الفصل السابع

الشخصية الحقيقية للطائرة المسيّرة

لماذا ترتد الطائرة المسيّرة مثل النابض؟

الفصل 7: الشخصية الحقيقية للطائرة المسيّرة ↗

المتحكم هو نابض

ميكا: سألت جون أين تعيش طائرتنا المسيّرة على الخريطة. تلميح: أتذكر الطائرة المسيّرة الوثّابة من الفصل الثاني؟ كلما رفعنا $\eff{K_p}$ أكثر، زاد ارتدادها. بدت تمامًا مثل ثقل معلق على نابض.

ثيو: «بدا الأمر كذلك» ليس دليلًا. لنضعهما جنبًا إلى جنب ونكتب المعادلتين.

على اليسار: كتلة 0.5 كجم معلقة على نابض مع مخمّد (مكبس صغير مملوء بالزيت يقاوم الحركة). على اليمين: طائرتنا المسيّرة، بالكتلة نفسها ومقاومة الهواء نفسها، تحت تحكم تناسبي.

أولًا، لنكتب كل قوة تؤثر في الكتلة، واحدة تلو الأخرى. قِس موضعها $x$ من نقطة السكون، مع اعتبار الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.

النابض يسحب إلى الخلف نحو السكون، وبقوة أكبر كلما زاد تمدده: $-\eff{k}\,x$ . مدّه ضعف المسافة فيسحب بضعف القوة.
المخمّد يدفع عكس الحركة، لا عكس الموضع: $-c\,\dot{x}$ . إذا كانت الكتلة ساكنة فلا يفعل شيئًا. وإذا تحركت بسرعة دفعها إلى الخلف بقوة. ( $\dot{x}$ هي السرعة من الفصل الثالث.)
الجاذبية تُنزل نقطة السكون قليلًا فحسب. والقياس من نقطة السكون يتكفّل بذلك.

القوة = الكتلة × التسارع، والتسارع هو ميل الميل (الفصل الثالث). اجمع القوى وانقل كل شيء إلى طرف واحد:

m\,\ddot{x} = -\eff{k}\,x - c\,\dot{x} \quad\Longrightarrow\quad m\,\ddot{x} + c\,\dot{x} + \eff{k}\,x = 0

ميكا: إذن المخمِّد هو في الأساس هواء يكره السرعة؟

ثيو: تقريبًا. وفي طائرتنا، المخمِّد هو الهواء نفسه.

في الأداة التفاعلية، السهم البرتقالي على الكتلة هو سحب النابض، والسهم الرمادي هو دفع المخمّد. لاحظ كيف يختفي سهم المخمّد كلما توقفت الكتلة للحظة عند أعلى التأرجح أو أسفله.

الفصل 7: الشخصية الحقيقية للطائرة المسيّرة ↗

جون: المنحنيان متراكبان تمامًا. ليسا متشابهين. متطابقان.

انظر إلى المعادلتين. النابض يدفع إلى الخلف بقوة $\eff{k}\,x$ : كلما زاد تمدده، زادت قوة سحبه. والمتحكم يدفع بقوة $\eff{K_p}(\sp{2} - \out{h})$ : كلما زاد الابتعاد عن الهدف، زادت قوة دفعه. القاعدة نفسها. المتحكم هو نابض: نابض غير مرئي، يسحب الطائرة المسيّرة نحو 2 متر.

ثيو: إذن فالمتحكم التناسبي (P) هو نابض افتراضي، ومقاومة الهواء $c$ هي مخمّد افتراضي. كل ما نتعلمه عن النوابض نحصل عليه مجانًا.

مقبضان للشخصية

كل نظام كتلة ونابض ومخمّد، وكذلك كل طائرة مسيّرة بتحكم تناسبي، يمكن وصفهما برقمين فقط. لنكتسبهما واحدًا تلو الآخر.

ما مدى السرعة: التردد الطبيعي

انزع المخمّد فنعود إلى الفصل السادس: يتأرجح النابض وفق $\cos(\omega t)$ مع $\omega = \sqrt{k/m}$ . نسمي هذه السرعة التردد الطبيعي $\omega_n$ : مدى سرعة رغبة النظام في التأرجح حين لا يبطئه شيء.

