الفصل الخامس

الأعداد الدوارة

ما نوع العدد الذي قد يكون مربعه −1، ولماذا قد يتذبذب؟

الأعداد أسهم

ميكا: في المرة السابقة احتاج النابض إلى عدد يحقق $a^2 = -4$ . قال ثيو إن مثل هذا العدد غير موجود. لكن كيف سيكون شكله أصلًا؟

تخيّل كل عدد على أنه سهم من 0 على طول خط الأعداد. الضرب في 2 يمدّد السهم. الضرب في ½ يقلّصه. والضرب في −1 يقلبه ليشير إلى الاتجاه الآخر. هذا نصف دورة.

جون: أوه. إذا كان الضرب في (−1) نصف دورة… فما نصف نصف الدورة؟ ربع دورة! سيشير السهم إلى الأعلى مباشرة، خارج خط الأعداد.

لنُطلق على ربع الدورة اسمًا: i. إذا قمنا بها مرتين نكون قد أنجزنا نصف دورة، أي الضرب في (−1). إذن $i \cdot i = -1$ . وها هو عددنا الذي مربعه سالب!

الفصل 5: الأعداد الدوارة ↗

i^2 = -1 \qquad\text{(دورتان بربع دورة = نصف دورة)}

ثيو: لحظة. هذه هي "الأعداد التخيلية". الجميع يعرف أنها مختلقة. لا يمكن أن تصف نابضًا فيزيائيًا حقيقيًا.

جون: إنها ليست تخيلية، إنها جانبية! إنها مجرد سهم ثنائي الأبعاد. الالتفات يسارًا حقيقي مثل المشي إلى الأمام.

عدد مثل $3 + 2i$ يعني ببساطة "3 خطوات أفقيًا، وخطوتان جانبيًا". مستوى الأسهم بأكمله هو المسرح لكل ما سيأتي.

قياس الدورات

جون: إذا كانت i ربع دورة، فسنقضي اليوم كله في تدوير الأسهم. فكيف نقول كم دار السهم؟

الدرجات عادة قديمة: 360 منها في الدورة الواحدة، لأن تقويمًا قديمًا أحبّ العدد 360. أما علماء الرياضيات فيقيسون الدورة بالدائرة نفسها. دحرج عجلة نصف قطرها 1 وانظر كم تقطع حافتها. الراديان هو الزاوية التي يبلغ طول قوسها نصف قطر واحدًا بالضبط.

توقّع أولًا! كم راديانًا في الدورة الكاملة؟

الفصل 5: الأعداد الدوارة ↗

تتبّع رأس السهم وهو يدور. ظله على المحور الحقيقي يسمى جيب التمام للزاوية، $\cos\theta$ ؛ وظله على المحور الجانبي هو جيب الزاوية، $\sin\theta$ . دوِّره بانتظام فيرسم الظلان موجتين، وجيب الزاوية يتأخر ربع دورة عن جيب التمام.

ميكا: فهمت. إذن الدوّار الذي سرعته 2 راديان في الثانية يدور مرتين كل ثانية!

ثيو: مرتان في الثانية تعني دورتين، أي $4\pi$ راديان. أما 2 راديان في الثانية فهي دورة كاملة كل $2\pi/2 \approx 3.14$ ثانية.

كلمات جديدة

الراديان: الزاوية التي يبلغ طول قوسها نصف قطر واحدًا. الدورة الكاملة $2\pi$ راديان، ونصف الدورة $\pi$ .
جيب التمام وجيب الزاوية: ظلّا سهم طوله 1 عند الزاوية θ: $\cos\theta$ على طول المحور الحقيقي، و $\sin\theta$ جانبيًا.

عدد يدور

تُقاس سرعات الدوران بالراديان في الثانية: الدوّار الذي سرعته 2 راديان في الثانية يُتم دورة كاملة في $2\pi/2 \approx 3.14$ ثانية. الرمز ω يخبرنا بسرعة الدوران تلك.

