Chapitre 3

Le langage du changement

Comment décrire à quelle vitesse quelque chose change ?

La pente, c'est la vitesse

Theo: On n'arrête pas de dire « mou », « oscillant », « se stabilise ». June a raison : ce sont des impressions, pas des maths. Je veux une façon précise de dire à quelle vitesse le drone change.

June: Rejouons notre drone du chapitre 2 (Kp = 20 N/m) et regardons de près.

La courbe bleue est la hauteur du drone au cours du temps. La vitesse, c'est de combien la hauteur change par seconde. Sur le graphique, c'est à quel point la courbe est raide à un instant donné. Pose une règle le long de la courbe pour qu'elle la touche juste en un point. Cette règle, c'est la tangente, et sa pente est la vitesse.

Mika: Facile : le drone va le plus vite tout en haut de la bosse, parce que c'est là qu'il est le plus haut !

Chapitre 3 : Le langage du changement ↗

Theo: Mets le curseur en haut de la bosse. La tangente est plate. La vitesse y est nulle !

Mika: Ah. Le drone monte, perd sa vitesse vers le haut, s'arrête un instant au sommet, et redescend. Haut et rapide, ça n'a rien à voir.

Le moment le plus rapide est en fait au milieu de la montée, là où la courbe est la plus raide. Et quand la courbe descend, la pente est négative : le drone tombe.

Cette « pente à un instant » a un nom : la dérivée. On l'écrit comme un minuscule changement de hauteur divisé par le minuscule temps qu'il a fallu. En symboles, $\Delta h / \Delta t$ se lit « variation de hauteur sur variation de temps » : la lettre grecque Δ (delta) veut dire variation de.

\begin{gathered}\text{vitesse} = \frac{d\out{h}}{dt} \\[1em] \approx \frac{\text{variation de hauteur}}{\text{variation de temps}} \\[1em] (\text{sur un temps très court})\end{gathered}

Une règle pour la vitesse

June: Mon café refroidit vite au début, puis très lentement. Il n'atteint jamais tout à fait la température de la pièce.

Theo: Parce que la vitesse de refroidissement dépend de la distance qu'il lui reste à parcourir. Une tasse très chaude perd sa chaleur vite. Une tasse à peine tiède n'en perd presque pas.

Écrivons ça comme une règle pour la pente. La température du café est T, la pièce est à 20 °C :

\frac{d\out{T}}{dt} = -\frac{\out{T} - \sp{T_{\text{pièce}}}}{\tau}

Le signe moins dit « refroidis quand tu es plus chaud que la pièce ». Le nombre τ (tau, la constante de temps) dit à quel point la tasse est lente. Imagine-le comme ça : τ est le temps que le café mettrait pour atteindre la température de la pièce s'il continuait à refroidir à sa vitesse de départ. Pour une tasse normale, τ ≈ 10 minutes.

Voici l'énigme : la règle nous donne seulement la pente maintenant. Peut-on en tirer toute la courbe ? Construisons-la à la main : on regarde la pente, on avance le long d'elle pendant un petit moment (Δt), on regarde la nouvelle pente, on avance encore…

Chapitre 3 : Le langage du changement ↗

June: Douze petits pas, c'est ennuyeux. Je vais faire des pas de 15 minutes et ce sera plié en un rien de temps.

June: …Attends. Le café est à −15 °C ?! Il a gelé dans une pièce chauffée ?

Theo: La règle est bonne. Ce sont les pas le problème. Dans un pas géant, tu continues à utiliser la pente raide du début du pas, longtemps après qu'elle a cessé d'être vraie. Tu dépasses complètement la température de la pièce.

On peut voir exactement de combien. Chaque pas multiplie l'écart avec la température de la pièce par le même nombre :

\text{écart}_{\text{suivant}} = \left(1 - \frac{\Delta t}{\tau}\right) \cdot \text{écart}

Δt plus petit que τ : le facteur est entre 0 et 1. L'écart diminue, pas de dépassement.
Δt exactement égal à τ : le facteur vaut 0. Un seul pas tombe pile sur la température de la pièce : c'est la vitesse de départ gardée pendant tout un τ.
Δt entre τ et 2τ : le facteur est négatif. Le café passe sous la température de la pièce, puis au-dessus, en oscillant avec des oscillations qui rétrécissent.
Δt plus grand que 2τ : le facteur est inférieur à −1. Les oscillations grandissent à chaque pas. Un café absurde.

Mika: C'est la douche ! Agir trop hardiment sur une vieille information, ça fait osciller.

Prends un Δt petit et affiche la courbe lisse. Les points construits à la main tombent pile dessus. Cette forme lisse s'appelle une décroissance exponentielle. Elle a droit à son propre chapitre juste après.

Le vrai café ne garde jamais sa vitesse de départ : la pente diminue à mesure que l'écart diminue. Donc après un τ, il n'a comblé qu'environ 63 % de l'écart, pas tout. Sur la règle graduée ci-dessous, la droite en pointillés, c'est la vitesse de départ gardée ; la courbe, c'est ce qui se passe vraiment. D'où vient ce 63 % ? Le chapitre 4 le construit.

La constante de temps est une règle graduée

Prédis d'abord ! Après une constante de temps, le café a comblé 63 % de l'écart avec la température de la pièce. Après deux constantes de temps, quelle part de l'écart est comblée ?

Chapitre 3 : Le langage du changement ↗

Après 1τ : 63 %. Après 2τ : 86 %. Après 3τ : 95 %. On n'y arrive jamais exactement, mais après 4 ou 5 τ, personne ne voit la différence. Passe au réservoir : il se remplit par un tuyau depuis un grand bassin dont l'eau est à 1,2 m, et c'est la différence de niveau qui pousse le débit, donc il ralentit à mesure que le réservoir rattrape le bassin. La règle est la même (« le débit est proportionnel à la distance au plein ») et la forme aussi.

