Chapitre 4

Pourquoi les exponentielles sont magiques

Existe-t-il une courbe dont la pente est simplement une copie d'elle-même ?

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Multiplier, encore et encore

Theo: La dernière fois, l'écart entre le café et la température de la pièce diminuait à une vitesse proportionnelle à l'écart lui-même. Grand écart, diminution rapide. Petit écart, diminution lente. Quel genre de courbe fait ça ?

June: Le chapitre 3 nous a déjà donné un indice. Chaque petit pas multipliait l'écart par le même nombre. Alors commençons par la machine à multiplier la plus simple qui soit : doubler.

Prends quelque chose qui double à chaque seconde. Après 1 s, tu as 2. Après 2 s, 2 × 2 = 4. Après 3 s, 2 × 2 × 2 = 8. On l'écrit $2^t$ : le petit t en haut compte combien de fois on multiplie par 2.

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Fais glisser le nombre de secondes sous zéro, ou sur une demi-seconde. Zéro seconde, c'est aucun doublement pour l'instant, donc $2^0 = 1$ . Une seconde en arrière défait un doublement : $2^{-1} = \tfrac12$ . Et une demi-seconde doit être un nombre qui, utilisé deux fois, donne un doublement : $\sqrt2 \approx 1{,}41$ , car 1,41 × 1,41 ≈ 2.

Mika: Donc l'exposant n'a pas besoin d'être un nombre entier. C'est juste « combien de multiplication a eu lieu », et ça peut être un peu, beaucoup, ou même négatif.

Voici ces doublements sous forme d'une échelle de barres. Coupe chaque pas en deux, puis en quatre, puis en toutes petites tranches, et promène la loupe :

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Mika: Où que je mette la loupe, le pas monte de la même part de sa propre hauteur. Les grandes barres montent beaucoup, les petites un peu, mais toujours de la même part.

Theo: C'est exactement la propriété du café : le changement est proportionnel à ce qu'il y a. Et regarde le dernier affichage. Quand les pas rétrécissent, montée ÷ hauteur par seconde se rapproche d'un nombre, environ 0,69 pour le doublement. Garde ça en tête.

Grandir par tout petits pas

Mika: J'ai déjà vu $e^t$ dans des manuels. $e$ , c'est pas juste un nombre au hasard que les matheux aiment bien ? 2,718 et des poussières, bref.

June: Ne nous disputons pas. Construisons une règle de croissance et regardons quel nombre en sort.

Voici la règle : grandir de 100 % de ce que tu as, par seconde. La façon paresseuse de la suivre, c'est un seul pas géant : après 1 s, tu as 1 + 1 = 2. Mais c'est l'astuce du pas géant de June au chapitre 3. Pendant toute la seconde, on a utilisé le taux de croissance du début, alors que le tas n'arrêtait pas de grossir.

Alors prenons des pas plus petits. Deux pas de 50 % : 1,5 × 1,5 = 2,25. Quatre pas de 25 % : 1,25 × 1,25 × 1,25 × 1,25 ≈ 2,44. Chaque pas fait grandir un tas qui a déjà grandi.

Mika: Plus de pas, plus de croissance ! Avec une infinité de pas, on aurait une quantité infinie. Je vais être riche.

Prédis d'abord ! Continue à découper la seconde : mille pas, un million, autant que tu veux. Que devient le total après une seconde ?

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Mika: Ça cale ! Cent pas, mille, et ça ne dépasse jamais 2,718. Adieu ma fortune infinie.

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Ce plafond, c'est le nombre $e$ . C'est ce dont les pas se rapprochent quand ils deviennent infiniment petits :

e = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} \approx 2{,}71828

Theo: Maintenant, passe le widget en mode diminuer. Avec $\left(1 - \frac1n\right)^n$ , on tombe sur $1/e \approx 0{,}368$ : il reste 36,8 %, donc 63,2 % du chemin est parcouru. C'est le 63 % de la règle graduée de la constante de temps du chapitre 3 !

