Chapitre 9

Du calcul différentiel à l'algèbre

Peut-on transformer le calcul différentiel en algèbre ?

Chapitre 9 : Du calcul différentiel à l'algèbre ↗

Les pentes deviennent des multiplications

Mika: Tu te souviens du pense-bête du chapitre 4 ? Pour $e^{at}$ , prendre la pente revenait juste à faire $\times\, a$ . Regarde maintenant ce que la sonde fait d'une pente.

Nouveaux mots

$f'$ et $f''$: Abréviation de $\frac{df}{dt}$ , la pente de $f$ , et de la pente de cette pente. Le chapitre 7 les écrivait avec des points, $\dot x$ et $\ddot x$ .
$\mathcal{L}\{f\}$: « La transformée de $f$  » : la même chose que $F(s)$ , pratique quand $f$ est toute une expression.
Les majuscules: Une majuscule est la transformée de sa minuscule : $F$ pour $f$ , $H$ pour la hauteur $h$ , $X$ pour $x$ .

Voici la propriété qui fait que tout ça en vaut la peine. Que devient la transformée quand on prend la pente du signal ? Essayons avec $f = e^{at}$ . Sa pente est $a e^{at}$ (chapitre 4), donc

\begin{aligned} \mathcal{L}\{f'\} &= \frac{a}{s-a} = \frac{s}{s-a} - 1 \\ &= s\,F(s) - f(0) \end{aligned}

La pente est devenue une multiplication par $s$ , moins la valeur de départ $f(0)$ . Le calcul différentiel est devenu de l'algèbre !

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Theo: Minute. C'est une astuce qui marche pour $e^{at}$ parce que $e^{at}$ est spéciale. Tu vas encore me dire que c'est une règle à apprendre par cœur. Je n'y crois pas pour n'importe quelle courbe.

June: Alors testons-la sur la courbe la plus moche que tu puisses dessiner.

Dessine le signal que tu veux dans le premier graphique (ou choisis-en un tout prêt). On calcule sa pente, puis on calcule les deux côtés de la règle avec la machine à aires : la transformée de la pente, et $s\,F(s) - f(0)$ . Le second graphique montre ces deux côtés pour chaque $s$ .

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Theo: Elles coïncident, même pour mon gribouillis tremblant. Ce n'est donc pas une règle à apprendre par cœur : c'est ce que la machine à aires fait à n'importe quelle pente.

Voici le calcul manquant, en image. Un produit change pour deux raisons. $f$ change pendant que la sonde ne bouge pas, et la sonde change pendant que $f$ ne bouge pas. Imagine un rectangle de côtés $f$ et $e^{-st}$ : il grandit le long d'un côté, puis le long de l'autre. Cette astuce a un nom : l'intégration par parties.

\big(f\,e^{-st}\big)' = f'\,e^{-st} - s\,f\,e^{-st}

Additionne ces changements de 0 à ∞ (chapitre 3 : l'aire défait la pente) et tu obtiens la valeur au bout moins la valeur au départ. C'est ce que veut dire le crochet $\big[\,\cdot\,\big]_0^\infty$ :

\big[f\,e^{-st}\big]_0^\infty = \int_0^\infty f'\,e^{-st}\,dt - s\,F(s)

Au bout, la sonde a tout écrasé à zéro (tant que $s$ bat la croissance du signal), donc le côté gauche vaut juste $0 - f(0)$ . Fais passer $s\,F(s)$ de l'autre côté et voilà la règle.

Theo: Donc $f(0)$ n'est pas un bricolage. C'est le rectangle de départ.

Applique encore la même règle, cette fois à $f'$ , dont la valeur de départ est $f'(0)$ , la vitesse de départ :

\begin{aligned} \mathcal{L}\{f''\} &= s\,\mathcal{L}\{f'\} - f'(0) \\ &= s\big(s\,F(s) - f(0)\big) - f'(0) \\ &= s^2 F(s) - s\,f(0) - f'(0) \end{aligned}

Notre propre table

Les manuels impriment une « table des transformées de Laplace » comme si elle tombait du ciel. Nous, on va gagner la nôtre, ligne par ligne. Chaque ligne, c'est juste la machine sonde-et-aire appliquée à un signal, avec une vérification que la formule colle à l'aire réelle.

