الفصل التاسع

من التفاضل والتكامل إلى الجبر

هل يمكننا تحويل التفاضل والتكامل إلى جبر؟

الفصل 9: من التفاضل والتكامل إلى الجبر ↗

المشتقات تتحول إلى ضرب

ميكا: أتذكر الورقة اللاصقة من الفصل 4؟ مع $e^{at}$ كان أخذ الميل مجرد $\times\, a$ . راقب الآن ماذا يفعل المسبار بالميل.

كلمات جديدة

$f'$ و $f''$: اختصار لـ $\frac{df}{dt}$ ، ميل $f$ ، ثم ميل ذلك الميل. في الفصل 7 كتبناهما بالنقاط، $\dot x$ و $\ddot x$ .
$\mathcal{L}\{f\}$: «تحويل $f$ »: الشيء نفسه مثل $F(s)$ ، مفيد حين تكون $f$ تعبيرًا كاملًا.
الحروف الكبيرة: الحرف الكبير هو تحويل حرفه الصغير: $F$ لـ $f$ ، و $H$ للارتفاع $h$ ، و $X$ لـ $x$ .

هذه هي الخاصية التي تجعل الأمر كله يستحق العناء. ماذا يحدث للتحويل عندما نأخذ مشتقة الإشارة؟ جرّبها مع $f = e^{at}$ . مشتقتها هي $a e^{at}$ (الفصل الرابع)، لذا

\begin{aligned} \mathcal{L}\{f'\} &= \frac{a}{s-a} = \frac{s}{s-a} - 1 \\ &= s\,F(s) - f(0) \end{aligned}

تحولت المشتقة إلى ضرب في $s$ ، ناقص القيمة الابتدائية $f(0)$ . التفاضل والتكامل أصبح جبرًا!

الفصل 9: من التفاضل والتكامل إلى الجبر ↗

ثيو: مهلاً. هذه حيلة تعمل مع $e^{at}$ لأن $e^{at}$ حالة خاصة. بعد قليل ستقول لي إنها قاعدة جاهزة علينا حفظها. لا أصدق أنها تعمل مع أي منحنى.

جون: إذن فلنجربها على أبشع منحنى يمكنك رسمه.

ارسم أي إشارة تريدها في المخطط الأول (أو اختر إعدادًا مسبقًا). نحسب ميلها، ثم نحسب طرفي القاعدة كليهما بآلة المساحة: تحويل الميل، و $s\,F(s) - f(0)$ . يُظهر المخطط الثاني هذين الطرفين لكل $s$ .

الفصل 9: من التفاضل والتكامل إلى الجبر ↗

ثيو: إنهما متطابقان، حتى مع خربشتي المتعرجة. إذن ليست قاعدة للحفظ في النهاية: إنها ما تفعله آلة المساحة بأي ميل.

وماذا عن القفزة؟

ثيو: ضغطتُ «قفزة» وما زالتا متطابقتين. لكن القفزة ليست ملساء. لا يوجد ميل عند الجُرف!

انظر إلى الميل في المخطط الأول: عند $t = 2$ توجد ذروة طويلة ورفيعة. رأى ميل الحاسوب القفزة صعودًا واحدًا شديد الانحدار. احذف تلك الذروة فيختلف الطرفان بمقدار $1.4\,e^{-2s}$ (ارتفاع القفزة 1.4، عند $t = 2$ )، أي نحو 0.19 عند $s = 1$ .

\text{الفرق بدون الذروة} = 1.4\,e^{-2s}

جون: إذن القفزة المفاجئة ما زالت تغيّرًا، لكنه مضغوط في لحظة واحدة، والقاعدة تحسب كل تغيّر. لديّ شعور بأن تلك الذروة ستعود.

إليك الجبر الناقص، على شكل صورة. يتغيّر حاصل الضرب لسببين. تتغيّر $f$ بينما يبقى المسبار ثابتًا، ويتغيّر المسبار بينما تبقى $f$ ثابتة. تخيّل مستطيلًا ضلعاه $f$ و $e^{-st}$ : يكبر على طول ضلع، ثم على طول الآخر. لهذه الخطوة اسم: التكامل بالتجزئة.