\omega_n = \sqrt{\frac{\eff{k}}{m}} \qquad\qquad \text{تأرجح كامل كل } \frac{2\pi}{\omega_n} \text{ ث}

الفصل 7: الشخصية الحقيقية للطائرة المسيّرة ↗

ميكا: نابض أقسى، تأرجح أسرع. إذن أرفع $\eff{k}$ إلى أقصاه فيتحسّن كل شيء!

النابض الأصلب يسحب بقوة أكبر، فيتأرجح أسرع. والكتلة الأثقل أصعب في الدفع، فتتأرجح أبطأ. (الراديان في الثانية هو سرعة الدوران من الفصل الخامس: الدورة الكاملة 2π راديان، أي حافة طولها 2π من أنصاف الأقطار.)

ثيو: مهلًا. في الفصل 2، رفعُ $\eff{K_p}$ جعل الطائرة أسرع وأكثر ارتدادًا. لنسمع أولًا ما يقوله المخمِّد.

ما مدى الارتداد: نسبة التخميد

أعد المخمّد الآن. كم من التخميد يُعدّ «كثيرًا»؟ هذا يعتمد على النابض: المخمّد الذي يروّض نابضًا لينًا بالكاد يبطئ نابضًا صلبًا. لذا نقارن بمقدار خاص واحد، هو التخميد الحرج $c_{\text{crit}}$ : أصغر تخميد يوقف التجاوز تمامًا.

c_{\text{crit}} = 2\sqrt{m\,\eff{k}} \qquad\qquad \zeta = \frac{c}{c_{\text{crit}}} = \frac{c}{2\sqrt{m\,\eff{k}}}

نسبة التخميد ζ (الحرف اليوناني زيتا) هي تخميدنا ككسر من ذلك المقدار. إنها رقم مجرد، بلا وحدات. مع ζ = 0 يتأرجح إلى الأبد، وζ = 1 هو الحرج بالضبط، وζ = 0.5 فيه نصف التخميد اللازم لإيقاف التجاوز.

الفصل 7: الشخصية الحقيقية للطائرة المسيّرة ↗

جون: لحظة. 0.16؟ هذا بالضبط ζ الطائرة في الأداة الأولى!

ثيو: الكتلة نفسها، والمقاومة نفسها، والصلابة نفسها، فـ ζ نفسه. النابض والطائرة توأمان حقًا.

النقطتان على الخريطة

والآن عودة إلى خريطة $s$ . تخمين $x = e^{st}$ ، كما في الفصلين 4 و6، يحوّل المعادلة إلى $m s^2 + c s + k = 0$ . اقسم على $m$ ، ثم اكتب المعاملين بدلالة مقبضينا:

s^2 + \underbrace{\frac{c}{m}}_{2\zeta\omega_n}\, s + \underbrace{\frac{\eff{k}}{m}}_{\omega_n^2} = 0

ثيو: مهلًا. من أين جاء هذا $2\zeta\omega_n$ ؟ يبدو مختلقًا.

جون: اضربه وسترى: $2\zeta\omega_n = 2 \cdot \frac{c}{2\sqrt{mk}} \cdot \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{c}{m}$ . إنه العدد نفسه، باسم جديد فقط، حتى يظهر مقبضانا في المعادلة.

حلّها بالقانون العام للمعادلة التربيعية فتخرج قيمتا $s$ :

\begin{aligned} & s^2 + 2\zeta\omega_n\, s + \omega_n^2 = 0 \\ \Longrightarrow\quad & s = -\zeta\omega_n \pm \omega_n\sqrt{\zeta^2 - 1} \end{aligned}

من أين تأتي ±

أي معادلة $s^2 + b\,s + q = 0$ يمكن حلّها بإكمال المربع: $(s + b/2)^2 = b^2/4 - q$ . للجذر التربيعي جوابان، أحدهما مع + والآخر مع −، لذا توجد دائمًا قيمتان لـ $s$ :

s = -\frac{b}{2} \pm \sqrt{\frac{b^2}{4} - q}

مع $b = 2\zeta\omega_n$ و $q = \omega_n^2$ ، يكون ما تحت الجذر $\omega_n^2(\zeta^2 - 1)$ . عندما ζ < 1 يكون سالبًا، ونحتاج إلى $i$ من الفصل الخامس: يصبح الجوابان زوجًا متماثلًا كالمرآة، $-\zeta\omega_n \pm i\,\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$ . عند ζ = 1 يساوي الجذر صفرًا تمامًا ويلتقي الجوابان. ومن هنا يأتي $c_{\text{crit}} = 2\sqrt{mk}$ : إنه التخميد الذي يجعل الجذر يختفي.

