الفصل العاشر

دوال النقل والأقطاب والأصفار

هل يمكننا قراءة شخصية نظام كاملة من كسر واحد؟

الفصل 10: دوال النقل والأقطاب والأصفار ↗

وصفة النظام

جون: ابدأ بجعل الطائرة المسيّرة تحوم عند ارتفاع 1 م، مع قوة دفع أساسية مقدارها 4.9 نيوتن توازن الجاذبية. قِس كلاً من التغير المطلوب والتغير الفعلي في الارتفاع من خط الأساس هذا. قبل طلب جديد مباشرة، يكون التغيران صفرًا. في مثال الخطوة، يقفز الطلب إلى 2 م عند $t=0$ ، فيصبح تغيره 1 م بينما لا تزال الطائرة المسيّرة عند 1 م.

ثيو: جيد، لأننا في الفصل الماضي أسقطنا أجزاء $-h(0)$ فكذبت الصيغة. حين نقيس من التحويم، تكون تلك القيم الابتدائية صفرًا فعلًا، فتختفي هذه المرة بأمانة.

\Delta\out{H}(s) = \underbrace{\frac{\eff{K_p}}{m s^2 + c s + \eff{K_p}}}_{G(s)} \cdot \Delta\sp{R}(s)

من أين تأتي الوصفة

دفع التحويم يلغي الجاذبية، فلا يبقى في معادلة الطائرة المسيّرة إلا التغيرات. الآن طبّق قاعدة الفصل 9: كل ميل يصبح × $s$ ، ناقص قيمته الابتدائية. ومن التحويم كل قيمة ابتدائية صفر، فلا شيء يُطرح:

\begin{gathered} m\,\Delta\out{h}'' + c\,\Delta\out{h}' = \eff{K_p}\,(\Delta\sp{r} - \Delta\out{h}) \\[2pt] \Big\downarrow\ {\scriptstyle \Delta h(0)\,=\,\Delta h'(0)\,=\,0} \\[2pt] (m s^2 + c s + \eff{K_p})\,\Delta\out{H}(s) = \eff{K_p}\,\Delta\sp{R}(s) \end{gathered}

اقسم على $m s^2 + c s + \eff{K_p}$ فتظهر $G(s)$ . مقامها هو المعادلة نفسها التي وصلنا إليها في الفصول 4 إلى 7 حين خمّنّا $e^{st}$ .

ميكا: إذن ليس في الأمر سحر. إنها معادلة الطائرة المسيّرة نفسها، وقد صار كل ميل فيها $s$ .

$\Delta\sp{R}(s)$ هو تحويل التغير المطلوب من 1 م؛ $\Delta\out{H}(s)$ هو تحويل التغير الفعلي من 1 م. $G(s)$ تحدده الطائرة المسيّرة والمتحكم. إنها دالة النقل: تغير الخرج مقسومًا على تغير الدخل، مع بدء التغيرين من الصفر.

لا يزال الرسم يعرض الارتفاعات فوق الأرض. أضف ارتفاع البداية 1 م إلى التغير الذي تتنبأ به الصيغة لتحصل على الارتفاع الأزرق في الرسم.

ميكا: جون كانت محقة: الكسر هو الطائرة المسيّرة. إنه مثل وصفتها. أعطه أي مكوّن فيخبرك بما سيخرج!

جرّب ثلاثة مدخلات مختلفة على الطائرة المسيّرة نفسها. الوصفة لا تتغير أبدًا، فقط $\Delta\sp{R}(s)$ يتغير.

الفصل 10: دوال النقل والأقطاب والأصفار ↗

كلمات جديدة

دالة النقل $G(s)$: تغير الخرج المحوَّل ÷ تغير الدخل المحوَّل، بدءًا من حالة السكون نفسها. بالنسبة لهذه الطائرة المسيّرة الخطية، هي كسر من كثيرات حدود في $s$ .
البدء من السكون (شروط ابتدائية صفرية): كل تغيّر وسرعته يساويان صفرًا عند $t = 0$ ، كما حين نقيس من التحويم. عندها تصبح حدود القيم الابتدائية في الفصل 9، مثل $-h(0)$ ، صفرًا أيضًا، وتحكي $G(s)$ القصة كلها.