\big(f\,e^{-st}\big)' = f'\,e^{-st} - s\,f\,e^{-st}

اجمع تلك التغيّرات من 0 إلى ∞ (الفصل 3: المساحة تُلغي الميل) فتحصل على القيمة عند النهاية ناقص القيمة عند البداية. هذا ما يعنيه القوسان $\big[\,\cdot\,\big]_0^\infty$ :

\big[f\,e^{-st}\big]_0^\infty = \int_0^\infty f'\,e^{-st}\,dt - s\,F(s)

عند الطرف البعيد يكون المسبار قد سحق كل شيء إلى الصفر (ما دام $s$ يتغلب على نمو الإشارة)، فالطرف الأيسر هو ببساطة $0 - f(0)$ . انقل $s\,F(s)$ إلى الطرف الآخر وها هي القاعدة.

ثيو: إذن $f(0)$ ليست ترقيعًا. إنها المستطيل الذي بدأنا به.

طبّق القاعدة نفسها مرة أخرى، هذه المرة على $f'$ ، التي قيمتها الابتدائية $f'(0)$ ، أي السرعة الابتدائية:

\begin{aligned} \mathcal{L}\{f''\} &= s\,\mathcal{L}\{f'\} - f'(0) \\ &= s\big(s\,F(s) - f(0)\big) - f'(0) \\ &= s^2 F(s) - s\,f(0) - f'(0) \end{aligned}

جدولنا الخاص

تطبع الكتب المدرسية «جدول تحويلات لابلاس» وكأنه نزل من السماء. سنكسب جدولنا نحن، صفًّا تلو الآخر. كل صف هو مجرد آلة الفحص والمساحة مطبَّقة على إشارة واحدة، مع التحقق من أن الصيغة تتفق مع المساحة الفعلية.

الفصل 9: من التفاضل والتكامل إلى الجبر ↗

ميكا: صف الجيب هو المفضّل عندي. فالجيب ليس سوى دوّارَين توأمَين، وتحويل كل دوّار هو الصف الأسّي مع $a = \pm i\omega$ . في الفصل 6 جمعنا التوأمين لنحصل على جيب التمام. اطرحهما بدلًا من ذلك فتُلغى الأجزاء الأفقية، ويبقى $2i\sin\omega t$ . من هنا تأتي الـ $2i$ ! وضرب مقامَي التوأمين هو حاصل الضرب المرآتي من الفصل 7، $(s - i\omega)(s + i\omega) = s^2 + \omega^2$ .

(مع $a$ مركّب يظل الصف الأسّي صالحًا ما دام الجزء الأفقي من $s$ يتغلب على الجزء الأفقي من $a$ . بالنسبة للتوأمين هذا يعني ببساطة $\sigma > 0$ .)

والصف الأخير لم يحتج إلى أي عمل جديد إطلاقًا: فالضرب في $e^{-\sigma t}$ ينقل ببساطة $s$ إلى $s+\sigma$ . أربعة صفوف، كلها اشتُقّت وكلها خضعت للتحقق.

قاعدة أخرى كنا نستخدمها بهدوء. آلة المساحة عادلة: اجعل الإشارة أطول 3 مرات فتصبح كل شريحة من مساحتها أطول 3 مرات، وكذلك المساحة كلها. اجمع إشارتين فتُجمع مساحتاهما. يسمّي الرياضيون هذا الخطية.

الفصل 9: من التفاضل والتكامل إلى الجبر ↗

جون: هذا ما يتيح لنا تحويل معادلة حدًّا بعد حد، مع الأعداد التي أمامها وكل شيء. ومعادلة الطائرة المسيّرة هي بالضبط مجموع من هذا النوع. هيا نستخدم الجدول!

