Capitolo 13

La sfida del drone

Riesci tu a tenere il drone a 2 m qualunque cosa succeda?

Briefing della missione

June: Ok. Drone vero, consegna vera. Decolla con un pacco, resiste a una raffica, sgancia il pacco e tiene i 2 m per tutto il tempo. Venti secondi.

Mika: E non possiamo toccare niente mentre vola?

Theo: È proprio questo il punto. Il controllore deve farcela da solo. Noi scegliamo solo tre numeri. Anzi, quattro: anche il filtro.

La missione, secondo per secondo:

0 s: decollo da terra con un pacco da 0,2 kg (0,7 kg in tutto).
6–9 s: una raffica verso il basso spinge con 1,5 N.
12 s: il pacco si sgancia. All'improvviso il drone è 0,2 kg più leggero.
20 s: missione finita.

Per il gran finale il nostro modello di drone diventa un po' più onesto. Ognuna di queste è una cosa con cui i droni veri devono convivere, e ognuna è una vecchia amica di un capitolo precedente:

Ritardo dei motori (τ ≈ 0,05 s): un'elica non può cambiare velocità all'istante. La sua spinta segue il comando come il caffè che si raffredda del Capitolo 3, un ritardo del primo ordine: al 63% dopo 0,05 s. Una spinta in ritardo è lo sfasamento del Capitolo 12 travestito.
**Un sensore rumoroso ( $\sigma_n$ ≈ 2 cm, la n sta per l'inglese noise, rumore; non è la σ di un polo):** ogni lettura dell'altezza sbaglia di circa 2 cm, a caso, mille volte al secondo. Il Capitolo 11 ci aveva avvisati: la D trasforma quel tremolio in grossi picchi di spinta.
Motori limitati (da 0 a 20 N): il limite del Capitolo 10 resta attivo. Con il pacco il drone pesa 6,9 N, quindi 20 N sono solo circa tre volte il suo peso, e i motori non possono mai tirare verso il basso. Mentre sono al limite, la pila si ferma (l'anti-windup del Capitolo 11).
La D è filtrata: la soluzione del Capitolo 11. La D prende la pendenza di una lettura del sensore smussata, un ritardo del primo ordine con la costante di tempo $\tau_f$ che scegli tu. Un $\tau_f$ più lungo vuol dire più calma, ma più tardi.

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Un ritardo breve è quasi un ritardo puro

Theo: Un motore che ci mette 0,05 s ad accelerare… non è solo un ritardo piccolissimo?

\angle \frac{1}{1 + i\omega\tau_m} = -\arctan(\omega\tau_m) \approx -\omega\tau_m \qquad (\omega\tau_m \ll 1)

June: Quasi! Prendi una taratura che conquista tutte e sei le stelle (niente spoiler). Il suo guadagno d'anello vale esattamente 1 a circa 10 rad/s, dove il Capitolo 12 legge il margine di fase. Lì un ritardo puro di 0,05 s costerebbe 28°. Il ritardo dei motori ne costa 26.

Mika: Quindi è di nuovo il Capitolo 12, solo in piccolo.

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Con i motori veri, circa 25° di margine se ne vanno prima ancora che entrino in gioco il rumore o i limiti. Ecco perché le tarature vincenti del finale sono più delicate di quelle del Capitolo 11.

Theo: Solo 33°? Secondo le coppie di margine e ζ del Capitolo 12 è uno ζ rimbalzante, circa 0,3. E allora come si guadagna la stella della sovraelongazione?

La sua coppia di poli oscillante è davvero così rimbalzante (ζ ≈ 0,33: da sola andrebbe oltre di circa il 33%). Ma quasi tutta la salita viaggia su due poli lenti e calmi vicino a −1,1 e −2,7, e alla coppia oscillante tocca solo una piccola parte. Anche con motori illimitati il decollo va oltre solo del 7% circa. Le coppie del Capitolo 12 valgono per il suo anello semplice. Questo ha più pezzi, quindi leggi il suo margine come una distanza di sicurezza, non come una promessa sulla sovraelongazione.