June: Donc τ est une règle graduée intégrée. Donne-moi τ et je sais à quel point un truc est lent, que ce soit une tasse, un réservoir ou un drone.

Nouveaux mots

Dérivée: La pente d'une courbe à un instant : la vitesse à laquelle quelque chose change. S'écrit $\frac{dh}{dt}$ ou $\dot h$ .
Système du premier ordre: Quelque chose dont la vitesse de variation est proportionnelle à la distance qui le sépare de là où il va (café, réservoirs). Sa courbe est une exponentielle.
Constante de temps τ: Le temps que mettrait un système du premier ordre pour arriver s'il gardait sa vitesse de départ. En vrai, pendant ce temps, il parcourt 63 % de la distance restante.

À l'envers : additionner des aires

Theo: La pente transforme la hauteur en vitesse. Peut-on faire le chemin inverse ? Imagine que le capteur du drone ne nous donne que sa vitesse. Où est-il ?

Si tu voles à 2 m/s constants pendant 3 s, tu montes de 6 m : vitesse × temps. Sur un graphique vitesse-temps, c'est l'aire d'un rectangle. Quand la vitesse change sans arrêt, découpe le temps en fines bandes, traite chaque bande comme un rectangle, et additionne-les toutes.

Balaie avec le curseur et regarde l'aire ombrée grandir. La courbe bleue du dessous, c'est simplement l'aire jusqu'ici. Là où la vitesse passe sous zéro (le drone tombe), l'aire compte comme négative et la hauteur diminue.

Chapitre 3 : Le langage du changement ↗

Mika: L'aire accumulée tombe pile sur la vraie hauteur. La pente t'emmène dans un sens, l'aire te ramène.

Cette opération « accumuler l'aire » s'appelle l'intégrale. Son signe ∫ est un S étiré, pour somme : une somme de fines bandes. Le petit $dt$ est la largeur de chaque bande, et le $0$ et le $t$ disent où commencer et où arrêter d'additionner :

\out{h}(t) = \out{h}(0) + \int_0^{t} \text{vitesse}\;dt

La pente de la pente

Mika: Le chapitre 1 nous a promis quelque chose. L'équation du drone avait deux points au-dessus de $h$ . Un point, c'est la vitesse. Et le deuxième ?

La vitesse est elle-même une courbe, donc elle a aussi une pente : à quelle vitesse la vitesse change. C'est l'accélération, la pente de la pente. Ci-dessous, le même vol trois fois : la hauteur, sa pente (la vitesse), et la pente de celle-ci (l'accélération), toutes sur un seul curseur de temps.

Prédis d'abord ! Tout en haut de la bosse, la vitesse est nulle. Et l'accélération, elle vaut combien là-haut ?

Chapitre 3 : Le langage du changement ↗

Mika: J'avais dit zéro ! Mais en haut, la courbe de vitesse descend au plus raide. Vitesse nulle ne veut pas dire poussée nulle.

Deux points, c'est la pente de la pente. Il existe une troisième façon d'écrire les pentes, avec de petits traits appelés primes : $h'$ (« h prime ») pour la pente, $h''$ (« h seconde ») pour la pente de la pente. Trois écritures, une seule idée :

Nouveaux mots

$\dot h = h' = \frac{dh}{dt}$: La pente de $h$ : sa vitesse.
$\ddot h = h'' = \frac{d^2 h}{dt^2}$: La pente de la pente : l'accélération.
$\Delta$: « Variation de » : $\Delta t$ est un pas de temps.
$\int$: Un S étiré, pour « somme » : on additionne de l'aire.

Maintenant, l'équation du chapitre 1 se lit comme une phrase. Masse fois accélération égale tout ce qui pousse : la poussée vers le haut, le poids vers le bas, et la traînée contre la vitesse. C'est la loi de Newton, un terme à la fois :

\underbrace{0{,}5\,\ddot{\out{h}}}_{\text{masse}\times\text{accélération}} = \underbrace{\eff{T}}_{\text{poussée}} - \underbrace{4{,}9}_{\text{poids}} - \underbrace{1{,}0\,\dot{\out{h}}}_{\text{traînée}\,\times\,\text{vitesse}}

Theo: Donc la règle du café parlait de sa vitesse, et la règle du drone parle de son accélération : une pente plus loin. C'est pour ça que le drone peut dépasser et osciller, et le café jamais ?

June: Forcément. La vitesse du café suit juste l'écart. La vitesse du drone doit être accumulée puis dépensée, donc il peut encore bouger quand il arrive.

Ce qu'on sait pour l'instant

Ce qu'on a compris

La dérivée est la pente d'une courbe à un instant : la vitesse à laquelle elle change. Haut et rapide, ce n'est pas pareil.
Une règle comme « refroidis d'autant plus vite que tu es chaud » fixe toute la courbe : une approche exponentielle.
La constante de temps τ est une règle graduée : 63 % du chemin après τ, 86 % après 2τ, 95 % après 3τ.
Construire des courbes avec des pas trop grands crée de faux dépassements et des oscillations, exactement comme la douche.
La pente de la pente est l'accélération : $\ddot h$ , ou $h''$ . L'équation du drone du chapitre 1 est une règle pour elle.
L'intégrale accumule l'aire et défait la dérivée.

Theo : « La courbe du café avait une drôle de propriété : sa pente était toujours proportionnelle à l'écart qui restait. Existe-t-il une courbe dont la pente est proportionnelle à elle-même ? »

Chapitre 3 : Le langage du changement ↗