الأقطاب: حيث يريد النظام أن يعيش

أين تنفجر $G(s)$ ؟ حيث يساوي مقامها صفرًا. هذه النقاط هي الأقطاب، وتُرسم بعلامة ×. في هذه الطائرة المسيّرة قطبان، واحد لكل حركة من حركتي $e^{st}$ الطبيعيتين في الفصل 7.

في الفصل 8، صرخ تحويل $e^{at}$ عند $s = a$ . اقرأ ذلك بالعكس: حيثما تصرخ $G$ ، تختبئ حركة $e^{pt}$ .

جون: إذن الأقطاب هي أنماط الفصل 7، جالسة على الخريطة!

لماذا الأقطاب هي الحركات

استجابة الخطوة هي $G(s)$ مضروبة في $\frac{1}{s}$ الخاصة بالخطوة. فكّكها إلى أجزاء بسيطة، الكسور الجزئية من الفصل 9 (الزوج المرآتي من الأقطاب يأخذ بسطين توأمين مرآتيين): قطب الخطوة نفسها عند 0 يعطي التغيّر النهائي $A$ ، وكل قطب من أقطاب $G$ يعطي جزءًا واحدًا $\frac{B}{s-p}$ .

\begin{aligned} \Delta\out{H}(s) = G(s)\cdot\frac{1}{s} &= \frac{A}{s} + \frac{B}{s-p} + \frac{\bar B}{s-\bar p} \\[4pt] \Longrightarrow\quad \Delta\out{h}(t) &= A + B e^{pt} + \bar B e^{\bar p t} \end{aligned}

جدول الفصل 9 يعيد كل جزء إلى حركة. ولا يمكن أن يظهر شيء آخر: الأقطاب هي طاقم الممثلين كله.

ثيو: والقطب الذي فيه $\sigma > 0$ جزء ينمو. لا عجب أن النصف الأيمن ينفجر.

والآن اقلب الأمر. بدلًا من اختيار الكسب وإيجاد الأقطاب، لِنَسحب الأقطاب ونرَ أي طائرة مسيّرة نحصل عليها. هذا يحتاج مقبضًا ثانيًا، $\eff{K_d}$ : دفعة ضد السرعة، سنتعرف عليها كما ينبغي في الفصل 11. إنها تُضاف إلى مقاومة الهواء $c$ ، والجذران هما $p$ وتوأمه المرآتي $\bar p$ (الخط العلوي يقلب إشارة الجزء التخيلي، مثل توأمي الفصل 6):

\begin{aligned} & m s^2 + (c + \eff{K_d})\,s + \eff{K_p} = 0 \\ \Longrightarrow\quad & s = p,\ \bar p \qquad \text{(الأقطاب)} \end{aligned}

الفصل 10: دوال النقل والأقطاب والأصفار ↗

توقّع أولًا! ماذا تفعل الطائرة المسيّرة إذا سحبنا الأقطاب إلى النصف الأيمن من مستوى s؟

الفصل 10: دوال النقل والأقطاب والأصفار ↗

قراءة الخريطة

العب بها. ستقفز إليك بضع قواعد، وكل واحدة منها صديق قديم متنكّر:

