الفصل الثالث

لغة التغير

كيف نصف مدى سرعة تغيّر شيء ما؟

الميل هو السرعة

ثيو: نظل نقول «بطيء»، «متذبذب»، «يستقر». جون محقة: هذه انطباعات وليست رياضيات. أريد طريقة دقيقة لقول مدى سرعة تغيّر الطائرة المسيّرة.

جون: لنعد تشغيل طائرتنا المسيّرة من الفصل الثاني (Kp = 20 نيوتن/متر) وننظر عن كثب.

المنحنى الأزرق هو ارتفاع الطائرة المسيّرة عبر الزمن. السرعة هي مقدار تغيّر الارتفاع في الثانية الواحدة. على الرسم البياني، هذا هو مدى انحدار المنحنى عند لحظة معينة. ضع مسطرة على طول المنحنى بحيث تلامسه عند نقطة واحدة فقط. تلك المسطرة هي خط المماس، وميلها هو السرعة.

ميكا: سهل: الطائرة المسيّرة تتحرك بأسرع ما يمكن عند أعلى نقطة في النتوء، لأنها هناك في أعلى ارتفاع لها!

الفصل 3: لغة التغير ↗

ثيو: ضع المؤشر على قمة النتوء. خط المماس أفقي. السرعة صفر هناك!

ميكا: آه. الطائرة المسيّرة تصعد، ثم تنفد سرعتها الصاعدة، وتتوقف للحظة عند القمة، ثم تهبط عائدة. أن تكون عاليًا وأن تكون سريعًا شيئان مختلفان تمامًا.

أسرع لحظة هي في الواقع في منتصف الصعود، حيث يكون المنحنى أشد انحدارًا. وعندما ينحدر المنحنى لأسفل، يكون الميل سالبًا: الطائرة المسيّرة تهبط.

هذا «الميل عند لحظة واحدة» له اسم: المشتقة. نكتبها كتغيّر ضئيل في الارتفاع مقسومًا على الزمن الضئيل الذي استغرقه. بالرموز، يُقرأ $\Delta h / \Delta t$ «التغيّر في الارتفاع على التغيّر في الزمن»: الحرف اليوناني Δ (دلتا) اختصار لكلمة التغيّر في.

\begin{gathered}\text{السرعة} = \frac{d\out{h}}{dt} \\[1em] \approx \frac{\text{تغيّر الارتفاع}}{\text{تغيّر الزمن}} \\[1em] (\text{خلال زمن قصير جدًا})\end{gathered}

قاعدة للسرعة

جون: قهوتي تبرد بسرعة في البداية ثم ببطء شديد جدًا. لا تصل أبدًا إلى درجة حرارة الغرفة تمامًا.

ثيو: لأن سرعة التبريد تعتمد على مدى بُعدها المتبقي عن الهدف. الفنجان الساخن جدًا يفقد الحرارة بسرعة. الفنجان الفاتر بالكاد يفقد أي حرارة.

لنكتب ذلك كقاعدة للميل. درجة حرارة القهوة هي T، ودرجة حرارة الغرفة هي 20 °C:

\frac{d\out{T}}{dt} = -\frac{\out{T} - \sp{T_{\text{الغرفة}}}}{\tau}

إشارة الطرح تعني «يبرد عندما يكون أدفأ من الغرفة». الرقم τ (تاو، ثابت الزمن) يحدد مدى تباطؤ الفنجان. تخيّله هكذا: τ هو الزمن الذي تحتاجه القهوة لتبلغ درجة حرارة الغرفة لو ظلت تبرد بسرعتها الابتدائية. في الفنجان العادي، τ ≈ 10 دقائق.

إليك اللغز: القاعدة تخبرنا فقط بالميل في اللحظة الحالية. هل يمكننا الحصول على المنحنى كاملًا منها؟ لِنبنِه يدويًا: انظر إلى الميل، وامشِ بمحاذاته لفترة قصيرة (Δt)، ثم انظر إلى الميل الجديد، وامشِ مجددًا…

الفصل 3: لغة التغير ↗

جون: اثنتا عشرة خطوة صغيرة أمر ممل. سأتخذ خطوات مدتها 15 دقيقة وأنتهي في لمح البصر.

جون: …لحظة. القهوة عند −15 °C؟! هل تجمّدت في غرفة دافئة؟

ثيو: القاعدة سليمة. المشكلة في الخطوات. في الخطوة العملاقة، تظل تستخدم الميل الشديد من بداية الخطوة، بعد وقت طويل من توقف كونه صحيحًا. فتتجاوز درجة حرارة الغرفة تمامًا.

