'est-à-dire sous terre.

Il suffit de monter le gain !

June: Solution facile : plus de gain, c'est toujours mieux. Plus grand $K_p$, plus petit affaissement. À fond !

Mika: Je m'en occupe. Puissance maximale : $K_p = 60$ !

Chapitre 2 : La commande proportionnelle ↗

Mika: L'affaissement tombe à 8 cm ! Au bout de quelques secondes, il est quasiment à 2 m. Victoire !

Theo: Mika… regarde les deux premières secondes. Il est monté jusqu'à environ 3,4 mètres, bien au-delà de la cible. Et regarde la poussée : 120 N au décollage, puis elle tire vers le bas, puis de nouveau vers le haut. Ce n'est pas du vol stationnaire, ça, c'est rebondir.

Mika: Ah. J'ai seulement regardé où il finissait. La zone d'erreur rouge au début est énorme.

C'était l'erreur de Mika : juger un correcteur uniquement sur l'endroit où il se stabilise au final. La façon dont il y arrive compte tout autant. Essaie quelques gains et observe le fantôme pâle de ton essai précédent :

• Gain faible (petit $K_p$) : doux, mais il s'affaisse beaucoup. Descends-le assez et le drone ne décolle jamais.
• Gain élevé (grand $K_p$) : petit affaissement, mais il fait un dépassement (il file au-delà de l'endroit où il va se stabiliser) et oscille avant de se calmer.

June: Pourquoi pousser plus fort le ferait osciller ?

Theo: Une grosse poussée le lance vite. Quand il atteint la bonne hauteur, il va encore vite, et rien dans notre règle ne dit « ralentis, tu y es presque ». Seule la traînée de l'air le freine doucement. Alors il file au-delà, se fait repousser, repasse au-delà…

Un défi

Cherchons le bon compromis. Le drone réussit s'il s'affaisse de moins de 20 cm et dépasse de moins de 30 % (on mesure le dépassement comme la distance dont il monte au-dessus de la hauteur où il finit par se stabiliser). Trouve un $K_p$ qui fait les deux.

Chapitre 2 : La commande proportionnelle ↗

Mika: Les zones vertes ne se chevauchent jamais ! L'affaissement demande $K_p$ au-dessus d'environ 24,5, le dépassement le demande en dessous d'environ 3,9. Il n'y a pas de réponse.

Theo: Parce qu'un seul bouton règle les deux, et qu'il les tire dans des directions opposées. Ce n'est pas qu'on n'a pas trouvé le bon nombre. Il n'existe pas. Il nous faut un autre type de correcteur.

June: Pour en concevoir un meilleur, il faut parler des oscillations sérieusement. « Mou », « rebondissant », « finit par se calmer »… ce sont des impressions, pas de la physique.

Ce qu'on sait pour l'instant

Mou. Oscillant. Dépasse. Se stabilise. On n'arrête pas de décrire comment les choses changent dans le temps avec des mots flous. Il nous faut un vrai langage du changement.