Il Capitolo 12 disegnerebbe proprio questo. Ecco l'anello del drone, un giro della taratura a sei stelle: controllore, motori, drone. Fai scorrere il ritardo dei motori e guarda la fase piegarsi verso il basso.

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Theo: Senza il ritardo la fase non arriva mai a −180°, quindi non c'è nessun precipizio: per quanto alzassi il guadagno, l'anello non potrebbe mai raggiungere il −1 del Capitolo 10. È il minuscolo ritardo dei motori a costruire il precipizio.

Prima indovina! Quando il pacco si sgancia a 12 s, quale termine fa il grosso del lavoro per riportare il drone esattamente a 2 m?

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Mika: Aspetta. Quindi dopo lo sgancio il drone deve stare un po' troppo in alto per un po'? È da quell'errore che la pila disimpara!

Fai volare la missione

Ogni modifica a un cursore fa ripartire la missione, e il volo precedente resta come fantasma. Il piccolo piano s mostra i poli nominali: il ritardo dei motori e il filtro ci sono, restano fuori solo il rumore, il pacco e i limiti. Così puoi vedere il quadro lineare mentre accanto succede il volo vero, disordinato. Conquista tutte e sei le stelle per l'oro.

I limiti sono quello che noterebbe un cliente della consegna: assestato entro 3 s, mai più del 10% troppo in alto, spostato dalla raffica non più di una spanna (20 cm), di nuovo a posto 2 s dopo lo sgancio, mai a strisciare per terra, e motori che non ronzano (meno di 0,5 N di vibrazione).

Per la stella dell’arrivo, l’altezza reale deve restare entro ±5 cm dall’arrivo fino alla raffica a 6 s; attraversare 2 m una sola volta non basta. La stella dei motori calmi usa la deviazione standard della spinta tra 3 e 6 s, dopo il decollo e prima della raffica: la variazione tipica rispetto alla media, compresi l’assestamento tardivo e il rumore del sensore. Punta una riga della checklist (o raggiungila con Tab) per evidenziare i secondi che giudica.

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June: Ho tarato il controllore perfetto nella mia testa: $K_d$ enorme, il filtro più piccolo possibile così la D reagisce all'istante. Con l'aria ferma è impeccabile! Guardate…

June: …perché i motori urlano? La linea arancione è tutta pelosa, e ora va pure oltre!

Theo: Capitolo 11, avvertimento 2. Un $K_d$ grande per un filtro minuscolo trasforma ogni 2 cm di tremolio del sensore in un picco di spinta. E i picchi vengono tagliati a 0 N molto più spesso che a 20 N (la linea arancione chiara mostra cosa ha chiesto il controllore: guarda quante volte tocca 0 N), quindi aggiungono una spinta extra sbilanciata. Ecco la sovraelongazione, la stessa deriva verso l'alto scoperta nel Capitolo 11. Era impeccabile solo perché la tua aria ferma immaginaria veniva con un sensore perfetto.

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Prova la taratura ad aria ferma di June e guarda la stella "motori calmi" che fallisce. Poi allunga il filtro a 0,04 s e abbassa $K_d$ a circa 7. Con $K_d$ = 7 arriva in circa 1,9 s invece dell'1,3 s sognato da June: è il prezzo dei motori calmi. Quel compromesso, velocità contro rumore e contro robustezza, è l'ingegneria del controllo.

June: Un po' più lento, e i motori smettono di urlare. Affare fatto. Nella mia testa l'aria era ferma e il sensore perfetto.

Guardandoci indietro

Mika: All'inizio pensavo che "spingere di più" sistemasse tutto. È il contrario, vero? La maggior parte dei guai veniva dallo spingere troppo su informazioni vecchie o rumorose. Sono contento di aver fatto tutte le domande stupide. Nessuna lo era.

