الفصل السادس

خريطة s

كيف يصنع عدد دوّار تذبذبًا حقيقيًا، وكيف تبدو كل قيمة لـ s؟

عودة إلى النابض (وخطأ جديد)

جون: في المرة السابقة بنينا عددًا يدور. لنعطِه للنابض ونرَ إن كان سيُحسن التصرف.

احتاج النابض إلى $a^2 = -k/m = -4$ . جرّب $a = 2i$ : $(2i)^2 = 4\,i^2 = -4$ . ✓ و $a = -2i$ يعمل أيضًا.

ثيو: حسنًا، لقد كنت مخطئًا. حيلة تخمين الدالة الأسية ما زالت صامدة. النابض هو $e^{2it}$ ، دوّار يدور مرتين كل… 2π ثانية.

ميكا: إذن موضع النابض هو $e^{2it}$ ؟ إنه الآن عند... $0.4 + 0.9i$ مترًا؟

جون: الزنبرك لا يمكن أن يتحرك 0.9 مترًا جانبيًا. إنه يتحرك فقط لأعلى ولأسفل.

نسي ميكا الإجابة الأخرى. لقد وجدنا حلّين، $e^{2it}$ و $e^{-2it}$ : دوّارًا وتوأمه المرآتي يدور في الاتجاه المعاكس. اجمعهما:

الفصل 6: خريطة s ↗

ميكا: الأجزاء الجانبية تلغي بعضها تمامًا! المجموع ينزلق ببساطة على طول الخط الحقيقي، ذهابًا وإيابًا.

x(t) = \tfrac12\left(e^{i\omega t} + e^{-i\omega t}\right) = \cos(\omega t),\qquad \omega = \sqrt{k/m}

لماذا يكون التوأم موجودًا دائمًا؟ قاعدة النابض لا تحوي إلا أعدادًا حقيقية ( $m$ و $k$ ، بلا $i$ ). اقلب حلًّا رأسًا على عقب، فيصير كل $i$ إلى $-i$ ، ولن تلاحظ القاعدة أي فرق: صورة المرآة حلٌّ أيضًا. لذا في أي شيء حقيقي تأتي الدوّارات في أزواج مرآتية، ومعًا تلغي أجزاؤها الجانبية بعضها، ويتبقى تذبذب حقيقي يمكننا قياسه.

خريطة s

أعطانا الفصل الرابع دوال أسية تنمو أو تتقلص. الآن لدينا دوّارات تتذبذب. ضعهما معًا: $e^{st}$ مع $s = \sigma + i\omega$ .

e^{st} = e^{(\sigma + i\omega)t} = \underbrace{e^{\sigma t}}_{\text{نمو/تقلّص}}\cdot\underbrace{e^{i\omega t}}_{\text{دوران}}

إذن كل عدد s هو وصفة: σ (الجزء الأفقي) يحدد سرعة النمو أو التقلص، وω (الجزء الجانبي) يحدد سرعة الدوران. معًا يرسمان حلزونًا، وظل الحلزون هو الإشارة التي سنراها.

توقّع أولًا! ضع s عند $-0.5 + 3i$ . كيف يبدو ظل $e^{st}$ ؟

الفصل 6: خريطة s ↗

تجوّل في الخريطة بسحب s (أو باستخدام مفاتيح الأسهم):

النصف الأيسر (σ < 0): ينكمش الحلزون، ويتلاشى التذبذب.
النصف الأيمن (σ > 0): ينمو الحلزون، وينفجر التذبذب.
على الخط العمودي (σ = 0): دائرة كاملة، تذبذب يستمر إلى الأبد.
على الخط الأفقي (ω = 0): لا دوران إطلاقًا، فقط الدوال الأسية البسيطة من الفصل الرابع.
أبعد عن الخط الأفقي (أعلى أو أسفل): دوران أسرع، وتذبذبات أسرع. أبعد إلى اليسار: تلاشٍ أسرع.

جون: إذن فالنقطة الواحدة على هذه الخريطة تمثل شخصية كاملة: مدى سرعة تذبذبها وما إذا كانت تهدأ أو تنفجر.

جولة جانبية سريعة: كل شيء مصنوع من الدوّارات

مفاجأة أخيرة. خذ دوّارات بسرعات مختلفة (1، 3، 5، 7... أضعاف السرعة)، وقلّص كلًّا منها وابدأه عند الزاوية المناسبة تمامًا، ثم اجمع ظلالها. بعدد كافٍ منها يمكنك بناء طيف واسع جدًا من الأشكال، حتى موجة مربعة ذات زوايا حادة.

الفصل 6: خريطة s ↗

أوضح فورييه كيف يمكن تركيب العديد من الإشارات الدورية من قطع دوّارة. الموجة المربعة مثال واحد: كلما زادت القطع اتضحت أجزاؤها المسطحة وحوافها الحادة. هذه طريقة قوية لوصف الإشارات، ولها شروط وحدود يمكننا استكشافها لاحقًا.

ما نعرفه حتى الآن

ما توصلنا إليه

التذبذبات الحقيقية تأتي من دوّارَين توأمَين متناظرَين تُلغي أجزاؤهما الجانبية بعضها بعضًا.
$e^{st}$ مع $s = \sigma + i\omega$ يدور و ينمو أو يتقلص: شكل حلزوني. ظله تذبذب ينمو أو يتلاشى.
خريطة s: اليسار يهدأ، واليمين ينفجر، والأعلى يعني تذبذبات أسرع.
يمكن بناء كثير من الإشارات الدورية، حتى الموجة المربعة، بجمع دوّارات بسرعات مختلفة (فورييه). وبجوار أي قفزة مباشرة يتجاوز المجموع دائمًا بنحو 9%.

جون: "إذن أين تعيش طائرتنا المسيّرة على هذه الخريطة؟"

الفصل 6: خريطة s ↗