Chapitre 6

La carte de s

Comment un nombre qui tourne fait-il une vraie oscillation, et à quoi ressemble chaque s ?

Retour au ressort (et une nouvelle erreur)

June: La dernière fois, on a construit un nombre qui tourne. Donnons-le au ressort et voyons s'il se comporte bien.

Le ressort avait besoin de $a^2 = -k/m = -4$ . Essaie $a = 2i$ : $(2i)^2 = 4\,i^2 = -4$ . ✓ Et $a = -2i$ marche aussi.

Theo: D'accord, j'avais tort. L'astuce « deviner une exponentielle » survit. Le ressort, c'est $e^{2it}$ , un tourniquet qui fait deux tours toutes les… 2π secondes.

Mika: Donc la position du ressort, c'est $e^{2it}$  ? Là, maintenant, il est à… $0{,}4 + 0{,}9i$ mètre ?

June: Un ressort ne peut pas être à 0,9 mètre sur le côté. Il ne bouge que de haut en bas.

Mika a oublié l'autre réponse. On a trouvé deux solutions, $e^{2it}$ et $e^{-2it}$ : un tourniquet et son jumeau miroir qui tourne dans l'autre sens. Additionne-les :

Chapitre 6 : La carte de s ↗

Mika: Les parties de côté s'annulent parfaitement ! La somme glisse juste le long de la droite réelle, d'avant en arrière.

x(t) = \tfrac12\left(e^{i\omega t} + e^{-i\omega t}\right) = \cos(\omega t),\qquad \omega = \sqrt{k/m}

Pourquoi le jumeau est-il toujours là ? La règle du ressort ne contient que des nombres réels ( $m$ et $k$ , pas de $i$ ). Retourne une solution de haut en bas, en changeant chaque $i$ en $-i$ , et la règle ne voit pas la différence : l'image miroir est aussi une solution. Donc pour tout ce qui est réel, les tourniquets viennent par paires miroirs, et ensemble leurs parties de côté s'annulent : il reste une vraie oscillation qu'on peut mesurer.

La carte de s

Le chapitre 4 nous a donné des exponentielles qui grandissent ou rétrécissent. Maintenant, on a des tourniquets qui oscillent. Mettons-les ensemble : $e^{st}$ avec $s = \sigma + i\omega$ .

e^{st} = e^{(\sigma + i\omega)t} = \underbrace{e^{\sigma t}}_{\text{grandir/rétrécir}}\cdot\underbrace{e^{i\omega t}}_{\text{tourner}}

Chaque nombre s est donc une recette : σ (la partie « en avant ») dit à quelle vitesse grandir ou rétrécir, ω (la partie « de côté ») dit à quelle vitesse tourner. Ensemble, ils dessinent une spirale, et l'ombre de la spirale est le signal qu'on verrait.

Prédis d'abord ! Place s en $-0{,}5 + 3i$ . À quoi ressemble l'ombre de $e^{st}$  ?

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Fais le tour de la carte en déplaçant s (ou avec les flèches du clavier) :

Moitié gauche (σ < 0) : la spirale rétrécit, l'oscillation s'éteint.
Moitié droite (σ > 0) : la spirale grandit, l'oscillation explose.
Sur la ligne verticale (σ = 0) : un cercle parfait, une oscillation qui dure pour toujours.
Sur la ligne horizontale (ω = 0) : aucune rotation, juste les exponentielles simples du chapitre 4.
Plus loin de la ligne horizontale (vers le haut ou vers le bas) : ça tourne plus vite, les oscillations sont plus rapides. Plus à gauche : ça s'éteint plus vite.

June: Donc un seul point sur cette carte, c'est toute une personnalité : à quelle vitesse ça oscille, et si ça se calme ou si ça explose.

Petit détour : tout est fait de tourniquets

Une dernière surprise. Prends des tourniquets de vitesses différentes (1, 3, 5, 7… fois plus rapides), rétrécis chacun et fais-le démarrer juste au bon angle, puis additionne leurs ombres. Avec assez de tourniquets, tu peux construire une énorme variété de formes, même un signal carré avec des coins pointus.

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Fourier a montré comment assembler beaucoup de signaux périodiques à partir de morceaux qui tournent. L’onde carrée en est un exemple : ajouter des morceaux précise ses parties plates et ses bords abrupts. C’est une façon puissante de décrire les signaux, avec des conditions et des limites à explorer plus tard.

Ce qu'on sait pour l'instant

Ce qu'on a compris

Les vraies oscillations viennent de tourniquets jumeaux miroirs dont les parties de côté s'annulent.
$e^{st}$ avec $s = \sigma + i\omega$ tourne et grandit ou rétrécit : une spirale. Son ombre est une oscillation qui grandit ou s'éteint.
La carte de s : à gauche ça se calme, à droite ça explose, plus haut les oscillations sont plus rapides.
Beaucoup de signaux périodiques, même un signal carré, se construisent en additionnant des tourniquets de vitesses différentes (Fourier). Juste à côté d'un saut, la somme dépasse toujours d'environ 9 %.

June : « Alors où vit notre drone, sur cette carte ? »

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