Capitolo 6

La mappa di s

Come fa un numero che gira a creare una vera oscillazione, e che aspetto ha ogni s?

Di nuovo la molla (e un nuovo errore)

June: L'ultima volta abbiamo costruito un numero che gira. Diamolo alla molla e vediamo se fa il bravo.

La molla voleva $a^2 = -k/m = -4$ . Prova $a = 2i$ : $(2i)^2 = 4\,i^2 = -4$ . ✓ E funziona anche $a = -2i$ .

Theo: Va bene, avevo torto. Il trucco dell'esponenziale sopravvive. La molla è $e^{2it}$ , una trottola che fa due giri ogni… 2π secondi.

Mika: Quindi la posizione della molla è $e^{2it}$ ? In questo momento è a… $0{,}4 + 0{,}9i$ metri?

June: Una molla non può stare 0,9 metri di lato. Si muove solo su e giù.

Mika ha dimenticato l'altra risposta. Abbiamo trovato due soluzioni, $e^{2it}$ ed $e^{-2it}$ : una trottola e la sua gemella allo specchio che gira nell'altro verso. Sommiamole:

Capitolo 6: La mappa di s ↗

Mika: Le parti di lato si annullano alla perfezione! La somma scivola solo lungo la retta reale, avanti e indietro.

x(t) = \tfrac12\left(e^{i\omega t} + e^{-i\omega t}\right) = \cos(\omega t),\qquad \omega = \sqrt{k/m}

Perché la gemella c'è sempre? Nella regola della molla ci sono solo numeri reali ( $m$ e $k$ , nessuna $i$ ). Capovolgi una soluzione dall'alto in basso, trasformando ogni $i$ in $-i$ , e la regola non vede la differenza: anche l'immagine allo specchio è una soluzione. Quindi per qualsiasi cosa reale le trottole arrivano in coppie allo specchio, e insieme le loro parti di lato si annullano, lasciando un'oscillazione reale che possiamo misurare.

La mappa di s

Il Capitolo 4 ci ha dato esponenziali che crescono o calano. Ora abbiamo trottole che oscillano. Mettiamoli insieme: $e^{st}$ con $s = \sigma + i\omega$ .

e^{st} = e^{(\sigma + i\omega)t} = \underbrace{e^{\sigma t}}_{\text{cresce/cala}}\cdot\underbrace{e^{i\omega t}}_{\text{gira}}

Quindi ogni numero s è una ricetta: σ (la parte in avanti) dice quanto in fretta crescere o calare, ω (la parte di lato) dice quanto in fretta girare. Insieme disegnano una spirale, e l'ombra della spirale è il segnale che vedremmo.

Prima indovina! Metti s in $-0{,}5 + 3i$ . Che aspetto ha l'ombra di $e^{st}$ ?

Capitolo 6: La mappa di s ↗

Fai un giro della mappa trascinando s (o usando le frecce):

Metà sinistra (σ < 0): la spirale si stringe, l'oscillazione si spegne.
Metà destra (σ > 0): la spirale si allarga, l'oscillazione esplode.
Sulla linea verticale (σ = 0): un cerchio perfetto, un'oscillazione che continua per sempre.
Sulla linea orizzontale (ω = 0): nessuna rotazione, solo i semplici esponenziali del Capitolo 4.
Più lontano dalla linea orizzontale (in alto o in basso): rotazione più veloce, oscillazioni più rapide. Più a sinistra: si spegne più in fretta.

June: Quindi un solo puntino su questa mappa è un'intera personalità: quanto in fretta oscilla e se si calma o esplode.

Una breve deviazione: tutto è fatto di trottole

Un'ultima sorpresa. Prendi trottole di velocità diverse (1, 3, 5, 7… volte più veloci), rimpicciolisci ognuna e falla partire proprio all'angolo giusto, poi somma le loro ombre. Con abbastanza trottole puoi costruire una varietà enorme di forme, persino un'onda quadra con gli spigoli vivi.

Capitolo 6: La mappa di s ↗

Fourier mostrò come assemblare molti segnali periodici con pezzi che girano. L’onda quadra è un esempio: più pezzi rendono più nette le parti piatte e gli spigoli. È un modo potente di descrivere i segnali, con condizioni e limiti da esplorare più avanti.

Cosa sappiamo finora

Cosa abbiamo capito

Le oscillazioni reali nascono da trottole gemelle allo specchio le cui parti di lato si annullano.
$e^{st}$ con $s = \sigma + i\omega$ gira e cresce o cala: una spirale. La sua ombra è un'oscillazione che cresce o si spegne.
La mappa di s: a sinistra si calma, a destra esplode, più in alto vuol dire oscillazioni più rapide.
Molti segnali periodici, persino un'onda quadra, si possono costruire sommando trottole di velocità diverse (Fourier). Proprio accanto a un salto la somma va sempre oltre di circa il 9%.

June: "Allora dove vive il nostro drone su questa mappa?"

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