Theo: Finalmente credo nella trasformata di Laplace. Non è una tabella da consultare: è una sonda che chiede a un segnale "quanto $e^{st}$ c'è in te?" E siccome le pendenze diventano moltiplicazioni per $s$ , l'analisi diventa algebra. I poli sono dove la risposta esplode: gli $e^{st}$ di cui è fatto il sistema.

June: E io ho imparato che "di più" non vuol dire "meglio": più guadagno, più smorzamento, più $K_i$ , più velocità. C'è sempre un precipizio, e i progetti buoni ne restano a distanza di sicurezza. E poi: provalo sempre sul drone.

Ecco tutto quello che abbiamo costruito, dalla doccia al gran finale. Ogni bolla riporta al punto in cui è nata.

Cosa abbiamo capito

Retroazione: misura cosa è successo, confrontalo con l'obiettivo, agisci sull'errore (Cap. 0–1).
Il controllo P spinge in proporzione all'errore, ma lascia un abbassamento e oscilla quando è forte (Cap. 2).
Derivate, esponenziali e numeri che girano descrivono come cambiano le cose: $e^{st}$ con $s = \sigma + i\omega$ cresce o cala e oscilla (Cap. 3–7).
La trasformata di Laplace trasforma le pendenze in moltiplicazioni per $s$ , così l'analisi diventa algebra (Cap. 9).
I poli non cancellati di una funzione di trasferimento indicano i moti naturali visibili tra ingresso e uscita scelti: quelli a sinistra si smorzano, quelli a destra crescono (cap. 10).
PID: la I elimina l'abbassamento, la D aggiunge smorzamento, e ognuna sposta i poli (Cap. 11).
Il ritardo aggiunge ritardo di fase; i margini ti dicono quanto sei lontano dal bordo del precipizio (Cap. 12).
L'hardware vero aggiunge limiti (Cap. 10), un ritardo che costa margine di fase (Cap. 3 + Cap. 12) e rumore che la D amplifica (Cap. 11), quindi i buoni controllori sono calmi oltre che rapidi (Cap. 13).

Spiegalo a un amico

Prima, la tua missione: quante stelle hai conquistato, e quale è stata la più difficile? Di' ad alta voce perché prima di andare avanti.

Mika: La mia era la stella della calma. Continuavo ad aggiungere D per calmare i motori, e loro urlavano sempre di più.

La prova migliore di aver capito è saper spiegare. Prima di ogni risposta, prova a dire ad alta voce la tua versione. Poi scegli la spiegazione che le somiglia di più.

Un'ultima immagine: il piano di stato

Theo: Ogni grafico di questo corso mostrava l'altezza nel tempo. Ma l'altezza da sola non ti dice cosa succede dopo: a 2 m e in salita non è come a 2 m e in discesa.

Due numeri fissano il futuro: l'altezza misurata dall'obiettivo, $\Delta h$ , e la velocità $v$ . Insieme sono lo stato del drone. Mettili su un piano, l'altezza in orizzontale e la velocità in verticale, e tutto il volo diventa il percorso di un solo punto in movimento.

Le sue regole sono le pendenze del Capitolo 3, una per ogni numero: la pendenza dell'altezza è la velocità, e la pendenza della velocità è l'accelerazione dell'equazione del Capitolo 1. Messa da parte la spinta di hovering e aggiunto sopra il controllo PD $T = -K_p\,\Delta h - K_d\,v$ , le due regole stanno in una sola tabella:

\frac{d}{dt}\begin{pmatrix}\Delta h\\ v\end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix}0 & 1\\ -\frac{K_p}{m} & -\frac{c+K_d}{m}\end{pmatrix}}_{A}\begin{pmatrix}\Delta h\\ v\end{pmatrix}

Quella tabella $A$ è una matrice: moltiplicala per lo stato e ne esce la velocità dello stato. La riga in alto dice che l'altezza cambia con la velocità; la riga in basso è la legge di Newton.

Prima indovina! Con $K_p$ = 20 N/m e niente D, il drone parte fermo, 1 m più in basso. Che percorso traccia il suo stato?