June: Et c'est mon café ! Découpe un τ en n pas faits à la main, $\Delta t = \tau/n$ : chaque pas multiplie l'écart par $1 - \frac1n$ , donc après un τ, l'écart vaut $\left(1 - \frac1n\right)^n$ de ce qu'il était. Un seul pas géant ( $n = 1$ ) tombe pile sur la température de la pièce. De tout petits pas laissent 36,8 %.

Une courbe qui se copie elle-même

Maintenant, partons à la chasse, règle graduée en main. On veut une courbe dont la pente, en chaque point, est un multiple fixe de sa hauteur. D'après l'échelle, toute exponentielle $b^t$ devrait convenir : $2^t$ , $3^t$ et compagnie. Mets une tangente sur chaque courbe et divise sa pente par sa hauteur.

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Fais glisser le curseur le long de n'importe quelle courbe : l'affichage pente ÷ hauteur ne bouge pas. Chaque exponentielle se copie elle-même, multipliée par un nombre fixe. Pour la base 2, ce nombre vaut environ 0,693 (le nombre dont se rapprochaient les pas rétrécissants de l'échelle). Pour la base 3, environ 1,099.

Et pour une seule base, ce nombre vaut exactement 1 : la courbe de la pente se superpose pile à la courbe elle-même. Quelle est cette base ?

\frac{d}{dt}\,e^{t} = e^{t}

Mika: C'est encore 2,718 ! Le même nombre que celui des tout petits pas. Deux chasses complètement différentes, un seul nombre. D'accord, je retire ce que j'ai dit : $e$ n'a rien d'aléatoire.

Theo: Évidemment que c'est le même. « Grandir de 100 % de ce que tu as, par seconde, en douceur » veut dire pente = hauteur. C'est un seul souhait sous deux déguisements.

Toute base est un e déguisé

Notre mesure disait que la base 2 a pente ÷ hauteur ≈ 0,693. Ce n'est pas un hasard : 2, c'est ce que devient $e$ après 0,693 seconde de croissance, $2 = e^{0{,}693}$ . Donc

2^{t} = \left(e^{0{,}693}\right)^{t} = e^{0{,}693\,t}

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Toute base positive est une certaine puissance de $e$ . Cette puissance a un nom, le logarithme népérien $\ln b$ , et c'est exactement le rapport pente ÷ hauteur qu'on a mesuré. Les bases inférieures à 1 ont une puissance négative : elles diminuent. Et comme multiplier des puissances additionne les exposants, $\ln(a\,b) = \ln a + \ln b$ : les logarithmes transforment les multiplications en additions. Le chapitre 12 s'en servira.

On accélère : e^(at)

Les vrais systèmes ne changent pas tous au même rythme, alors mettons un bouton dans l'exposant : $e^{at}$ . Le nombre a étire ou comprime le temps.

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Maintenant, pente ÷ hauteur vaut exactement a, partout sur la courbe. Pourquoi ? $e^{at}$ , c'est le film de $e^{t}$ passé a fois plus vite, donc chaque pente est a fois plus raide. a positif : elle grandit (de plus en plus vite). a négatif : elle diminue vers zéro, comme l'écart du café. a = 0 : elle ne bouge pas.

\frac{d}{dt}\,e^{at} = a\,e^{at}

Le bouton et la base sont deux façons de voir la même chose : $e^{at} = \left(e^{a}\right)^{t}$ . À chaque seconde, la courbe se multiplie par $e^{a}$ .

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Prédis d'abord ! Prends la pente de $e^{2t}$ , puis la pente de cette pente. Qu'obtiens-tu ?

\frac{d}{dt}e^{at} = a\,e^{at},\qquad \frac{d^2}{dt^2}e^{at} = a^2\,e^{at}

Theo: Attends, c'est énorme. Pour les exponentielles, prendre une pente (du calcul différentiel) devient multiplier par a (de la simple algèbre).