النصف الأيسر = يهدأ، النصف الأيمن = ينفجر. الجزء الحقيقي $\sigma$ هو معدل تقلّص $e^{\sigma t}$ أو نموها.
أبعد إلى اليسار = أسرع. الاستقرار يستغرق نحو $4/|\sigma|$ ثانية (الخطوط الرأسية المتقطعة): الثوابت الزمنية الأربعة من الفصل 7، لأن $e^{-|\sigma| t}$ تنزل تحت 2% بعد $\ln 50/|\sigma| \approx 3.9/|\sigma|$ ثانية.
أعلى = تذبذب أكثر. الارتفاع $\omega$ هو التردد المخمَّد من الفصل 7، فالتذبذبة الواحدة تستغرق $2\pi/\omega$ ثانية.
الزاوية تحدد التجاوز. الزاوية $\theta$ من المحور الحقيقي السالب تعطي $\zeta = \cos\theta$ (دائرة الفصل 7)، والتجاوز هو $e^{-\pi|\sigma|/\omega}$ (الأشعة المتقطعة). قرب المحور الحقيقي يكاد لا يتجاوز، وقرب المحور الرأسي يتجاوز كثيرًا. (هذا دقيق لقطبين بلا صفر، بدءًا من السكون. الصفر يغيّره: في القسم التالي يحوّل صفرٌ 12% إلى 15%.)

ميكا: أردت قطبًا واحدًا فقط في الأعلى وواحدًا في الأسفل. لكنه لا يسمح لي! السفلي يظل ينسخ العلوي.

ثيو: تذكر الدوّارين التوأمين من الفصل السادس؟ الطائرة المسيّرة الحقيقية حركتها حقيقية، لذا كل $e^{st}$ دوّار يحتاج توأمه المرآتي ليُلغي الأجزاء التخيلية. الأقطاب المركبة تأتي دائمًا في أزواج مرآتية.

لماذا تحدد الزاوية التجاوز

تتخطى الطائرة المسيّرة الهدف وتستدير بعد نصف تذبذبة، عند $t = \pi/\omega$ . وحتى تلك اللحظة تكون $e^{-|\sigma| t}$ المتقلّصة قد عملت طوال هذه المدة، وما يتبقى من التأرجح هو التجاوز. لا يهم إلا النسبة $|\sigma|/\omega$ ، وهذه النسبة هي زاوية القطب. وعلى دائرة الفصل 7، جيب تمام تلك الزاوية هو $\zeta$ .

\begin{aligned} t_{\text{الذروة}} &= \frac{\pi}{\omega} \\[4pt] \text{التجاوز} &= e^{-|\sigma|\,t_{\text{الذروة}}} = e^{-\pi|\sigma|/\omega} \\[4pt] &= e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}, \qquad \zeta = \cos\theta \end{aligned}

الفصل 10: دوال النقل والأقطاب والأصفار ↗

ثيو: إذن كل شعاع يخرج من 0 يعني $\zeta$ واحدة، وتجاوزًا واحدًا.

توقّع أولًا! أبقِ $\sigma = -2$ وحرّك الأقطاب إلى الأعلى مباشرة، من $\pm 4i$ إلى $\pm 8i$ . ما الذي يتغير؟

جون: قفز الملعب حين أجبنا: الزوج الشبح عند $\pm 4i$ ، والزوج الجديد عند $\pm 8i$ . الغلاف نفسه، ضعف عدد التذبذبات، وتأرجح أول أكبر بكثير.

ميكا: ماذا لو جلس القطبان كلاهما على المحور الحقيقي، أحدهما عند $-0.2$ والآخر عند $-5$ ؟

جون: السريع يختفي خلال ثانية. البطيء هو الزعيم.

الفصل 10: دوال النقل والأقطاب والأصفار ↗

كلمات جديدة

القطب: قيمة لـ $s$ تنفجر عندها دالة النقل. كل قطب $p$ هو حركة واحدة $e^{pt}$ من حركات النظام.
الزوج المرآتي $p,\ \bar p$: قطبان لهما الجزء الحقيقي نفسه وجزءان تخيليان متعاكسان. الأقطاب المركّبة لنظام حقيقي تأتي دائمًا بهذا الشكل.
القطب المهيمن: القطب الأقرب إلى المحور الرأسي. حركته البطيئة تدوم أطول من غيرها، فهو عادةً من يقرر زمن الاستقرار، إلا إذا جلس صفر فوقه تقريبًا (في الفصل 11 مثال على ذلك).