إشارة ± تعطينا إجابتين، واحدة لكل نقطة. الموضع الأفقي للنقطة هو σ (سيغما): مدى سرعة تقلص ذلك الجزء من الحركة. وارتفاعها هو ω: مدى سرعة دورانه. عندما يكون التخميد أقل من 1، تتشارك النقطتان الموضع الأفقي نفسه لكنهما تقعان على ارتفاعين متقابلين. عند 1 تلتقيان؛ وفوق 1 تقع كلتاهما على المحور الأفقي.

كلمات جديدة

استجابة الخطوة: كيف يستجيب النظام لقفزة مفاجئة في هدفه، هنا من 0 إلى 1 م. إنها الطريقة المعيارية لإظهار الشخصية.
زمن الاستقرار (2%): المدة حتى تبقى الاستجابة ضمن 2% من الهدف بلا رجعة.

حرّك المقبضين. راقب النقاط الزرقاء على الخريطة: إنهما قيمتا $s$ ، وفوق الارتفاع الذي تستقر عنده، الحركة مزيج من $e^{s_1 t}$ و $e^{s_2 t}$ . (عند ζ = 1 تمامًا تصير النقطتان نقطة واحدة، ويصبح المكوّن الثاني $t\,e^{s_1 t}$ .)

الفصل 7: الشخصية الحقيقية للطائرة المسيّرة ↗

كلمات جديدة

تحت التخميد ( $\zeta < 1$ ): قيمتا $s$ تشكلان زوجًا متماثلًا كالمرآة خارج المحور الحقيقي، وتقعان على دائرة نصف قطرها $\omega_n$ . الاستجابة تتجاوز وتتذبذب حتى تستقر.
تخميد حرج ( $\zeta = 1$ ): يلتقي الزوج على المحور الحقيقي في نقطة مزدوجة واحدة، فتكون الحركة $(A + B\,t)\,e^{-\omega_n t}$ . أسرع استجابة دون تجاوز.
تخميد زائد ( $\zeta > 1$ ): ينقسم الزوج على طول المحور الحقيقي: يتحرك أحدهما لليسار، ويزحف الآخر نحو الصفر. لا تجاوز، لكن الاستجابة بطيئة.

تفصيل آخر يختبئ في نقطتي حالة تحت التخميد: ارتفاعهما $\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$ ، أي أقل قليلًا من $\omega_n$ . التخميد لا يقلّص التذبذب فحسب، بل يبطئه قليلًا أيضًا. هذا هو التردد المخمَّد $\omega_d$ ، والأداة التفاعلية تعرضه.

\omega_d = \omega_n\sqrt{1 - \zeta^2}

ميكا: إذن، اللوالب من الفصل السادس كانت شخصية الطائرة المسيّرة طوال الوقت. الدوران = التمايل، والتقلص = الاستقرار!

هل المزيد من التخميد أفضل دائمًا؟

جون: سهل. التمايلات سيئة والتخميد يقضي على التمايلات. لذا سأضبط $\zeta = 5$ للسلامة. أكثر طائرة مسيّرة أمانًا على الإطلاق.

توقّع أولًا! نفس النابض، ونفس $\omega_n$ . نرفع التخميد من $\zeta = 1$ إلى $\zeta = 3$ . هل تصل إلى الهدف أسرع أم أبطأ؟

الفصل 7: الشخصية الحقيقية للطائرة المسيّرة ↗

جون: طائرتي المسيّرة "الآمنة" تستغرق وقتًا طويلاً جدًا. الأمر أشبه بالتحرك داخل العسل.