عكس توحيد المقامات

ثيو: كل إجابة سنحصل عليها تخرج كسرًا واحدًا كبيرًا. لكن جدولنا لا يعرف إلا الكسور الصغيرة: $\frac1s$ ، و $\frac{1}{s-a}$ ، والجيوب. كيف نكسر كسرًا كبيرًا إلى أجزاء من الجدول؟

في المدرسة كنت تجمع الكسور بإيجاد مقام مشترك. هنا نسير بالعكس: نبدأ من كسر واحد ونبحث عن الأجزاء الصغيرة التي مجموعها يساويه. هذا يُسمّى التفكيك إلى كسور جزئية:

\frac{1}{s} + \frac{1}{s+2} = \frac{2s + 2}{s\,(s+2)} \qquad\text{إذن}\qquad \frac{2s+2}{s\,(s+2)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+2}

ماذا نضع في بسط كل جزء؟ **مجهول واحد لكل قوة من $s$ في مقامه.** المقام مثل $s$ أو $s + 2$ يأخذ عددًا عاديًا. أما المقام التربيعي مثل $s^2 + 2s + 5$ فيأخذ $B\,s + C$ : مجهولين، لأن في التربيعي متسعًا لاثنين.

الفصل 9: من التفاضل والتكامل إلى الجبر ↗

جون: كل منزلق يحرّك جزءًا واحدًا، والأجزاء تُجمع ببساطة في الزمن أيضًا. الجزء $A$ خطوة، والجزء التربيعي تذبذب يخمد. والكسر الكبير على اليمين هو ما يساويه مجموعها.

لإيجاد الأعداد طريق مختصر لأجزاء القوة الأولى: حيلة التغطية. اضرب في مقام الجزء، ثم اجعل $s$ القيمة التي تجعله صفرًا: تختفي كل الأجزاء الأخرى ولا يبقى إلا بسطه.

A = \Big[s \cdot \frac{2s+2}{s\,(s+2)}\Big]_{s=0} = \frac{2}{2} = 1, \qquad B = \Big[(s+2) \cdot \frac{2s+2}{s\,(s+2)}\Big]_{s=-2} = \frac{-2}{-2} = 1

المقام التربيعي يحتاج إلى خطوة أخرى قبل أن يستطيع الجدول قراءته: ادفعه إلى الشكل $(s + \sigma)^2 + \omega^2$ عن طريق إكمال المربع، بتنصيف العدد الأوسط وتربيعه. إذن $s^2 + 2s + 5 = (s + 1)^2 + 4$ : جيب تمام وجيب متضائلان مع $\sigma = 1$ و $\omega = 2$ .

حلّ الطائرة المسيّرة بالجبر

هذه هي طائرة الفصل 2 المسيّرة تحت تحكم P، هذه المرة بلا دفع تحويم مجاني، تبدأ من حافة ارتفاعها متر واحد. عند $t=0$ نطلقها ونطلب منها الوصول إلى مترين. في الحساب من تلك اللحظة فصاعدًا، تتحول القيمة المرجعية الجديدة وقوة الجاذبية الثابتة كلتاهما مثل الخطوة:

m\,\out{h}'' + c\,\out{h}' = \eff{K_p}\,(\sp{2} - \out{h}) - \dis{m g}

الخطوة 1: حوّل كل حدّ. لأن المساحات تتضاعف وتُجمع (قسم الجدول)، نستطيع تحويل كل حدّ وحده. الخطوة بمقدار $r$ تصبح $r/s$ ، والميول تصبح ضربًا في $s$ . إليك ما كتبناه:

m\,s^2\out{H} + c\,s\,\out{H} = \eff{K_p}\Big(\frac{\sp{2}}{s} - \out{H}\Big) - \frac{\dis{m g}}{s}

الخطوة 2: صار الأمر جبرًا الآن. اجمع $\out{H}$ في طرف واحد، ثم اقسم:

\begin{gathered} \begin{aligned} &(m s^2 + c s + \eff{K_p})\,\out{H} \\ &\quad = \frac{\eff{K_p}\,\sp{2} - \dis{m g}}{s} \end{aligned} \\[8pt] \out{H}(s) = \frac{N(s)}{s\,\big(m s^2 + c s + \eff{K_p}\big)} \\[8pt] N(s) = \eff{K_p}\,\sp{2} - \dis{m g} \end{gathered}

ميكا: انظروا إلى هذا. لم تبقَ أي ميول، مجرد حروف يُعاد ترتيبها. ثيو، دفترك توقف عن الدخان.