ما مدى دقة 4/|σ|؟

الرقم 4 هو $\ln 50 \approx 3.9$ من الفصل 7 بعد التقريب: الزمن الذي يحتاجه الغلاف ليتقلّص إلى 2%. المنحنى الحقيقي يقع داخل غلافه، لذا يستقر غالبًا أبكر قليلًا. ويستقر متأخرًا حين تقع الأقطاب على المحور الحقيقي أو قربه، لأن القطب المزدوج فيه جزء $t\,e^{-|\sigma| t}$ يتلكّأ.

\begin{array}{c|ccccc} \zeta & 0.3 & 0.5 & 0.8 & 0.95 & 1 \\ \hline |\sigma|\,T_s & 3.37 & 4.04 & 3.01 & 5.00 & 5.83 \end{array}

ميكا: جرّبتُ $\sigma = -1$ : القاعدة قالت 4 ث، والأزمنة الحقيقية تراوحت بين 3.0 ث و 5.8 ث بحسب $\zeta$ . جيدة بما يكفي للتصويب، لا بما يكفي للوعد.

الأصفار: نظرة سريعة

البسط أيضًا يمكن أن يساوي صفرًا. تلك النقاط هي الأصفار، وتُرسم بعلامة ○. عادةً تغيّر مقدار ما يظهر في الخرج من حركة كل قطب. وإذا جلس صفر فوق قطب تمامًا، يُلغى العامل المشترك ويختفي ذلك القطب من وصفة هذا المدخل إلى هذا الخرج. لكنه لا يزال داخل النظام: ادفع الطائرة المسيّرة بطريقة أخرى، بهبّة ريح مثلًا، فتعود تلك الحركة. وهذا مهم جدًا إن كان القطب المختبئ في النصف الأيمن.

هذا نظام أقطابه ثابتة عند $-2 \pm 3i$ وفيه صفر واحد يمكنك تحريكه. (الـ $\eff{K_d}$ في ملعبنا يدفع ضد سرعة الطائرة المسيّرة، فلا صفر في وصفته. أما إذا دفع ضد سرعة الخطأ، كما سيفعل الفصل 11، فيظهر صفر عند $-\eff{K_p}/\eff{K_d}$ : لهذه الأقطاب يكون $-6.5$ ، مع تجاوز 15% بدلًا من 12%.)

الفصل 10: دوال النقل والأقطاب والأصفار ↗

جون: نفس الأقطاب، لكن عندما يقترب الصفر من نقطة الأصل، تقفز الاستجابة أسرع بكثير وتتجاوز أكثر!

ثيو: الأقطاب نفسها تعني الحركات نفسها. إذن لا يستطيع الصفر أن يضيف حركة جديدة. لا بد أنه يضيف قليلًا من شيء عندنا أصلًا.

الفصل 10: دوال النقل والأقطاب والأصفار ↗

الضرب في $s$ يأخذ الميل (الفصل 9)، فالعامل $(1 + s/|z|)$ يضيف $1/|z|$ مضروبة في الميل. لهذا يجعل الصفرُ القريب من نقطة الأصل النظامَ يتفاعل بقوة مع التغيرات: يكبر التجاوز، مع أن الأقطاب لم تتحرك. أما بعيدًا فلا يكاد الصفر يهم. هذا كل ما نحتاجه عن الأصفار الآن.

ما الذي يحجبه الصفر

القطب حركة يصنعها النظام؛ والصفر حركة يرفض تمريرها. أطعِم هذا النظام (صفره عند $-3$ ) الإشارة $e^{-3t}$ بالضبط فلن يخرج منها شيء: فقط تذبذب النظام الخاص الذي يخمد. ولولا الصفر لمرّت $1.3\,e^{-3t}$ مباشرة.

\begin{aligned} G(s) &= \tfrac{13}{3}\,\frac{s+3}{s^2+4s+13}, \qquad u = e^{-3t} \\[4pt] Y(s) &= \tfrac{13}{3}\,\frac{\cancel{s+3}}{(s^2+4s+13)\,\cancel{(s+3)}} \\[4pt] \Longrightarrow\quad y(t) &= \tfrac{13}{9}\,e^{-2t}\sin 3t \end{aligned}

جون: مثل سماعات إلغاء الضوضاء، لكن لطنين واحد بعينه.

