الفصل الرابع

لماذا الدوال الأسية سحرية

هل يوجد منحنى يكون ميله مجرد نسخة من نفسه؟

الضرب، مرة بعد مرة

ثيو: في المرة السابقة، تقلص فارق حرارة القهوة عن حرارة الغرفة بمعدل يتناسب مع الفارق نفسه. فارق كبير يعني تقلصًا سريعًا، وفارق صغير يعني تقلصًا بطيئًا. ما نوع المنحنى الذي يفعل ذلك؟

جون: لقد ألقى الفصل الثالث تلميحًا من قبل. كل خطوة صغيرة كانت تضرب الفارق في العدد نفسه. فلنبدأ إذن بأبسط آلة ضرب على الإطلاق: المضاعفة.

خذ شيئًا يتضاعف كل ثانية. بعد ثانية واحدة يصبح لديك 2. بعد ثانيتين، 2 × 2 = 4. بعد 3 ثوانٍ، 2 × 2 × 2 = 8. نكتب ذلك $2^t$ : الحرف t الصغير في الأعلى يعدّ كم مرة نضرب في 2.

الفصل 4: لماذا الدوال الأسية سحرية ↗

اسحب عدد الثواني إلى ما دون الصفر، أو إلى نصف ثانية. صفر ثانية يعني أنه لا مضاعفة بعد، إذن $2^0 = 1$ . والرجوع ثانية واحدة يلغي مضاعفة: $2^{-1} = \tfrac12$ . أما نصف الثانية فلا بد أن يكون عددًا إذا استُخدم مرتين صنع مضاعفة واحدة: $\sqrt2 \approx 1.41$ ، لأن 1.41 × 1.41 ≈ 2.

ميكا: إذن لا يلزم أن يكون الأس عددًا صحيحًا. إنه فقط «كم من الضرب قد حدث»، وقد يكون قليلًا أو كثيرًا أو حتى سالبًا.

إليك هذه المضاعفات على شكل سُلّم من الأعمدة. قسّم كل درجة إلى نصفين، ثم إلى أرباع، ثم إلى شرائح دقيقة، وحرّك العدسة المكبّرة هنا وهناك:

الفصل 4: لماذا الدوال الأسية سحرية ↗

ميكا: أينما وضعت العدسة، ترتفع الدرجة بالنسبة نفسها من ارتفاعها. الأعمدة الطويلة ترتفع كثيرًا، والقصيرة ترتفع قليلًا، لكن النسبة هي نفسها دائمًا.

ثيو: هذه بالضبط خاصية القهوة: التغيّر يتناسب مع المقدار الموجود. وانظروا إلى القراءة الأخيرة. كلما صغرت الدرجات، تقترب قيمة «الصعود ÷ الارتفاع لكل ثانية» من عدد ما، نحو 0.69 للمضاعفة. تذكّروا هذا.

النمو بخطوات صغيرة جدًا

ميكا: لقد رأيت $e^t$ في الكتب المدرسية. أليست $e$ مجرد رقم عشوائي يحبه الرياضيون؟ 2.718 أو شيء كهذا، لا يهم.

جون: لن نتجادل في ذلك. لنبنِ قاعدة نمو ونرَ أي عدد يخرج منها.

إليك القاعدة: انمُ بمقدار 100% مما لديك، في كل ثانية. الطريقة الكسولة لاتباعها هي خطوة عملاقة واحدة: بعد ثانية واحدة يصبح لديك 1 + 1 = 2. لكن هذه حيلة جون ذات الخطوة العملاقة من الفصل الثالث. طوال الثانية كلها استخدمنا معدل النمو الذي كان في البداية، مع أن الكومة ظلت تكبر.

فلنأخذ إذن خطوات أصغر. خطوتان بمقدار 50%: 1.5 × 1.5 = 2.25. أربع خطوات بمقدار 25%: 1.25 × 1.25 × 1.25 × 1.25 ≈ 2.44. كل خطوة تُنمّي كومة قد نمت بالفعل.

ميكا: خطوات أكثر، نمو أكثر! ومع عدد لا نهائي من الخطوات سنحصل على مقدار لا نهائي. سأصبح ثريًا!

توقّع أولًا! واصل تقسيم الثانية: ألف خطوة، مليون، بقدر ما تشاء. ماذا يحدث للمجموع بعد ثانية واحدة؟

الفصل 4: لماذا الدوال الأسية سحرية ↗

ميكا: إنه يتوقف! مئة خطوة، ألف خطوة، ولا يتجاوز 2.718 أبدًا. وداعًا لثروتي اللانهائية.

الفصل 4: لماذا الدوال الأسية سحرية ↗

هذا السقف هو العدد $e$ . إنه ما تقترب منه الخطوات عندما تصبح صغيرة صغرًا لا نهائيًا:

e = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} \approx 2.71828

ثيو: الآن بدّل الأداة إلى التقلص. مع $\left(1 - \frac1n\right)^n$ تستقر عند $1/e \approx 0.368$ : يتبقى 36.8%، أي أننا قطعنا 63.2% من الطريق. هذه هي نسبة 63% من مسطرة ثابت الزمن في الفصل الثالث!