الخطوة 3: قسّمها إلى أجزاء من الجدول، كما في القسم السابق: عدد واحد في بسط الجزء $s$ ، و $B s + C$ في بسط الجزء التربيعي:

\out{H}(s) = \frac{A}{s} + \frac{B s + C}{m s^2 + c s + \eff{K_p}}

كيف نجد $A$ و $B$ و $C$ ؟ اضرب الطرفين في المقام المشترك $s\,(m s^2 + c s + \eff{K_p})$ :

\begin{aligned} N(s) &= A\,(ms^2+cs+\eff{K_p}) \\ &\quad + s\,(Bs+C) \end{aligned}

حيلة التغطية

هناك طريق مختصر لإيجاد $A$ . اضرب $\out{H}$ في $s$ فيبقى في بسط كل جزء عدا $A/s$ عامل $s$ . ضع $s = 0$ فتختفي كلها. وحده $A$ ينجو:

A = \Big[s\,\out{H}(s)\Big]_{s=0} = \frac{N(0)}{\eff{K_p}} = \sp{2} - \frac{\dis{mg}}{\eff{K_p}}

و $s\,\out{H}$ قرب $s = 0$ هو المكان الذي تنتهي إليه الطائرة المسيّرة على المدى الطويل، هذا إن استقرت أصلًا. الارتفاع النهائي يسقط مباشرة من الجبر، دون حاجة إلى محاكاة.

ميكا: مهلًا. نستطيع قراءة المكان الذي تستقر فيه دون أن نحل شيئًا؟ هذا يبدو كالغش.

ثيو: إنه غش، إلا إذا تلاشى كل ما عداه. هنا الأجزاء الأخرى هي تذبذب الطائرة المسيّرة نفسها، وهي تخمد، فيبقى $A$ . لو كان للمقام جذر في النصف الأيمن، لبقي $A/s$ في الكسر، لكن جزءًا متناميًا سيطغى عليه ولن تستقر الطائرة المسيّرة في أي مكان. الفصل 10 يبيّن كيف نتحقق.

ثم قارن الطرفين، قوةً واحدة من $s$ في كل مرة. الأعداد الثابتة تعطي $A$ ، وحدود $s^2$ تعطي $B$ ، وحدود $s$ تعطي $C$ :

\begin{gathered} A = \sp{2} - \frac{\dis{mg}}{\eff{K_p}} \\ B = -m\,A, \qquad C = -c\,A \end{gathered}

لا تظهر فيزياء جديدة هنا: لقد فككنا ببساطة مقامًا مشتركًا لنصل إلى أجزاء يستطيع جدولنا إعادتها إلى الزمن. لاحظ أن $A$ لا يهتم بالمكان الذي بدأت منه الطائرة المسيّرة.

ثيو: ولم نضطر إلى تخمين $e^{st}$ ولو مرة واحدة. الجدول خمّن عنا.

الخطوة 4: ابحث عن كل جزء في الجدول الذي اشتققناه للتو: $A/s$ خطوة، والجزء الثاني جيب تمام متضائل زائد جيب متضائل (الاستطراد أدناه يُظهر كيف يطابق هذين الصفين). اقرأ $h(t)$ .