كلمات جديدة

الصفر: قيمة لـ $s$ تساوي عندها دالة النقل صفرًا: حركة $e^{zt}$ لا يمررها النظام.

هل الأبعد نحو اليسار أفضل دائمًا؟

جون: سهل: اسحب الأقطاب بعيدًا نحو اليسار. تستقر في لمح البصر. أفضل طائرة مسيّرة على الإطلاق!

ثيو: لكن ما مقدار الدفع الذي يتطلبه ذلك؟ حتى الآن تظاهرنا بأن المحركات يمكنها الدفع بالقوة التي تريدها الرياضيات.

حان وقت الصراحة. محركاتنا تستطيع الدفع بين 0 نيوتن و 20 نيوتن (نحو أربعة أضعاف وزن الطائرة المسيّرة). في الأسفل تتحرك الأقطاب يسارًا على خط 45° (أي $\zeta \approx 0.71$ ، النقطة المثالية من الفصل 7). المنحنيات المتقطعة هي الرياضيات بمحركات خيالية غير محدودة؛ والمتصلة هي المحركات الحقيقية.

الفصل 10: دوال النقل والأقطاب والأصفار ↗

بعد نحو $-3.9 \pm 3.9i$ تطلب الرياضيات أكثر من 20 نيوتن. يتسطّح الدفع البرتقالي على الحد، وبعد نحو $-6 \pm 6i$ تريد الرياضيات حتى أن تسحب الطائرة المسيّرة إلى الأسفل، وهذا ما لا تقدر عليه المراوح. تتوقف الطائرة المسيّرة الحقيقية عن اتباع التنبؤ الخطي الجميل. يتوقف تحسّن استقرارها عند نحو 0.7 ث، قرب $-6.5 \pm 6.5i$ ، وأبعد إلى اليسار يصبح أسوأ، مع تجاوز إضافي.

جون: سحبتُها حتى $-8 \pm 8i$ . الرياضيات تقول 0.53 ث. الطائرة المسيّرة الحقيقية تحتاج 0.77 ث: أبطأ مما عند $-6.5$ !

ميكا: وتجاوزها ارتفع من 4% إلى 16%. كل ذلك الدفع الإضافي لم يكن متاحًا أصلًا.

جون: لذا فإن "الأبعد نحو اليسار" أفضل فقط حتى ينفد المحرك. وضع الأقطاب مقايضة، وليس سباقًا.

ميزانية الدفع دائرة

في اللحظة الأولى تمامًا لم تتحرك الطائرة المسيّرة بعد، فلا يدفع إلا $\eff{K_p}$ ، و $\eff{K_p} = m|p|^2$ : مربع بُعد الأقطاب عن 0. ضاعِف البُعد تحتج إلى أربعة أضعاف الدفعة، أيًّا كان الاتجاه. لخطوة مقدارها 1 م تسمح محركاتنا بأقطاب حتى بُعد نحو 5.5 عن 0 (الدائرة البرتقالية الباهتة في الملعب). اطلب خطوة مقدارها 2 م فتنكمش الدائرة إلى 3.9.

\begin{aligned} T(0^+) &= mg + \eff{K_p}\,\Delta\sp{r} \\[4pt] &= mg + m\,|p|^2\,\Delta\sp{r} \le 20\ \text{نيوتن} \\[4pt] \Longrightarrow\quad |p| &\le \sqrt{\frac{20\ \text{نيوتن} - mg}{m\,\Delta\sp{r}}} \end{aligned}

الفصل 10: دوال النقل والأقطاب والأصفار ↗

كلمات جديدة

الدفعة الأولى: الدفع المطلوب في اللحظة الأولى من الخطوة: $mg + \eff{K_p}\,\Delta r$ ، قبل أن تتحرك الطائرة المسيّرة.
ميزانية الدفع: مواضع الأقطاب التي تقدر عليها المحركات لخطوة معيّنة: دائرة حول 0.
حدود المحرك (التشبّع): الدفع الحقيقي يُقصّ إلى 0–20 نيوتن، مهما طلبت الرياضيات.