ميكا: انظر إلى الخريطة! انطلقت إحدى النقاط مسرعة إلى اليسار بسرعة هائلة. لكن النقطة الأخرى تجلس قريبة جدًا من الصفر.

ثيو: و $e^{st}$ مع $s$ قريب من الصفر يتلاشى ببطء شديد. السريع يختفي في طرفة عين. والبطيء هو المسيطر.

كل مكوّن $e^{st}$ من مكوّنات الحركة يُسمى نمطًا. الحركة مزيج من الأنماط، وبعد أن تتلاشى الأنماط السريعة لا يبقى إلا أبطؤها. لذا في استجابة الخطوة هذه، أبطأ نمط يظهر فعليًا هو الذي يحدد الانتظار الطويل.

التخميد القليل جدًا يعني تمايلًا؛ والكثير جدًا يعني زحفًا. وبينهما نقطة مثالية. اختر ζ = 0.7 في السباق: تجاوزه أقل من 5%، لكنه يصل إلى ضمن 5% من الهدف أبكر بكثير مما يفعل ζ = 1. كثير من التصاميم تستهدف ζ بين 0.7 و1 تقريبًا، مقايِضةً تجاوزًا صغيرًا بالسرعة. وقد تفضّل مهام أخرى توازنًا مختلفًا.

عودة إلى الطائرة المسيّرة

الآن أصبح الفصل الثاني منطقيًا أخيرًا. بالنسبة لطائرتنا المسيّرة، ثابت النابض هو الكسب:

\omega_n = \sqrt{\frac{\eff{K_p}}{m}}, \qquad \zeta = \frac{c}{2\sqrt{m\,\eff{K_p}}}

$\eff{K_p}$ يجلس في أسفل معادلة التخميد. زيادة الكسب تجعل الطائرة المسيّرة أسرع ( $\omega_n$ أكبر)، لكن أقل تخميدًا. مع $\eff{K_p} = 20$ نيوتن/متر: $\zeta = 1/(2\sqrt{0.5 \times 20}) \approx 0.16$ . شديدة الارتداد، تمامًا كما رأينا. على الخريطة، تقع قيمتا $s$ الخاصتان بها عاليًا وعلى بُعد قليل فقط إلى يسار المحور الرأسي. هناك تعيش طائرتنا المسيّرة.

ثيو: ولا يمكننا الحصول على تخميد أكبر دون خفض $\eff{K_p}$ كثيرًا، مما يعيد الانخفاض المستمر. نحتاج إلى طريقة لإضافة التخميد عن قصد.

اسحب الكسب وراقب المقايضة في جملة واحدة:

الفصل 7: الشخصية الحقيقية للطائرة المسيّرة ↗

للأسهم طول وزاوية

ميكا: لحظة. النقطتان تقعان على دائرة نصف قطرها $\omega_n$ ، وζ لا يفعل سوى أن يُزلقهما حولها. إذن النقطة في الحقيقة شيئان: كم تبعد عن 0، وإلى أي اتجاه.

يمكن وصف كل سهم $z = a + b\,i$ بالطريقة الأخرى أيضًا: بـطوله $|z|$ وزاويته. فيثاغورس يعطينا الطول. ولسهم يشير إلى اليمين ( $a > 0$ )، الزاوية هي التي يكون فيها الصعود مقسومًا على التقدّم الأفقي هو $b/a$ . اسمها قوس الظل، $\arctan$ : زر التراجع الخاص بالظل.

|z| = \sqrt{a^2 + b^2}, \qquad \angle z = \arctan\frac{b}{a} \quad (a > 0)

الفصل 7: الشخصية الحقيقية للطائرة المسيّرة ↗

وجدنا في الفصل 5 أن ضرب الأسهم يضرب أطوالها ويجمع زواياها. والقسمة يجب أن تتراجع عن ذلك، فهي تقسم الأطوال وتطرح الزوايا.

ثيو: إذن $1/(1+i)$ : طوله $1/\sqrt 2$ ، والزاوية 45° زائد 45°، أي 90°؟ همم. اضرب ذلك مجددًا في $1+i$ فيشير إلى 135°، بعيدًا جدًا عن 1.