Deviner une exponentielle

Pour une règle où la pente n'est que des nombres fixes fois la chose elle-même (rien au carré, pas de nombres qui changent avec le temps), comme celle du café, on peut essayer une exponentielle : on la remplace dans la règle et on cherche la valeur de a qui convient. D’autres règles peuvent demander d’autres formes.

La règle du café était $\frac{dT}{dt} = -\frac{T - 20}{\tau}$ avec τ = 10 min. Notre supposition est $T = 20 + 70\,e^{at}$ (70 est l'écart de départ). Règle a jusqu'à ce que la pente de la supposition corresponde à ce que la règle exige.

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L'algèbre est d'accord avec le curseur. La pente de la supposition est $a \cdot 70e^{at}$ (le 20 ne change jamais, donc sa pente est 0, et le 70 se laisse juste emmener). La règle veut $-70e^{at}/\tau$ . Le $70e^{at}$ apparaît des deux côtés et se simplifie :

a \cdot 70e^{at} = -\frac{70e^{at}}{\tau} \quad\Longrightarrow\quad a = -\frac{1}{\tau}

Theo: Et elle tombe pile sur les points qu'on a construits à la main au chapitre 3. Deviner une exponentielle, ça marche. L'équation qui fixe a s'appelle l'équation caractéristique.

Le ressort casse notre astuce

June: Essayons sur quelque chose qui rebondit. Une masse au bout d'un ressort, c'est à peu près notre drone en commande P : ramené d'autant plus fort qu'il est loin de la cible.

Le ressort tire en arrière avec une force $-kx$ . Force = masse × accélération, et l'accélération est la pente de la pente (chapitre 3). Donc la règle est :

m\,\frac{d^2x}{dt^2} = -k\,x

Devinons $x = e^{at}$ . La pente de la pente est $a^2 e^{at}$ , donc $m a^2 e^{at} = -k e^{at}$ . On simplifie par $e^{at}$ :

a^2 = -\frac{k}{m}

Avec k/m = 4, il nous faut un nombre dont le carré vaut −4. Cherchons-en un :

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Theo: Un carré n'est jamais négatif. La parabole bleue ne descend jamais jusqu'à la ligne verte. Donc ce a n'existe pas. Notre astuce échoue : on ne peut tout simplement pas décrire les ressorts avec des exponentielles.

Mika: Mais le ressort est là, il rebondit joyeusement. Il a un mouvement. Peut-être que ce n'est pas le ressort qui a tort, mais notre idée de ce qui compte comme un nombre ?

Theo: …Hmm. J'avoue que j'ai dit « aucun nombre » un peu vite. Tous les nombres que je connais ont un carré positif.

Ce qu'on sait pour l'instant

Ce qu'on a compris

$b^t$ veut dire « multiplier par b, t fois », et t peut valoir n'importe quoi : $2^0 = 1$ , $2^{-1} = \tfrac12$ , $2^{0{,}5} = \sqrt2$ .
Grandir de 100 % par seconde par pas de plus en plus petits se stabilise à $e \approx 2{,}718$ . Diminuer de la même façon laisse $1/e \approx 0{,}368$ : la règle graduée des 63 % du chapitre 3.
La pente de toute exponentielle est une copie d'elle-même : pente ÷ hauteur est constant.
$e \approx 2{,}718$ est la base pour laquelle ce rapport vaut exactement 1. Avec $e^{at}$ , le rapport vaut a.
Prendre la pente de $e^{at}$ , c'est juste multiplier par a. Le calcul différentiel devient de l'algèbre.
Deviner une exponentielle, la brancher dans la règle, et trouver a. Pour le café, a = −1/τ.
Pour un ressort, la supposition exige $a^2 = -k/m$ , et aucun nombre ordinaire ne fait ça. Pour l'instant.

Le drone et le ressort oscillent. Les exponentielles ne font que grandir ou diminuer. À moins que… un nombre puisse avoir un carré négatif ?

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