إغلاق الحلقة على الورق

جون: في الفصل 1 رسمنا الحلقة صناديق وأسهمًا. وفي عالم s كل صندوق يضرب فقط. هل تستطيع الصناديق أن تقوم بالجبر عنا؟

أعطِ كل صندوق وصفته. المتحكم هو $C(s)$ ، وهو الآن ببساطة $\eff{K_p}$ . والطائرة المسيّرة وحدها، يدخلها تغيّر الدفع ويخرج منها تغيّر الارتفاع، هي $P(s) = \frac{1}{ms^2 + cs}$ : الحرف P من الكلمة الإنجليزية plant، أي النظام الخاضع للتحكم، كلمة الفصل 1، وليس P التحكم التناسبي. وهي تأتي مباشرة من معادلة الطائرة المسيّرة، بالطريقة نفسها التي جاءت بها الوصفة أعلاه.

جون: سهل. الطلب يمر عبر المتحكم، ثم عبر الطائرة المسيّرة. اضرب على طول الخط!

\Delta\out{H} \overset{?}{=} C\,P\,\Delta\sp{R} = \frac{\eff{K_p}}{ms^2 + cs}\,\Delta\sp{R}

ثيو: أقطاب عند 0 و−2؟ لا تذبذب إطلاقًا، وقطب عند 0 لا يستقر أبدًا. هذه هي الحلقة المفتوحة من الفصل 1: تخبر الطائرة المسيّرة بما تفعل ثم لا تنظر أبدًا. المتحكم لا يرى الطلب يا جون. إنه يرى الخطأ.

السهم العائد من الطائرة المسيّرة هو جوهر التغذية الراجعة كله. يعمل المتحكم على $\Delta\sp{R} - \Delta\out{H}$ ، فيظهر الخرج في الطرفين. اجمعه، ثم اقسم:

\begin{aligned} \Delta\out{H} &= C\,P\,\big(\Delta\sp{R} - \Delta\out{H}\big) \\ \Delta\out{H}\,\big(1 + C\,P\big) &= C\,P\,\Delta\sp{R} \\ \Delta\out{H} &= \frac{C\,P}{1 + C\,P}\,\Delta\sp{R} \end{aligned}

عوّض $C = \eff{K_p}$ و $P = 1/(ms^2+cs)$ ، ثم اضرب البسط والمقام في $ms^2 + cs$ :

\frac{C\,P}{1 + C\,P} = \frac{\eff{K_p}/(ms^2+cs)}{1 + \eff{K_p}/(ms^2+cs)} = \frac{\eff{K_p}}{ms^2 + cs + \eff{K_p}}

ميكا: هذه هي الوصفة من بداية هذا الفصل! حصلنا عليها مرتين: مرة من معادلة الطائرة المسيّرة، ومرة من الصناديق.

إذن أقطاب الحلقة هي حيث يساوي المقام، $1 + C(s)\,P(s)$ ، صفرًا. وهذا هو نفسه $C\,P = -1$ . اقرأ $C\,P$ على أنها لفّة واحدة حول الحلقة: ما يفعله المتحكم ثم الطائرة المسيّرة بإشارة. عند القطب، تعيد اللفّة الإشارة بالحجم نفسه ومقلوبة، وعلامة الناقص في الخطأ تقلبها مرة أخرى. فتُبقي الإشارة نفسها مستمرة دون أي طلب على الإطلاق.