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Mika: La ligne du sinus, c'est ma préférée. Un sinus, c'est juste deux tourniquets jumeaux, et la transformée de chaque tourniquet, c'est la ligne de l'exponentielle avec $a = \pm i\omega$ . Le chapitre 6 additionnait les jumeaux pour obtenir un cosinus. Soustrais-les plutôt et les parties « en avant » s'annulent, il reste $2i\sin\omega t$ . Voilà d'où vient le $2i$ ! Et multiplier les dénominateurs des jumeaux, c'est le produit miroir du chapitre 7, $(s - i\omega)(s + i\omega) = s^2 + \omega^2$ .

(Pour un $a$ complexe, la ligne de l'exponentielle marche encore tant que la partie gauche-droite de $s$ bat la partie gauche-droite de $a$ . Pour les jumeaux, ça veut simplement dire $\sigma > 0$ .)

Et la dernière ligne n'a demandé aucun travail nouveau : multiplier par $e^{-\sigma t}$ décale simplement $s$ en $s+\sigma$ . Quatre lignes, toutes démontrées, toutes vérifiées.

Encore une règle qu'on utilise en douce. La machine à aires est juste : rends un signal 3 fois plus haut et chaque tranche de son aire est 3 fois plus haute, donc l'aire entière aussi. Additionne deux signaux et leurs aires s'additionnent. Les mathématiciens appellent ça la linéarité.

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June: C'est ce qui nous permet de transformer une équation terme par terme, nombres devant compris. Et l'équation du drone est exactement ce genre de somme. Servons-nous de la table !

Défaire un dénominateur commun

Theo: Toutes nos réponses vont sortir sous la forme d'une seule grosse fraction. Mais notre table ne connaît que des petites : $\frac1s$ , $\frac{1}{s-a}$ , les sinus. Comment casser une grosse fraction en morceaux de la table ?

À l'école, tu additionnais des fractions en les mettant au même dénominateur. Ici, on fait le chemin à l'envers : on part d'une seule fraction et on cherche les petits morceaux dont elle est la somme. Ça s'appelle la décomposition en éléments simples :

\frac{1}{s} + \frac{1}{s+2} = \frac{2s + 2}{s\,(s+2)} \qquad\text{so}\qquad \frac{2s+2}{s\,(s+2)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+2}

Que met-on au numérateur de chaque morceau ? **Une inconnue pour chaque puissance de $s$ dans son dénominateur.** Un dénominateur comme $s$ ou $s + 2$ reçoit un simple nombre. Un dénominateur du second degré comme $s^2 + 2s + 5$ reçoit $B\,s + C$ : deux inconnues, parce qu'un polynôme du second degré a de la place pour deux.

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June: Chaque curseur fait bouger un morceau, et dans le temps aussi, les morceaux s'additionnent tout simplement. Le morceau $A$ est un échelon ; le morceau du second degré est une oscillation qui s'éteint. Et la grosse fraction de droite, c'est leur somme.

Pour trouver les nombres des morceaux du premier degré, il y a un raccourci : l'astuce du cache. Multiplie par le dénominateur du morceau, puis donne à $s$ la valeur qui l'annule : tous les autres morceaux disparaissent et il ne reste que son numérateur.

A = \Big[s \cdot \frac{2s+2}{s\,(s+2)}\Big]_{s=0} = \frac{2}{2} = 1, \qquad B = \Big[(s+2) \cdot \frac{2s+2}{s\,(s+2)}\Big]_{s=-2} = \frac{-2}{-2} = 1

Un dénominateur du second degré demande encore un geste avant que la table sache le lire : on le met sous la forme $(s + \sigma)^2 + \omega^2$ en complétant le carré, c'est-à-dire en prenant la moitié du nombre du milieu et en l'élevant au carré. Ainsi $s^2 + 2s + 5 = (s + 1)^2 + 4$ : un cosinus et un sinus amortis, avec $\sigma = 1$ et $\omega = 2$ .