جون: وهذه قهوتي! قسّم τ واحدة إلى n خطوة يدوية، $\Delta t = \tau/n$ : كل خطوة تضرب الفجوة في $1 - \frac1n$ ، فبعد τ واحدة تصبح الفجوة $\left(1 - \frac1n\right)^n$ مما كانت عليه. خطوة عملاقة واحدة ( $n = 1$ ) تهبط على درجة حرارة الغرفة بالضبط. والخطوات الصغيرة جدًا تُبقي 36.8%.

منحنى ينسخ نفسه

لنبحث الآن بالمسطرة. نريد منحنى يكون ميله عند كل نقطة مضاعفًا ثابتًا لارتفاعه. يقول السُّلّم إن كل دالة أسية $b^t$ ينبغي أن تفي بالشرط: $2^t$ و $3^t$ وأصدقاؤها. ضع مماسًا على كل منحنى واقسم ميله على ارتفاعه.

الفصل 4: لماذا الدوال الأسية سحرية ↗

اسحب المؤشر على طول أي منحنى وستجد أن قراءة الميل ÷ الارتفاع لا تتغير. كل دالة أسية تنسخ نفسها بمقياس عدد ثابت. للأساس 2 هذا العدد حوالي 0.693 (وهو العدد الذي كانت درجات السُّلّم المتقلصة تقترب منه). وللأساس 3 حوالي 1.099.

ولأساس واحد بالضبط يكون عدد القياس 1، بحيث يقع منحنى الميل فوق المنحنى نفسه مباشرة. أي أساس هو؟

\frac{d}{dt}\,e^{t} = e^{t}

ميكا: إنه 2.718 مرة أخرى! العدد نفسه الذي أعطتنا إياه الخطوات الصغيرة جدًا. بحثان مختلفان تمامًا، وعدد واحد. حسنًا، أسحب كلامي: $e$ ليس عشوائيًا على الإطلاق.

ثيو: طبعًا هو نفسه. «انمُ بمقدار 100% مما لديك في كل ثانية، بسلاسة» تعني أن الميل = الارتفاع. إنها أمنية واحدة في زيّين مختلفين.

كل أساس هو e في السر

قالت المسطرة إن للأساس 2 نسبة الميل ÷ الارتفاع ≈ 0.693. هذه ليست مصادفة: العدد 2 هو ما تصبح عليه $e$ بعد 0.693 ثانية من النمو، $2 = e^{0.693}$ . إذن

2^{t} = \left(e^{0.693}\right)^{t} = e^{0.693\,t}

الفصل 4: لماذا الدوال الأسية سحرية ↗

كل أساس موجب هو قوة ما لـ $e$ . ولهذا الأس اسم: اللوغاريتم الطبيعي $\ln b$ ، وهو بالضبط نسبة الميل ÷ الارتفاع التي قاستها المسطرة. الأساسات الأصغر من 1 تأخذ أسًّا سالبًا: إنها تتقلص. ولأن ضرب القوى يجمع الأسس، فإن $\ln(a\,b) = \ln a + \ln b$ : اللوغاريتمات تحوّل الضرب إلى جمع. وسيعتمد الفصل 12 على ذلك.

تسريعها: e^(at)

الأنظمة الحقيقية لا تتغير كلها بالوتيرة نفسها، لذا لنضع مقبضًا في الأس: $e^{at}$ . العدد a يمدد الزمن أو يضغطه.

الفصل 4: لماذا الدوال الأسية سحرية ↗

الآن الميل ÷ الارتفاع يساوي a بالضبط في كل مكان على المنحنى. تخيّل السبب: $e^{at}$ هو فيلم $e^{t}$ يُعرض أسرع بـ a مرة، فيصبح كل ميل أشد انحدارًا بـ a مرة. إذا كان a موجبًا: ينمو (وينمو أسرع فأسرع). إذا كان a سالبًا: يتقلص نحو الصفر، مثل فارق حرارة القهوة. إذا كان a = 0: يبقى في مكانه فحسب.

\frac{d}{dt}\,e^{at} = a\,e^{at}

المقبض والأساس وجهان للشيء نفسه: $e^{at} = \left(e^{a}\right)^{t}$ . في كل ثانية، يضرب المنحنى نفسه في $e^{a}$ .

الفصل 4: لماذا الدوال الأسية سحرية ↗

توقّع أولًا! خذ ميل $e^{2t}$ ، ثم خذ ميل ذلك الميل. ماذا تحصل؟

\frac{d}{dt}e^{at} = a\,e^{at},\qquad \frac{d^2}{dt^2}e^{at} = a^2\,e^{at}

ثيو: مهلاً، هذا ضخم. بالنسبة للدوال الأسية، يتحول أخذ الميل (التفاضل) إلى الضرب في a (مجرد جبر).

