التحكم التناسبي

ادفع بقوة أكبر كلما كنت أبعد

جون: في المرة السابقة، استقرت الطائرة المسيّرة على ارتفاع أقل بمقدار 25 سم مع وجود الحمولة. أريد أن أعرف لماذا.

ثيو: كانت قاعدتنا مكونة من جزأين: 4.9 نيوتن لإبقاء الطائرة المسيّرة في الهواء، بالإضافة إلى 8 نيوتن لكل متر من الخطأ. كانت الـ 4.9 نيوتن مجرد تخمين للوزن. وعندما غيّرت الحمولة الوزن، أصبح التخمين خاطئًا.

ميكا: إذن فلنتخلَّ عن التخمين! لا 4.9. دع الخطأ يقوم بكل العمل: ادفع بقوة تتناسب مع مدى انحرافك.

هذا أشهر متحكم على الإطلاق، التحكم التناسبي (اختصارًا "تحكم P"):

$K_p$ هو الكسب: كم نيوتنًا من الدفع تضيفه لكل متر من الخطأ. وحدته نيوتن لكل متر (N/m). القيمة الكبيرة لـ $K_p$ تعني متحكمًا متحمسًا، والقيمة الصغيرة لـ $K_p$ تعني متحكمًا هادئًا. هذا هو المقبض الوحيد المتاح لنا في هذا الفصل.

توقّع أولًا! خذ $K_p = 5$ نيوتن/متر. تبدأ الطائرة المسيّرة من الأرض وتتجه نحو ارتفاع 2 متر. أين ستنتهي محلقةً؟

الفصل 2: التحكم التناسبي ↗

انظر إلى الخط الأزرق المنقط: هذا هو المكان الذي تستقر عنده الطائرة المسيّرة وهي تحوم، ويكون دائمًا أسفل الهدف. الفجوة تسمى خطأ الحالة المستقرة، أو ببساطة الانخفاض المستمر.

ثيو: إنها لعبة شد الحبل. الجاذبية تسحب للأسفل بقوة 4.9 نيوتن دائمًا. الطريقة الوحيدة التي يستطيع بها المتحكم أن يدفع بالمقابل بقوة 4.9 نيوتن هي أن يتبقى بعض الخطأ ليضاعِفه.

الآن اخفض $K_p$ إلى 2 نيوتن/متر. الطائرة المسيّرة لا تغادر الأرض حتى! على الأرض الخطأ هو 2 متر، لذا الدفع هو $2 \times 2 = 4$ نيوتن فقط، أي أقل من وزن 4.9 نيوتن. تقول الصيغة إنها ستحتاج إلى انخفاض مستمر بمقدار 2.45 متر، أي تحت الأرض.

فقط ارفع الكسب!

جون: حل سهل: الكسب الأكبر أفضل دائمًا. كلما زاد $K_p$، قلّ الانخفاض المستمر. ارفعه لأقصى حد!

ميكا: حاضر. أقصى طاقة: $K_p = 60$!

الفصل 2: التحكم التناسبي ↗

ميكا: انخفض الانخفاض المستمر إلى 8 سم! بعد بضع ثوانٍ، أصبحت الطائرة عند ارتفاع 2 متر تقريبًا. انتصار!

ثيو: ميكا… انظر إلى أول ثانيتين. ارتفعت فجأة إلى حوالي 3.4 متر، متجاوزة الهدف بكثير. وانظر إلى الدفع: 120 نيوتن عند الإقلاع، ثم يسحب لأسفل، ثم للأعلى مجددًا. هذا ليس تحويمًا، بل ارتدادًا.

ميكا: أوه. لقد نظرت فقط إلى أين استقرت في النهاية. منطقة الخطأ الحمراء في البداية ضخمة.

كان هذا خطأ ميكا: الحكم على المتحكم فقط من حيث يستقر في النهاية. كيف يصل إلى هناك لا يقل أهمية. جرّب بعض قيم الكسب وراقب الشبح الخافت لمحاولتك السابقة:

• كسب منخفض (قيمة $K_p$ صغيرة): لطيف، لكنه ينخفض كثيرًا. اخفضه بما يكفي ولن تُقلع الطائرة المسيّرة أبدًا.
• كسب مرتفع (قيمة $K_p$ كبيرة): انخفاض مستمر صغير، لكنه يتجاوز (يتخطى النقطة التي سيستقر عندها) ويتذبذب قبل أن يستقر.

جون: لماذا قد يجعل الدفع بقوة أكبر الطائرة تتمايل؟

ثيو: دفعة كبيرة تجعلها تتحرك بسرعة. وعندما تصل إلى الارتفاع الصحيح، تظل سريعة، ولا يوجد في قاعدتنا ما يقول "تمهّل، لقد اقتربت". فقط مقاومة الهواء تكبحها بلطف. لذا تتجاوز الهدف، ثم تُدفع للخلف، ثم تتجاوزه مرة أخرى…

تحدٍ

لنجد النقطة المثالية. تنجح الطائرة المسيّرة إذا كان الانخفاض المستمر لديها أقل من 20 سم و التجاوز أقل من 30% (نقيس التجاوز بمدى ارتفاعها فوق الارتفاع الذي تستقر عنده في النهاية). أوجد قيمة $K_p$ تحقق كليهما.

الفصل 2: التحكم التناسبي ↗

ميكا: المناطق الخضراء لا تتداخل أبدًا! يحتاج الانخفاض المستمر إلى $K_p$ فوق 24.5 تقريبًا، بينما يحتاج التجاوز إلى أقل من 3.9 تقريبًا. لا توجد إجابة.

ثيو: لأن مقبضًا واحدًا يتحكم في كليهما، ويسحبهما في اتجاهين متعاكسين. ليس الأمر أننا لم نجد الرقم الصحيح. لا يوجد رقم صحيح. نحتاج إلى نوع أفضل من المتحكم.

جون: لتصميم أفضل، يجب أن نتحدث عن التذبذبات بدقة. «بطيئة الاستجابة»، «متذبذبة»، «تستقر في النهاية»... هذه مجرد انطباعات وليست فيزياء.

ما نعرفه حتى الآن

بطيئة. مهتزة. تتجاوز. تستقر. نستمر في وصف كيف تتغير الأشياء مع الزمن بكلمات غامضة. نحتاج لغة حقيقية للتغيّر.