إكمال المربع: الفصل 7 كان مختبئًا في المقام

الجزء الثاني ليس في جدولنا بعد: مقامه كثيرة حدود تربيعية عادية. ادفعه إلى الشكل $(s+\sigma)^2 + \omega^2$ (إكمال المربع، كما في القسم السابق) فيطابق صفَّي الجيب المتضائل تمامًا. ينقسم البسط بالطريقة نفسها، جزء لصف جيب التمام وجزء لصف الجيب:

\begin{gathered} 0.5\,s^2 + s + \eff{K_p} = 0.5\,\big((s+1)^2 + \omega_d^2\big) \\ \omega_d^2 = 2\eff{K_p} - 1 \\[6pt] B\,s + C = B\,(s+1) + (C - B) \end{gathered}

إذن $\sigma = 1$ ، وهو $\zeta\omega_n$ من الفصل 7 لطائرتنا، و $\omega$ هو التذبذب المخمَّد $\omega_d$ .

الفصل 9: من التفاضل والتكامل إلى الجبر ↗

ثيو: لحظة. المقام يصبح صفرًا بالضبط عند النقطتين اللتين وضعناهما على الخريطة في الفصل 7! احتفظوا بهذه الفكرة.

جون: لنتحقق منها بالمحاكاة!

توقّع أولًا! نبدأ الطائرة المسيّرة على حافة ارتفاعها متر واحد ونشغّل صيغتنا بجانب المحاكاة. ماذا سنرى؟

الفصل 9: من التفاضل والتكامل إلى الجبر ↗

ميكا: أوه. الصيغة تبدأ من صفر، لكن الطائرة المسيّرة تبدأ على الحافة عند 1 متر. هل الجبر يكذب؟

ثيو: الجبر سليم. نحن كذبنا. انظروا إلى الخطوة 1: كتبنا $\mathcal{L}\{h''\} = s^2 H$ و $\mathcal{L}\{h'\} = s\,H$ ، وأسقطنا كل $h(0)$ . هذا هو بالضبط الجزء الذي يتذكر الحافة.

اقلب المفتاح لإعادة حدود الارتفاع الابتدائي، وراقب الخطوتين 1 و2 والمعاملات أعلاه تتغيّر معه. الصيغة المتقطعة والمحاكاة الزرقاء تنطبقان الآن إحداهما على الأخرى تمامًا: أكبر فرق أقل من جزء من مليون من المتر، مجرد تقريب. غيّر $\eff{K_p}$ أو ارتفاع الحافة وستظلان متطابقتين.

الفصل 9: من التفاضل والتكامل إلى الجبر ↗

ثيو: في الفصل 2 اضطررنا إلى تطيير الطائرة المسيّرة لنعرف انخفاضها المستمر. هنا سقط ببساطة من كسر.

ما نعرفه الآن

ما توصلنا إليه

تصبح الميول ضربًا: $\mathcal{L}\{f'\} = sF(s) - f(0)$ . الحد $f(0)$ يتذكر أين بدأت الإشارة. انسَه فتبدأ إجابتك من المكان الخطأ.
اشتققنا جدولنا الخاص: $1/s$ ، و $1/(s-a)$ ، و $\omega/(s^2+\omega^2)$ ، والنسخة المُزاحة للجيب المتضائل. المساحات تتضاعف وتُجمع، فنستطيع تحويل معادلة حدًّا بعد حد.
الكسور الكبيرة تتفكك إلى كسور جزئية: مجهول واحد لكل قوة من $s$ في كل مقام، نجده بحيلة التغطية. والمقام التربيعي يصبح جيب تمام وجيبًا متقلصين.
حوّل، وقم بالجبر، وقسّم إلى أجزاء من الجدول، واقرأ الإجابة. الجزء $A/s$ هو المكان الذي تستقر فيه الطائرة المسيّرة، مع انخفاضها المستمر. إنها تطابق المحاكاة تمامًا، ما دمت تحتفظ بالقيم الابتدائية.

جون: "كل مرة حللنا فيها شيئاً، كانت الإجابة (شيء) ÷ (كثيرة حدود في s)، وكان سلوك الطائرة المسيّرة يأتي من حيث يكون المقام صفراً. ماذا لو كان ذلك الكسر هو الطائرة المسيّرة؟"

الفصل 9: من التفاضل والتكامل إلى الجبر ↗