يمكننا أن نرى بالضبط مقدار ذلك. كل خطوة تضرب الفجوة بينها وبين حرارة الغرفة في العدد نفسه:

\text{الفجوة}_{\text{التالي}} = \left(1 - \frac{\Delta t}{\tau}\right) \cdot \text{الفجوة}

Δt أصغر من τ: العامل بين 0 و1. الفجوة تتقلص، دون تجاوز.
Δt يساوي τ تمامًا: العامل 0. خطوة واحدة تهبط على درجة حرارة الغرفة بالضبط: إنها السرعة الابتدائية وقد استمرت طوال τ كاملة.
Δt بين τ و2τ: العامل سالب. القهوة تتجاوز تحت درجة حرارة الغرفة، ثم فوقها، تتأرجح ذهابًا وإيابًا بينما تتقلص التذبذبات.
Δt أكبر من 2τ: العامل أقل من −1. التذبذبات تنمو مع كل خطوة. قهوة غير منطقية.

ميكا: هذا هو الدش! التصرف بجرأة كبيرة بناءً على معلومات قديمة يجعلك تتأرجح.

اجعل Δt صغيرًا وشغّل المنحنى السلس. النقاط المبنية يدويًا تقع عليه تمامًا. ذلك الشكل السلس يُسمى اضمحلالًا أسيًا. سيحصل على فصل خاص به لاحقًا.

القهوة الحقيقية لا تحافظ أبدًا على سرعتها الابتدائية: يتقلص الميل كلما تقلصت الفجوة. لذا بعد τ واحدة تكون قد أغلقت نحو 63% فقط من الفجوة، لا كلها. في المسطرة أدناه، الخط المتقطع هو السرعة الابتدائية وقد استمرت كما هي؛ والمنحنى هو ما يحدث فعلًا. من أين تأتي 63%؟ الفصل الرابع يبنيها.

ثابت الزمن مسطرة

توقّع أولًا! بعد واحد من ثوابت الزمن، تكون القهوة قد أغلقت 63% من الفجوة إلى درجة حرارة الغرفة. بعد اثنين من ثوابت الزمن، كم نسبة الفجوة المُغلقة؟

الفصل 3: لغة التغير ↗

بعد 1τ: 63%. بعد 2τ: 86%. بعد 3τ: 95%. لا تصل إلى هناك تمامًا أبدًا، لكن بعد حوالي 4–5 τ لا يمكن لأحد أن يميز. انتقل إلى الخزان: يمتلئ عبر أنبوب من حوض كبير يقف ماؤه عند 1.2 م، وفرق المستوى هو ما يدفع التدفق، لذا يتباطأ كلما اقترب الخزان من اللحاق به. القاعدة نفسها ("المعدل يتناسب مع مدى البعد عن الامتلاء") وكذلك الشكل.

جون: إذن τ مسطرة مدمجة. أخبرني بـ τ وسأعرف مدى تباطؤ أي شيء، سواء كان كوبًا أو خزانًا أو طائرة مسيّرة.

كلمات جديدة

المشتقة: ميل المنحنى عند لحظة واحدة: مدى سرعة تغير شيء ما. يُكتب $\frac{dh}{dt}$ أو $\dot h$ .
نظام من الرتبة الأولى: شيء يتناسب معدل تغيره مع مدى بعده عن وجهته (القهوة، الخزانات). منحناه أسي.
ثابت الزمن τ: المدة التي يحتاجها نظام من الرتبة الأولى ليصل لو حافظ على سرعته الابتدائية. في الواقع يقطع 63% من المسافة المتبقية خلال تلك المدة.

الرجوع إلى الخلف: جمع المساحة

ثيو: الميل يحوّل الارتفاع إلى سرعة. هل يمكننا الرجوع إلى الخلف؟ لنفترض أن مستشعر الطائرة المسيّرة يخبرنا بسرعتها فقط. أين هي؟

إذا طرت بسرعة ثابتة مقدارها 2 م/ث لمدة 3 ثوانٍ، فإنك ترتفع 6 أمتار: السرعة × الزمن. على منحنى السرعة مقابل الزمن، هذه هي مساحة المستطيل. عندما تتغير السرعة باستمرار، قسّم الزمن إلى شرائح رفيعة، وتعامل مع كل شريحة على أنها مستطيل، ثم اجمعها كلها.

حرّك المؤشر وشاهد المساحة المظللة تنمو. المنحنى الأزرق بالأسفل هو ببساطة المساحة حتى الآن. عندما تنخفض السرعة تحت الصفر (تهبط الطائرة المسيّرة)، تُحسب المساحة كقيمة سالبة وينخفض الارتفاع.