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June: È la spirale del Capitolo 6! E quando spingo $K_d$ oltre circa 5,3, la spirale si raddrizza e scivola dentro lungo due linee tratteggiate.

Quelle rette sono i modi: parti esattamente su una di esse e lo stato scivola dritto verso il centro, al ritmo proprio di quel modo. Quei ritmi sono i numeri speciali della matrice, i suoi autovalori, e si trovano dove $\det(sI - A) = 0$ :

\det(sI - A) = s^2 + \frac{c + K_d}{m}\,s + \frac{K_p}{m} = 0

Mika: È l'equazione del Capitolo 7! Gli autovalori sono i poli. Stesso drone, immagine nuova.

E il parco giochi dei poli del Capitolo 10 faceva di nascosto retroazione dello stato fin dall'inizio: $T = -K_p\,\Delta h - K_d\,v$ spinge su entrambi i numeri dello stato, e scegliere i due guadagni piazzava entrambi i poli. Dai allo stato più numeri (inclinazione, rotazione, posizione laterale) e la matrice cresce, ma l'idea resta: gli autovalori sono i poli, e riportare indietro tutto lo stato permette di piazzarli tutti.

Un'ultima confessione. Ogni regola di questo corso è lineare, una linea retta, ma le cose vere sono curve. La spinta di un'elica cresce con il quadrato della sua rotazione, $T = k\,w^2$ . Vicino all'hovering la curva è quasi dritta, quindi la sostituiamo con la sua tangente nel punto di hovering, il righello del Capitolo 3:

T \approx T_0 + 2k\,w_0\,\Delta w

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Theo: Quindi le rette non sono mai state una bugia. Sono un'immagine ingrandita: onesta vicino all'hovering, sempre peggio più ti allontani. Ecco perché la nostra matematica voleva il drone vicino ai 2 m.

Parole nuove

Stato: I numeri che fissano il futuro: per il nostro drone, altezza e velocità. Un punto sul piano di stato.
Matrice $A$: Una tabella di numeri che trasforma lo stato nella sua velocità.
Autovalori: I ritmi speciali di una matrice, dove $\det(sI - A) = 0$ . Per la $A$ di un drone sono i suoi poli.
Linearizzazione: Sostituire una regola curva con la sua tangente vicino al punto che ti interessa (qui, l'hovering).

Dove andare adesso

Ora sai più teoria del controllo di quanta ne incontri la maggior parte delle persone in tutta la vita. Ecco dove prosegue la strada, ognuna un quaderno nuovo:

Luogo delle radici: invece di trascinare i poli, trascina il guadagno e guarda i poli tracciare percorsi. Vedresti a colpo d'occhio quale $K_p$ è troppo.
Controllo nello spazio degli stati: qui sopra ne hai avuto un primo assaggio. Tanti sensori e motori insieme: un drone vero deve tenere inclinazione, rotazione e posizione tutte assieme, e tarare una manopola alla volta smette di funzionare.
Controllo digitale: i controllori veri girano su computer che campionano ogni pochi millisecondi. Anche il campionamento è un piccolo ritardo, e il piano s ha un cugino, il piano z.
Filtri di Kalman: mescolano quello che prevede un modello con quello che dice il sensore, così puoi usare un sensore rumoroso senza un filtro lento.
Predittori di Smith e controllo predittivo basato su modello: controllori che si portano dentro una piccola simulazione per vedere oltre i ritardi, la vera cura della doccia.
Controllo non lineare e robusto: cosa fare quando l'attrito dell'aria non è lineare o il drone vola in 3D, e come dimostrare di avere ancora margine.

Theo: Prima il luogo delle radici. Voglio vedere i poli muoversi mentre giro una sola manopola.

La prossima volta che una doccia ti fa ballare tra l'ustione e il gelo, saprai esattamente cosa sta succedendo. E saprai che non è colpa tua. È il margine di fase.

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