تخيّل الآن نقطة تتحرك حول دائرة بسرعة ثابتة، ω راديان في الثانية. إلى أين تشير سرعتها المتجهة؟ (السرعة المتجهة هي السرعة من الفصل الثالث مع اتجاه، لذا فالسرعة المتجهة لسهم متحرك هي سهم أيضًا: إلى أين يتحرك رأسه، وبأي سرعة.) دائمًا على طول الدائرة، أي ربع دورة أمام السهم الواصل إلى النقطة.

ربع الدورة هو الضرب في i، والسرعة تساوي ω مضروبة في نصف القطر. إذن السرعة المتجهة هي الموضع بعد تدويره ربع دورة، مضروبًا في ω: السرعة المتجهة = iω × الموضع.

ثيو: لحظة. "الميل يساوي عددًا ثابتًا مضروبًا في نفسه" هي بالضبط خاصية الدالة الأسية من الفصل الرابع! مع a = iω.

ميكا: لكن لحظة. في الفصل الرابع كان الأس يعني «كم من الضرب قد حدث». فماذا يعني أصلًا أن نرفع $e$ إلى الأس $i\theta$ ؟ أن نضرب في $e$ عددًا من المرات قدره $i\theta$ ؟

جون: لنبنِه على طريقة الفصل الرابع. كان $e$ هو $n$ خطوة صغيرة جدًا، تنمو كل منها بمقدار $\frac1n$ . فلنجعل كل خطوة صغيرة دفعةً خفيفة جانبية بدلًا من ذلك.

e^{i\theta} = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{i\theta}{n}\right)^{n}

الفصل 5: الأعداد الدوارة ↗

كل خطوة تدير السهم بزاوية صغيرة جدًا، نحو $\theta/n$ راديان، وتمدّده قليلًا. ومع خطوات أكثر يتلاشى التمدد ويستقر المسار على الدائرة، بعد θ راديان بالضبط. ولهذا نستخدم الراديان: الدفعات الجانبية الصغيرة تتراكم على طول الحافة. إذن $e^{i\theta}$ هو ببساطة النقطة على الدائرة عند الزاوية θ.

إذن $e^{i\omega t}$ ليس مخيفًا على الإطلاق. إنه نقطة تدور حول دائرة نصف قطرها 1، بمعدل ω راديان كل ثانية. راقبها، وراقب ظلها على المحور الحقيقي:

الفصل 5: الأعداد الدوارة ↗

\begin{aligned}\frac{d}{dt}\,e^{i\omega t} &= i\omega\,e^{i\omega t} \\ \text{الإسقاط على المحور الحقيقي} &= \cos(\omega t)\end{aligned}

ينزلق الظل ذهابًا وإيابًا على شكل موجة جيب التمام مثالية. السهم الدوّار، عند النظر إليه من الجانب، هو تذبذب. هذا هو المكان الذي كان يختبئ فيه التذبذب.

ما نعرفه حتى الآن

ما توصلنا إليه

الأعداد أسهم. الضرب يديرها ويمددها. i تمثل ربع دورة، لذا $i^2 = -1$ .
الراديان هو الزاوية التي يبلغ طول قوسها نصف قطر واحدًا: الدورة الكاملة $2\pi$ . وcos θ وsin θ هما ظلّا سهم مُدار.
$e^{i\theta}$ ، المبني من خطوات جانبية صغيرة جدًا $\left(1 + \frac{i\theta}{n}\right)^n$ ، هو النقطة على الدائرة عند الزاوية θ.
$e^{i\omega t}$ نقطة تدور حول دائرة. ظلها موجة جيب تمام.
السرعة المتجهة للدوّار تسبق موضعه دائمًا بربع دورة: السرعة المتجهة $= i\omega \times$ الموضع. هذه هي قاعدة الدالة الأسية مع $a = i\omega$ .

ميكا: "إذن فالعدد الغامض للنابض موجود في النهاية: إنه 2i. فهل يعني ذلك أن النابض الحقيقي يتأرجح جانبيًا؟"

الفصل 5: الأعداد الدوارة ↗