الفصل 3: لغة التغير ↗

ميكا: المساحة المتراكمة تصل بالضبط إلى الارتفاع الحقيقي. الميل يأخذك في اتجاه، والمساحة تعيدك إلى حيث بدأت.

عملية «تجميع المساحة» هذه تسمى التكامل. رمزه ∫ حرف S ممدود، من كلمة sum (المجموع): مجموع شرائح رفيعة. و $dt$ الصغيرة هي عرض كل شريحة، و $0$ و $t$ تحددان أين نبدأ الجمع وأين نتوقف:

\out{h}(t) = \out{h}(0) + \int_0^{t} \text{السرعة}\;dt

ميل الميل

ميكا: لقد وعدنا الفصل الأول بشيء. كانت في معادلة الطائرة المسيّرة نقطتان فوق $h$ . النقطة الواحدة هي السرعة. فما الثانية؟

السرعة نفسها منحنى، فلها ميل أيضًا: مدى سرعة تغيّر السرعة. هذا هو التسارع، ميل الميل. في الأسفل، الرحلة نفسها ثلاث مرات: الارتفاع، وميله (السرعة)، وميل ذلك الميل (التسارع)، وكلها على مؤشر زمن واحد.

توقّع أولًا! عند قمة النتوء تمامًا تكون السرعة صفرًا. فكم يكون التسارع هناك؟

الفصل 3: لغة التغير ↗

ميكا: قلتُ صفرًا! لكن عند القمة يكون منحنى السرعة في أشد انحداره نزولًا. السرعة الصفرية لا تعني دفعًا صفريًا.

النقطتان تعنيان ميل الميل. وهناك طريقة ثالثة لكتابة الميول، بعلامات صغيرة تُسمّى الشَّرطات (primes): $h'$ للميل، و $h''$ لميل الميل. ثلاث كتابات، وفكرة واحدة:

كلمات جديدة

$\dot h = h' = \frac{dh}{dt}$: ميل $h$ : سرعته.
$\ddot h = h'' = \frac{d^2 h}{dt^2}$: ميل الميل: التسارع.
$\Delta$: «التغيّر في»: $\Delta t$ خطوة من الزمن.
$\int$: حرف S ممدود، من «sum» (المجموع): جمع المساحة.

الآن تُقرأ معادلة الفصل الأول كجملة. الكتلة × التسارع تساوي كل ما يدفع: الدفع لأعلى، والوزن لأسفل، ومقاومة الهواء عكس السرعة. هذا قانون نيوتن، حدًّا حدًّا:

\underbrace{0.5\,\ddot{\out{h}}}_{\text{الكتلة}\times\text{التسارع}} = \underbrace{\eff{T}}_{\text{الدفع}} - \underbrace{4.9}_{\text{الوزن}} - \underbrace{1.0\,\dot{\out{h}}}_{\text{مقاومة الهواء}\,\times\,\text{السرعة}}

ثيو: إذن قاعدة القهوة كانت عن سرعتها، وقاعدة الطائرة المسيّرة عن تسارعها: ميلٌ أعمق بدرجة. أهذا سبب قدرة الطائرة المسيّرة على التجاوز والتأرجح، بينما القهوة لا تفعل ذلك أبدًا؟

جون: لا بد من ذلك. سرعة القهوة تتبع الفجوة فحسب. أما سرعة الطائرة المسيّرة فيجب بناؤها ثم استنفادها، لذا قد تظل تتحرك حين تصل.

ما نعرفه حتى الآن

ما توصلنا إليه

المشتقة هي ميل المنحنى عند لحظة واحدة: مدى سرعة تغيّره. أن تكون عاليًا ليس مثل أن تكون سريعًا.
قاعدة مثل "تبرد أسرع كلما كنت أسخن" تحدد المنحنى بالكامل: اقتراب أُسّي.
ثابت الزمن τ هو مسطرة: 63% من الطريق بعد τ، و86% بعد 2τ، و95% بعد 3τ.
بناء المنحنيات بخطوات كبيرة جدًا يخلق تجاوزًا وتأرجحات زائفة، تمامًا مثل الدش.
ميل الميل هو التسارع: $\ddot h$ ، أو $h''$ . ومعادلة الطائرة المسيّرة في الفصل الأول قاعدةٌ له.
التكامل يراكم المساحة ويُلغي أثر المشتقة.

ثيو: «كان لمنحنى القهوة خاصية طريفة: كان ميله دائمًا متناسبًا مع الفجوة المتبقية. هل هناك منحنى ميله متناسب مع نفسه؟»

الفصل 3: لغة التغير ↗