Chapitre 8

La sonde de Laplace

Une seule aire mesurée peut-elle nous dire où vit un signal ?

Une sonde pour les signaux

Theo: À chaque fois qu'on a résolu quelque chose, on a deviné $e^{st}$ , on l'a branché, et on a croisé les doigts. Maintenant, ajoute la gravité, une hauteur de départ, un correcteur… mon carnet est en feu.

June: Quand je construis des trucs, l'astuce est toujours de transformer un travail difficile en travail facile. Difficile : du calcul différentiel avec des pentes de pentes. Facile : de la simple algèbre avec $+$ , $-$ , $\times$ , $\div$ .

Mika: Donc il nous faut une machine qui avale une courbe et recrache un truc où les pentes deviennent des multiplications ? Ça existe ?

Ça existe, et on peut la construire avec ce qu'on a déjà. Voici l'idée. Prends n'importe quel signal, n'importe quelle courbe qui change dans le temps, $f(t)$ . Multiplie-le par une sonde, l'exponentielle $e^{-st}$ du chapitre 4 (pour $s$ positif, elle rétrécit). Puis mesure l'aire totale sous le produit (l'aire accumulée du chapitre 3), jusqu'à $t = \infty$ .

F(s) = \int_0^\infty \out{f(t)}\; e^{-st}\,dt

C'est tout. Un nombre $s$ entre, une aire sort. Essaie différentes valeurs de $s$ et tu obtiens toute une nouvelle courbe $F(s)$ . Cette courbe, c'est la transformée de Laplace de $f$ : une empreinte digitale du signal. Deux signaux (raisonnables) différents n'ont jamais la même $F(s)$ , et c'est pour ça qu'on pourra plus tard chercher les réponses à l'envers.

Prédis d'abord ! Prenons le signal le plus simple, un échelon : $f(t) = 1$ pour toujours. Quand on rend $s$ plus grand, que devient l'aire sous $1 \cdot e^{-st}$  ?

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Balaie $s$ dans le widget et les points dessinent exactement ce $1/s$ . Essaie aussi les autres signaux. Un signal croissant $e^{0{,}5t}$ n'a une aire finie que si la sonde rétrécit plus vite que le signal ne grandit, c'est-à-dire quand $s > 0{,}5$ . En dessous, l'aire file vers l'infini. L'oscillation $\sin 2t$ échoue autrement : en $s = 0$ , son aire ne fait que clapoter entre 0 et 1 (l'aire négative du chapitre 3 qui annule la positive), sans jamais se fixer sur un seul nombre.

L'aire totale doit se stabiliser à une valeur finie, pour que chaque $s$ reçoive un seul nombre. Si la sonde s'éteint trop lentement, l'aire continue de grandir et ce $s$ n'a pas de réponse.

La transformée hurle là où vit le signal

Regardons de plus près $f(t) = e^{at}$ . Sonde-le avec $e^{-st}$ et le produit est $e^{(a-s)t}$ , une simple exponentielle. Tant que $s > a$ , il s'éteint, et son aire vaut $\frac{1}{s-a}$ (on le démontrera proprement en construisant notre table, au chapitre suivant).

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Mika: Quand $s$ s'approche de $a$ , le nombre devient énorme ! En $s = a$ , la sonde annule exactement la croissance, le produit est plat pour toujours, et l'aire est infinie.

Theo: Donc la transformée explose exactement au $s$ où vit le signal. Si tu me donnais seulement $F(s)$ , je pourrais retrouver le $a$ du signal en cherchant où elle explose.

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Mika: C'est comme un détecteur de fumée. Approche $s$ de $a$ et il crie de plus en plus fort. Pose-toi sur $a$ et il ne s'arrête plus jamais.

Maintenant, rendons $s$ complexe, $s = \sigma + i\omega$ , exactement comme nos nombres qui tournent du chapitre 5. Prenons comme signal le tourniquet du ressort du chapitre 6, $e^{2it}$ (la moitié de sa paire de jumeaux). La sonde $e^{-st}$ le rétrécit (c'est la partie gauche-droite, $\sigma$ ) et le fait tourner à l'envers (c'est la partie haut-bas, $\omega$ ). Ci-dessous, les petits morceaux d'aire du produit s'additionnent bout à bout sous forme de flèches, une flèche par quart de seconde. Observe le total cumulé.

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June: Quand la sonde tourne exactement à 2, le signal arrête de tourner, tous les morceaux pointent dans la même direction et le total est aussi grand que possible : $1/\sigma$ , qui file vers l'infini quand σ rétrécit vers 0. Quand ça ne correspond pas, les flèches s'enroulent et s'annulent.

Même leçon, une dimension plus haut : la transformée explose au $s$ complexe où vit le signal. C'est pour ça que désormais, on dessinera chaque $s$ sur une carte avec $\sigma$ en travers et $\omega$ vers le haut. Notre « carte de $s$  » du chapitre 6 reçoit enfin son nom d'adulte : le plan s.

Nouveaux mots

Le plan s: La carte des nombres complexes $s = \sigma + i\omega$ . À gauche, ça rétrécit ; à droite, ça grandit ; en haut et en bas, ça tourne. Chaque signal $e^{st}$ vit en un point de cette carte, et sa transformée y explose.

Ce qu'on sait maintenant

Ce qu'on a compris

La transformée de Laplace est une sonde : on multiplie par $e^{-st}$ et on mesure l'aire totale. $F(s) = \int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$ .
Elle explose exactement là où vit le signal : $e^{at}$ donne $1/(s-a)$ , qui explose en $s = a$ . Pour un $s$ complexe, la sonde « dé-tourne » les signaux qui tournent. On dessine tout ça sur le plan s.
Une aire qui court pour toujours peut quand même être finie, tant que la queue s'amincit assez vite. Si la sonde s'éteint plus lentement que le signal ne grandit, ce $s$ n'a pas de transformée du tout.

Theo : « Donc la sonde nous dit où vit un signal. Mais on voulait que les pentes deviennent des multiplications. Que fait la sonde à une pente ? »

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