1 + C(s)\,P(s) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad C(s)\,P(s) = -1

جرّبها على تذبذبة ثابتة، $s = i\omega$ . اللفّة الواحدة تحوّل سهم التذبذبة إلى $C(i\omega)\,P(i\omega)$ : أقصر أو أطول، ومُدارًا إلى الخلف. ترسم الأداة ذلك السهم لكل سرعة تذبذب، والنقطة −1 التي سيتعين عليه بلوغها.

الفصل 10: دوال النقل والأقطاب والأصفار ↗

ثيو: مهما دفعتُ $\eff{K_p}$ ، ينحني المنحنى نحو −1 لكنه لا يلمسها أبدًا. ويقترب منها أكثر ما يكون عند سرعة تأرجح الطائرة المسيّرة نفسها تقريبًا.

إليك السبب. مقاومة الهواء تُدير اللفّة إلى الخلف حتى 90°، والكتلة حتى 90° أخرى، لكنهما معًا لا تبلغان 180° إلا عند تذبذبات سريعة بلا حدود. لذا لا يستطيع التحكم التناسبي وحده أن يدفع هذه الطائرة المسيّرة إلى عدم الاستقرار أبدًا. $\eff{K_p}$ الأكبر يجعل اللفّة تمر أقرب إلى −1 فحسب، والأقرب يعني تخميدًا أقل: « $K_p$ أكثر، تذبذب أكثر» من الفصل 2، وقد صار الآن صورة.

الفصل 10: دوال النقل والأقطاب والأصفار ↗

كلمات جديدة

الحلقة المغلقة: متحكم يعمل على الخطأ، فيعود الخرج إلى دخله هو: $\Delta H = \frac{C\,P}{1 + C\,P}\,\Delta R$ .
كسب الحلقة $C(s)\,P(s)$: ما تفعله لفّة واحدة حول الحلقة بإشارة. أقطاب الحلقة المغلقة هي حيث يساوي −1.

ما نعرفه الآن

ما توصلنا إليه

نعم، كسر واحد يكفي. دالة النقل $G(s)$ = تغيّر الخرج ÷ تغيّر الدخل في عالم s، بدءًا من السكون. إنها وصفة النظام، $\Delta\out{H} = G\cdot\Delta\sp{R}$ ، وتأتي مباشرة من معادلة الطائرة المسيّرة.
الأقطاب (×) هي حيث تنفجر $G(s)$ : أنماط $e^{pt}$ التي يتكوّن منها النظام.
النصف الأيسر = مستقر، النصف الأيمن = ينفجر. أبعد إلى اليسار = أسرع (يستقر خلال نحو $4/|\sigma|$ ث، قاعدة تقريبية)، أعلى = تذبذب أكثر (التذبذبة الواحدة = $2\pi/\omega$ ث)، الزاوية = التخميد $\zeta$ = التجاوز $e^{-\pi|\sigma|/\omega}$ . القطب الأقرب إلى المحور هو الزعيم.
الأقطاب المركبة تأتي دائمًا في أزواج مرآتية.
الأصفار (○) تغيّر مقدار ما تحصل عليه من كل نمط. قرب نقطة الأصل تضيف ركلة: $1/|z|$ مضروبة في الميل.
أغلق الحلقة على الورق فتكون الوصفة $\frac{C\,P}{1 + C\,P}$ . الأقطاب هي حيث تساوي اللفّة الواحدة حول الحلقة، $C\,P$ ، القيمة −1.
الدفعة الأولى هي $mg + m|p|^2$ لخطوة مقدارها 1 م، لذا تحتاج الأقطاب البعيدة دفعًا لا تملكه المحركات.

ثيو: "الأقطاب جميلة. لكن مهلاً: لقد غششنا طوال الفصل بإعطاء الطائرة المسيّرة قوة دفع التحويم الخاصة بها. بدونها، تظل الجاذبية تجعلها تنخفض انخفاضًا مستمرًا. خريطتنا سليمة. إن متحكمنا هو الذي يحتاج إلى إصلاح."

الفصل 10: دوال النقل والأقطاب والأصفار ↗