جون: ناقص إذن. طوله $1/\sqrt 2$ عند −45°. اضربه في $\sqrt 2$ عند +45°، فيصير طوله 1 عند 0°: 1 بالضبط. الحساب صحيح.

الفصل 7: الشخصية الحقيقية للطائرة المسيّرة ↗

السهم المتقطع الباهت هو التوأم المرآتي $\bar z = a - b\,i$ من الفصل 6 (يسميه الرياضيون المرافق): الطول نفسه، والزاوية معاكسة. اضرب سهمًا في توأمه فتلغي الزاويتان بعضهما، ويبقى عدد موجب بسيط هو مربع الطول. وجدول الفصل 9 سيحتاج إلى هذا بالضبط:

z\,\bar z = |z|^2 = a^2 + b^2, \qquad (s - i\omega)(s + i\omega) = s^2 + \omega^2

والدائرة؟ القطب عند $-\zeta\omega_n + i\,\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$ طوله $\omega_n$ . قِس زاويته θ من المحور الحقيقي السالب، فيكون الجزء المتجه إلى اليسار $\omega_n\cos\theta$ . إذن $\zeta = \cos\theta$ : التخميد هو الزاوية.

جون: جرّبوا الإعداد الثاني في الأداة: 1 + iωτ. هذه قاعدة القهوة من الفصل 3 وهي تلتقي بتذبذبة. القسمة عليه تصغّر وتدير إلى الخلف، أكثر فأكثر كلما أسرعت التذبذبة، لكن ليس أبعد من ربع دورة أبدًا. أراهن أن الدش يهتم بهذا.

كلمات جديدة

الطول $|z|$: كم يبلغ طول السهم: $\sqrt{a^2+b^2}$ للعدد $z = a + b\,i$ . ضرب الأسهم يضرب أطوالها.
الزاوية $\angle z$: الاتجاه الذي يشير إليه السهم، مقيسًا من المحور الحقيقي الموجب. $\arctan(b/a)$ لسهم يشير إلى اليمين. الضرب يجمع الزوايا، والقسمة تطرحها.
التوأم المرآتي $\bar z$: السهم مقلوبًا عبر المحور الحقيقي، $a - b\,i$ (المرافق). $z\,\bar z = |z|^2$ .

ما نعرفه الآن

ما توصلنا إليه

طائرة مسيّرة خاضعة لتحكم تناسبي P تخضع تمامًا لنفس معادلة كتلة على نابض: المتحكم هو نابض افتراضي.
رقمان يلخصان شخصيتها: $\omega_n$ (مدى السرعة) و $\zeta$ (مدى الارتداد).
$\omega_n = \sqrt{k/m}$ هو سرعة التأرجح دون مخمّد. و $\zeta = c/c_{\text{crit}}$ يقارن التخميد بالتخميد الحرج $2\sqrt{mk}$ الذي يوقف التجاوز بالكاد.
الحركة مزيج من حدّين $e^{st}$ . تقع قيمتا $s$ على دائرة نصف قطرها $\omega_n$ عندما يكون النظام تحت التخميد، وتنفصلان على المحور الحقيقي عندما يكون زائد التخميد.
للسهم طول وزاوية ( $\arctan$ ). الضرب يضرب الأطوال ويجمع الزوايا، والقسمة تقسم الأطوال وتطرح الزوايا. $\zeta = \cos\theta$ .
التخميد يبطئ التذبذب قليلًا أيضًا: $\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$ .
المزيد من التخميد ليس أفضل دائمًا: بعد $\zeta = 1$ تزحف قيمة $s$ البطيئة نحو الصفر فيتباطأ كل شيء.
بالنسبة للطائرة المسيّرة، زيادة $K_p$ تعني تخميدًا أقل. لهذا أصبحت أكثر تمايلًا.

ثيو: "لقد خمّنّا طريقنا إلى قيم $s$ هذه. أضف الجاذبية والرياح والطرود ومتحكمًا أذكى، وسيصبح التخمين سيئًا. هل توجد آلة تحوّل هذا التفاضل والتكامل إلى جبر بسيط؟"

الفصل 7: الشخصية الحقيقية للطائرة المسيّرة ↗