خمّن دالة أسية

بالنسبة إلى قاعدة يكون فيها الميل مجرد أعداد ثابتة مضروبة في الشيء نفسه (لا شيء مربّع، ولا أعداد تتغير مع الزمن)، مثل قاعدة القهوة لدينا، يمكننا تجربة دالة أسية: عوّضها وراقب أي قيمة لـ a تجعل القاعدة صحيحة. أنواع أخرى من القواعد قد تحتاج أشكالًا أخرى.

كانت قاعدة القهوة هي $\frac{dT}{dt} = -\frac{T - 20}{\tau}$ مع τ = 10 دقائق. تخميننا هو $T = 20 + 70\,e^{at}$ (70 هي الفجوة الابتدائية). اضبط a حتى يتوافق ميل التخمين مع ما تطلبه القاعدة.

الفصل 4: لماذا الدوال الأسية سحرية ↗

تتفق الحسابات الجبرية مع شريط التمرير. ميل التخمين هو $a \cdot 70e^{at}$ (العدد 20 لا يتغير أبدًا، لذا ميله 0، والعدد 70 يرافقه فحسب). القاعدة تريد $-70e^{at}/\tau$ . يظهر $70e^{at}$ على الطرفين ويُلغى:

a \cdot 70e^{at} = -\frac{70e^{at}}{\tau} \quad\Longrightarrow\quad a = -\frac{1}{\tau}

ثيو: ويهبط تمامًا على النقاط التي بنيناها يدويًا في الفصل الثالث. أسلوب تخمين دالة أسية يعمل. المعادلة التي تحدد قيمة a تسمى المعادلة المميزة.

النابض يكسر حيلتنا

جون: لنجربها على شيء يرتد. كتلة على نابض تشبه في الأساس طائرتنا المسيّرة تحت التحكم التناسبي P: تُسحب للخلف بقوة أكبر كلما ابتعدت عن الهدف.

يسحب النابض للخلف بقوة $-kx$ . القوة = الكتلة × التسارع، والتسارع هو ميل الميل (الفصل الثالث). إذن القاعدة هي:

m\,\frac{d^2x}{dt^2} = -k\,x

خمّن $x = e^{at}$ . ميل الميل هو $a^2 e^{at}$ ، إذن $m a^2 e^{at} = -k e^{at}$ . ألغِ $e^{at}$ :

a^2 = -\frac{k}{m}

مع k/m = 4، نحتاج عددًا مربعه −4. ابحث عن واحد:

الفصل 4: لماذا الدوال الأسية سحرية ↗

ثيو: المربعات لا تكون سالبة أبدًا. القطع المكافئ الأزرق لا يصل أبدًا إلى الخط الأخضر. إذن لا يوجد a كهذا. حيلتنا تفشل: النوابض ببساطة لا يمكن وصفها بدوال أسية.

ميكا: لكن النابض هناك تمامًا، يرتد بسعادة. إنه يملك حركة. ربما ليست المشكلة في النابض، بل في فكرتنا عمّا يُعد عددًا؟

ثيو: …همم. أعترف أنني قلت "لا يوجد عدد" بسرعة بعض الشيء. كل عدد أعرفه مربعه موجب.

ما نعرفه حتى الآن

ما توصلنا إليه

$b^t$ تعني «اضرب في b عدد t من المرات»، ويمكن أن تكون t أي عدد: $2^0 = 1$ ، $2^{-1} = \tfrac12$ ، $2^{0.5} = \sqrt2$ .
النمو بمقدار 100% في الثانية بخطوات تزداد صغرًا يستقر عند $e \approx 2.718$ . والتقلص بالطريقة نفسها يُبقي $1/e \approx 0.368$ : مسطرة 63% من الفصل الثالث.
ميل كل دالة أسية هو نسخة من نفسها: الميل ÷ الارتفاع ثابت.
$e \approx 2.718$ هي الأساس الذي تكون عنده تلك النسبة مساوية لـ 1 تمامًا. مع $e^{at}$ تكون النسبة a.
أخذ ميل $e^{at}$ يضرب فقط في a. يتحول التفاضل والتكامل إلى جبر.
خمّن دالة أسية، وعوّضها في القاعدة، وأوجد قيمة a. بالنسبة إلى القهوة، a = −1/τ.
بالنسبة إلى النابض، يطلب التخمين $a^2 = -k/m$ ، ولا يوجد عدد عادي يفعل ذلك. حتى الآن.

الطائرة المسيّرة والنابض يتذبذبان. الدوال الأسية تنمو أو تتقلص فقط. إلا إذا… هل يمكن لعدد أن يربّع ليعطي سالبًا؟

الفصل 4: لماذا الدوال الأسية سحرية ↗