Résoudre le drone avec de l'algèbre

Voici le drone du chapitre 2 sous commande P, sans poussée de vol stationnaire offerte cette fois, au départ sur un rebord à 1 m. À $t=0$ , on le libère et on demande 2 m. Dans le calcul à partir de cet instant, la nouvelle consigne et la force de gravité constante se transforment chacune comme un échelon :

m\,\out{h}'' + c\,\out{h}' = \eff{K_p}\,(\sp{2} - \out{h}) - \dis{m g}

Étape 1 : on transforme chaque terme. Comme les aires se mettent à l'échelle et s'additionnent (section de la table), on peut transformer chaque terme séparément. Un échelon de taille $r$ devient $r/s$ , et les pentes deviennent des multiplications par $s$ . Voici ce qu'on a écrit :

m\,s^2\out{H} + c\,s\,\out{H} = \eff{K_p}\Big(\frac{\sp{2}}{s} - \out{H}\Big) - \frac{\dis{m g}}{s}

Étape 2 : maintenant, c'est de l'algèbre. On rassemble $\out{H}$ d'un côté, puis on divise :

\begin{gathered} \begin{aligned} &(m s^2 + c s + \eff{K_p})\,\out{H} \\ &\quad = \frac{\eff{K_p}\,\sp{2} - \dis{m g}}{s} \end{aligned} \\[8pt] \out{H}(s) = \frac{N(s)}{s\,\big(m s^2 + c s + \eff{K_p}\big)} \\[8pt] N(s) = \eff{K_p}\,\sp{2} - \dis{m g} \end{gathered}

Mika: Regarde-moi ça. Plus aucune pente, juste des lettres qu'on déplace. Theo, ton carnet a arrêté de fumer.

Étape 3 : on découpe en morceaux de la table, comme dans la section précédente : un nombre au numérateur du morceau en $s$ , et $B s + C$ au numérateur du morceau du second degré :

\out{H}(s) = \frac{A}{s} + \frac{B s + C}{m s^2 + c s + \eff{K_p}}

Comment trouver $A$ , $B$ et $C$  ? Multiplie les deux côtés par le dénominateur commun $s\,(m s^2 + c s + \eff{K_p})$ :

\begin{aligned} N(s) &= A\,(ms^2+cs+\eff{K_p}) \\ &\quad + s\,(Bs+C) \end{aligned}

L'astuce du cache

Il y a un raccourci pour $A$ . Multiplie $\out{H}$ par $s$ : tous les morceaux sauf $A/s$ gardent un $s$ au numérateur. Pose $s = 0$ et ils disparaissent tous. Seul $A$ survit :

A = \Big[s\,\out{H}(s)\Big]_{s=0} = \frac{N(0)}{\eff{K_p}} = \sp{2} - \frac{\dis{mg}}{\eff{K_p}}

Et $s\,\out{H}$ près de $s = 0$ , c'est l'endroit où le drone finit par arriver, s'il se stabilise un jour. La hauteur finale tombe tout droit de l'algèbre, sans simulation.

Mika: Attends. On peut lire où il se stabilise sans rien résoudre ? J'ai l'impression de tricher.

Theo: C'est de la triche, sauf si tout le reste s'éteint. Ici, les autres morceaux sont l'oscillation propre du drone, et ils s'éteignent, donc il reste $A$ . Si le dénominateur avait une racine dans la moitié droite, $A/s$ serait toujours dans la fraction, mais un morceau qui grandit l'écraserait et le drone ne se stabiliserait nulle part. Le chapitre 10 montre comment vérifier.

Ensuite, on compare les deux côtés, une puissance de $s$ à la fois. Les termes constants donnent $A$ , les termes en $s^2$ donnent $B$ , et les termes en $s$ donnent $C$ :

\begin{gathered} A = \sp{2} - \frac{\dis{mg}}{\eff{K_p}} \\ B = -m\,A, \qquad C = -c\,A \end{gathered}

Aucune nouvelle physique ici : on a seulement défait un dénominateur commun pour retrouver des morceaux que notre table ramène dans le temps. Remarque que $A$ se moque de l'endroit d'où le drone est parti.

