الفصل الثامن

مسبار لابلاس

هل تستطيع مساحة واحدة مقيسة أن تخبرنا أين تعيش الإشارة؟

مسبار للإشارات

ثيو: في كل مرة نحل فيها شيئًا، كنا نخمّن $e^{st}$ ، نعوّض به، وندعو. الآن أضف الجاذبية، وارتفاعًا ابتدائيًا، ومتحكمًا… دفتر ملاحظاتي يحترق.

جون: عندما أبني الأشياء، الحيلة دائمًا هي تحويل مهمة صعبة إلى مهمة سهلة. الصعب: التفاضل والتكامل مع ميول الميول. السهل: جبر بسيط مع $+$ ، $-$ ، $\times$ ، $\div$ .

ميكا: إذن نحتاج آلة تأكل منحنىً وتُخرج شيئًا تتحول فيه الميول إلى ضرب؟ هل يوجد هذا؟

نعم توجد، ويمكننا بناؤها من أشياء نملكها بالفعل. إليك الفكرة. خذ أي إشارة، أي منحنى يتغيّر مع الزمن، $f(t)$ . اضربها في مسبار، هو الدالة الأسية $e^{-st}$ من الفصل 4 (تتقلص عندما يكون $s$ موجبًا). ثم قِس المساحة الكلية تحت حاصل الضرب (المساحة المتراكمة من الفصل 3)، على طول الطريق حتى $t = \infty$ .

F(s) = \int_0^\infty \out{f(t)}\; e^{-st}\,dt

هذا كل شيء. يدخل عدد $s$ ، وتخرج مساحة. جرّب قيمًا مختلفة لـ $s$ فتحصل على منحنى جديد كليًا $F(s)$ . هذا المنحنى هو تحويل لابلاس لـ $f$ : بصمة الإشارة. إشارتان مختلفتان (معقولتان) لا تتشاركان أبدًا في $F(s)$ نفسه، ولهذا سنستطيع لاحقًا البحث عن الإجابات بالعكس.

لماذا هذا المسبار؟

ثيو: لماذا هذا المنحنى بالذات؟ لماذا ليس نتوءًا، أو جيبًا؟

جون: لسببين، وأستطيع عدّهما على أصابعي. الأول: إنه المنحنى المميّز من الفصل 4. ميله هو ببساطة $-s$ مضروبًا في نفسه، فحين تظهر الميول ستتحول إلى ضرب في $s$ . الثاني: إنه عكس $e^{st}$ الذي ظللنا نخمّنه تمامًا. ضعه مقابل $e^{at}$ فيلغي أحدهما الآخر عندما $s = a$ .

\frac{d}{dt}\,e^{-st} = -s\,e^{-st} \qquad e^{at}\cdot e^{-st} = e^{(a-s)t}

سنشاهد الإلغاء في القسم التالي، والميول في الفصل التالي.

توقّع أولًا! خذ أبسط إشارة، إشارة خطوة: $f(t) = 1$ إلى الأبد. عندما نجعل $s$ أكبر، ماذا يحدث للمساحة تحت $1 \cdot e^{-st}$ ؟

الفصل 8: مسبار لابلاس ↗

حرّك $s$ في الأداة فترسم النقاط $1/s$ بالضبط. جرّب الإشارات الأخرى أيضًا. الإشارة المتزايدة $e^{0.5t}$ لا تكون لها مساحة منتهية إلا حين يتقلص المسبار أسرع من نمو الإشارة، أي حين $s > 0.5$ . دون ذلك تهرب المساحة إلى ما لا نهاية. أما التذبذب $\sin 2t$ فيفشل بطريقة أخرى: عند $s = 0$ تتأرجح مساحته ذهابًا وإيابًا بين 0 و1 (المساحة السالبة من الفصل 3 تلغي الموجبة)، ولا تستقر أبدًا على عدد واحد.

يجب أن تستقر المساحة الكلية عند قيمة منتهية، حتى يحصل كل $s$ على عدد واحد. إذا تلاشى المسبار ببطء شديد، تستمر المساحة في النمو ولا تكون لهذا الـ $s$ إجابة.

