Chapitre 5

Des nombres qui tournent

Quel genre de nombre pourrait avoir −1 pour carré, et pourquoi ferait-il des vagues ?

Les nombres sont des flèches

Mika: La dernière fois, le ressort avait besoin d'un nombre avec $a^2 = -4$ . Theo a dit qu'un tel nombre n'existe pas. Mais à quoi est-ce qu'il ressemblerait, au moins ?

Imagine chaque nombre comme une flèche qui part de 0 le long de la droite des nombres. Multiplier par 2 allonge la flèche. Multiplier par ½ la raccourcit. Et multiplier par −1 la retourne pour qu'elle pointe dans l'autre sens. C'est un demi-tour.

June: Ooh. Si ×(−1) est un demi-tour… c'est quoi, la moitié d'un demi-tour ? Un quart de tour ! La flèche pointerait tout droit vers le haut, en dehors de la droite des nombres.

Donnons un nom au quart de tour : i. Fais-le deux fois et tu as fait un demi-tour, c'est-à-dire ×(−1). Donc $i \cdot i = -1$ . Le voilà, notre nombre dont le carré est négatif !

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i^2 = -1 \qquad\text{(deux quarts de tour = un demi-tour)}

Theo: Minute. Ce sont les « nombres imaginaires ». Tout le monde sait qu'ils sont inventés. Ils ne peuvent pas décrire un vrai ressort physique.

June: Ils ne sont pas imaginaires, ils sont de côté ! C'est juste une flèche en 2D. Tourner à gauche, c'est aussi réel qu'avancer tout droit.

Un nombre comme $3 + 2i$ veut juste dire « 3 pas en avant, 2 pas de côté ». Tout le plan des flèches est la scène de tout ce qui va suivre.

Mesurer les tours

June: Si i est un quart de tour, on va passer notre temps à faire tourner des flèches. Alors comment dire de combien une flèche a tourné ?

Les degrés sont une vieille habitude : 360 dans un tour, parce qu'un ancien calendrier aimait bien 360. Les mathématiciens mesurent un tour avec le cercle lui-même. Fais rouler une roue de rayon 1 et regarde quelle distance parcourt son bord. Un radian, c'est l'angle dont l'arc mesure exactement un rayon de long.

Prédis d'abord ! Combien de radians font un tour complet ?

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Suis la pointe de la flèche pendant qu'elle tourne. Son ombre sur l'axe réel s'appelle le cosinus de l'angle, $\cos\theta$ ; son ombre sur l'axe de côté, c'est le sinus, $\sin\theta$ . Tourne régulièrement et les deux ombres dessinent des ondes, le sinus un quart de tour en retard sur le cosinus.

Mika: Compris. Donc un tourniquet à 2 radians par seconde fait deux tours par seconde !

Theo: Deux tours par seconde, ce serait $4\pi$ radians. Deux radians par seconde, c'est un tour complet toutes les $2\pi/2 \approx 3{,}14$ secondes.

Nouveaux mots

Radian: L'angle dont l'arc mesure un rayon de long. Un tour complet vaut $2\pi$ radians, un demi-tour vaut $\pi$ .
Cosinus et sinus: Les ombres d'une flèche de longueur 1 à l'angle θ : $\cos\theta$ le long de l'axe réel, $\sin\theta$ sur le côté.

Un nombre qui tourne

Les vitesses de rotation se mesurent en radians par seconde : une flèche qui tourne à 2 radians par seconde fait un tour complet en $2\pi/2 \approx 3{,}14$ secondes. Le symbole ω indique cette vitesse de rotation.

Maintenant, imagine un point qui fait le tour d'un cercle à vitesse constante, ω radians par seconde. Vers où pointe sa vitesse ? (Ici, c'est la vitesse du chapitre 3 avec une direction en plus, le vecteur vitesse des physiciens : la vitesse d'une flèche qui bouge est donc elle aussi une flèche, qui dit dans quel sens sa pointe avance, et à quelle allure.) Toujours le long du cercle, c'est-à-dire un quart de tour en avance sur la flèche qui mène au point.

Un quart de tour, c'est ×i, et la vitesse vaut ω fois le rayon. Donc la vitesse, c'est la position tournée d'un quart de tour, fois ω : vitesse = iω × position.

Theo: Attends. « La pente est un nombre fixe fois elle-même », c'est exactement la propriété de l'exponentielle du chapitre 4 ! Avec a = iω.

Mika: Mais attends. Au chapitre 4, une puissance voulait dire « combien de multiplication a eu lieu ». Qu'est-ce que $e$ puissance $i\theta$ pourrait bien vouloir dire ? Multiplier par $e$ , $i\theta$ fois ?

June: Construisons-le à la manière du chapitre 4. $e$ , c'était $n$ tout petits pas où l'on grandit de $\frac1n$ . Cette fois, fais de chaque petit pas une petite poussée de côté.

e^{i\theta} = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{i\theta}{n}\right)^{n}

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Chaque pas fait tourner la flèche d'un tout petit angle, environ $\theta/n$ radians, et l'allonge un tout petit peu. Avec plus de pas, l'allongement disparaît et le chemin tombe sur le cercle, exactement à θ radians du départ. Voilà pourquoi les radians : les petites poussées de côté s'additionnent le long du bord. Donc $e^{i\theta}$ , c'est tout simplement le point du cercle à l'angle θ.

Donc $e^{i\omega t}$ n'a rien d'effrayant. C'est un point qui tourne sur le cercle de rayon 1, de ω radians chaque seconde. Regarde-le, et regarde son ombre sur l'axe réel :

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\begin{aligned}\frac{d}{dt}\,e^{i\omega t} &= i\omega\,e^{i\omega t} \\ \text{ombre sur l'axe réel} &= \cos(\omega t)\end{aligned}

L'ombre glisse d'avant en arrière en une parfaite onde cosinus. Une flèche qui tourne, vue de profil, c'est une oscillation. C'est là que l'oscillation se cachait.

Ce qu'on sait pour l'instant

Ce qu'on a compris

Les nombres sont des flèches. Multiplier les fait tourner et les étire. i est un quart de tour, donc $i^2 = -1$ .
Un radian, c'est l'angle dont l'arc mesure un rayon de long : un tour complet vaut $2\pi$ . cos θ et sin θ sont les ombres d'une flèche qui a tourné.
$e^{i\theta}$ , construit par tout petits pas de côté $\left(1 + \frac{i\theta}{n}\right)^n$ , est le point du cercle à l'angle θ.
$e^{i\omega t}$ est un point qui tourne sur un cercle. Son ombre est une onde cosinus.
La vitesse d'un tourniquet a toujours un quart de tour d'avance sur sa position : vitesse $= i\omega \times$ position. C'est la règle de l'exponentielle, avec $a = i\omega$ .

Mika : « Donc le nombre mystère du ressort existe bien, finalement : c'est 2i. Ça veut dire qu'un vrai ressort se balance sur le côté ? »

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