Theo: Et on n'a pas eu à deviner $e^{st}$ une seule fois. La table a deviné pour nous.

Étape 4 : on cherche chaque morceau dans la table qu'on vient de démontrer : $A/s$ est un échelon, et le second morceau est un cosinus amorti plus un sinus amorti (le détour ci-dessous montre comment il colle à ces lignes). On lit $h(t)$ .

Compléter le carré : le chapitre 7 se cachait au dénominateur

Le second morceau n'est pas encore dans notre table : son dénominateur est un simple polynôme du second degré. Mets-le sous la forme $(s+\sigma)^2 + \omega^2$ (en complétant le carré, comme dans la section précédente) et il colle exactement aux lignes du sinus amorti. Le numérateur se découpe de la même façon, une partie pour la ligne du cosinus et une pour celle du sinus :

\begin{gathered} 0{,}5\,s^2 + s + \eff{K_p} = 0{,}5\,\big((s+1)^2 + \omega_d^2\big) \\ \omega_d^2 = 2\eff{K_p} - 1 \\[6pt] B\,s + C = B\,(s+1) + (C - B) \end{gathered}

Donc $\sigma = 1$ , c'est le $\zeta\omega_n$ du chapitre 7 pour notre drone, et $\omega$ est la pseudo-pulsation $\omega_d$ .

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Theo: Attends. Le dénominateur s'annule exactement aux deux points qu'on a posés sur la carte au chapitre 7 ! Garde cette idée en tête.

June: Comparons avec la simulation !

Prédis d'abord ! On pose le drone sur un rebord à 1 m et on fait tourner notre formule à côté de la simulation. Que va-t-on voir ?

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Mika: Oh oh. La formule part de zéro, mais le drone part du rebord à 1 m. L'algèbre ment ?

Theo: L'algèbre va très bien. C'est nous qui avons menti. Regarde l'étape 1 : on a écrit $\mathcal{L}\{h''\} = s^2 H$ et $\mathcal{L}\{h'\} = s\,H$ , et on a laissé tomber tous les $h(0)$ . C'est exactement la partie qui se souvient du rebord.

Actionne l'interrupteur pour remettre les termes de hauteur de départ, et regarde les étapes 1 et 2 et les coefficients ci-dessus changer avec. La formule en tirets et la simulation bleue sont maintenant exactement superposées : le plus grand écart est inférieur à un millionième de mètre, juste des arrondis. Change $\eff{K_p}$ ou la hauteur du rebord : elles restent d'accord.

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Theo: Au chapitre 2, il fallait faire voler le drone pour trouver son affaissement. Ici, il est simplement tombé d'une fraction.

Ce qu'on sait maintenant

Ce qu'on a compris

Les pentes deviennent des multiplications : $\mathcal{L}\{f'\} = sF(s) - f(0)$ . Le $f(0)$ se souvient d'où le signal est parti. Oublie-le et ta réponse démarre au mauvais endroit.
On a démontré notre propre table : $1/s$ , $1/(s-a)$ , $\omega/(s^2+\omega^2)$ , et la version décalée pour les sinus amortis. Les aires se mettent à l'échelle et s'additionnent, donc on peut transformer une équation terme par terme.
Les grosses fractions se découpent en éléments simples : une inconnue par puissance de $s$ dans chaque dénominateur, trouvées avec l'astuce du cache. Un dénominateur du second degré devient un cosinus et un sinus qui rétrécissent.
Transformer, faire l'algèbre, découper en morceaux de la table, lire la réponse. Le morceau $A/s$ dit où le drone se stabilise, affaissement compris. Ça colle exactement à la simulation, à condition de garder les valeurs de départ.

June : « À chaque fois qu'on a résolu quelque chose, la réponse était (quelque chose) ÷ (un polynôme en s), et le comportement du drone venait des endroits où le dénominateur s'annule. Et si cette fraction était le drone ? »

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