يصرخ التحويل حيث تسكن الإشارة

لننظر عن قرب إلى $f(t) = e^{at}$ . افحصه بـ $e^{-st}$ فيكون حاصل الضرب $e^{(a-s)t}$ ، وهو دالة أسية بسيطة. ما دام $s > a$ فإنه يتلاشى، ومساحته $\frac{1}{s-a}$ (سنشتق ذلك كما ينبغي حين نبني جدولنا في الفصل التالي).

الفصل 8: مسبار لابلاس ↗

ميكا: عندما يقترب $s$ من $a$ يصبح العدد ضخمًا! عند $s = a$ يلغي المسبار النمو تمامًا، ويصبح الناتج ثابتًا إلى الأبد، والمساحة لا نهائية.

ثيو: لذا ينفجر التحويل بالضبط عند $s$ حيث تسكن الإشارة. إذا أعطيتني $F(s)$ فقط، فبإمكاني إيجاد $a$ الخاص بالإشارة بالبحث عن موضع انفجاره.

الفصل 8: مسبار لابلاس ↗

ميكا: إنه مثل جهاز إنذار الدخان. قرّب $s$ من $a$ فيعلو صوته أكثر فأكثر. قف على $a$ فلا يتوقف أبدًا.

اجعل الآن $s$ مركّبًا، $s = \sigma + i\omega$ ، تمامًا مثل أعدادنا الدوّارة من الفصل 5. خذ دوّار النابض من الفصل 6، $e^{2it}$ (نصف زوجه التوأم)، إشارةً. يقلّصه المسبار $e^{-st}$ (هذا هو الجزء الأفقي، $\sigma$ ) ويديره إلى الخلف (هذا هو الجزء الرأسي، $\omega$ ). في الأسفل تُجمع قطع المساحة الصغيرة لحاصل الضرب رأسًا إلى ذيل على شكل أسهم، سهم لكل ربع ثانية. راقب المجموع التراكمي.

الفصل 8: مسبار لابلاس ↗

جون: عندما يدور المسبار عند القيمة 2 بالضبط، تتوقف الإشارة عن الدوران، وتشير جميع القطع في الاتجاه نفسه، ويبلغ المجموع أكبر ما يمكن: $1/\sigma$ ، الذي ينطلق نحو اللانهاية كلما تقلّص σ نحو 0. وعندما لا تتطابق، تلتف الأسهم حول نفسها وتُلغي بعضها.

الدرس نفسه، لكن ببُعد واحد إضافي: ينفجر التحويل عند العدد المركّب $s$ حيث تعيش الإشارة. لهذا، من الآن فصاعدًا، سنرسم كل $s$ على خريطة محورها الأفقي $\sigma$ ومحورها العمودي $\omega$ . خريطتنا “خريطة $s$ ” من الفصل السادس تحصل أخيرًا على اسمها الناضج: مستوى s.

كلمات جديدة

مستوى s: خريطة الأعداد المركّبة $s = \sigma + i\omega$ . اليسار يعني انكماشًا، واليمين يعني نموًّا، والأعلى والأسفل يعنيان دورانًا. تعيش كل إشارة $e^{st}$ عند نقطة واحدة عليها، وينفجر تحويلها هناك.

ما نعرفه الآن

ما توصلنا إليه

تحويل لابلاس هو مسبار: اضرب في $e^{-st}$ وقس المساحة الكلية. $F(s) = \int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$ .
إنه ينفجر بالضبط حيث تعيش الإشارة: $e^{at}$ يعطي $1/(s-a)$ ، الذي ينفجر عند $s = a$ . بالنسبة إلى $s$ المركّب، يفك المسبار دوران الإشارات الدوارة. نرسم كل هذا على مستوى s.
يمكن أن تكون المساحة على امتداد الأبد منتهية، ما دام الذيل يرقّ بسرعة كافية. وإذا تلاشى المسبار أبطأ مما تنمو الإشارة، فلا تحويل لهذا الـ $s$ أصلًا.

ثيو: "إذن يخبرنا المسبار أين تعيش الإشارة. لكننا أردنا أن تتحول الميول إلى ضرب. فماذا يفعل المسبار بالميل؟"

الفصل 8: مسبار لابلاس ↗