Capitolo 4

Perché gli esponenziali sono magici

Esiste una curva la cui pendenza è semplicemente una copia di se stessa?

Capitolo 4: Perché gli esponenziali sono magici ↗

Moltiplicare, ancora e ancora

Theo: L'ultima volta, la distanza del caffè dalla temperatura ambiente si riduceva a una velocità proporzionale alla distanza stessa. Distanza grande, riduzione veloce. Distanza piccola, riduzione lenta. Che tipo di curva fa così?

June: Il Capitolo 3 ci aveva già dato un indizio. Ogni passettino moltiplicava la distanza per lo stesso numero. Allora partiamo dalla macchina moltiplicatrice più semplice che ci sia: il raddoppio.

Prendi qualcosa che raddoppia ogni secondo. Dopo 1 s hai 2. Dopo 2 s, 2 × 2 = 4. Dopo 3 s, 2 × 2 × 2 = 8. Lo scriviamo $2^t$ : la piccola t in alto conta quante volte moltiplichiamo per 2.

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Trascina il numero di secondi sotto lo zero, oppure su mezzo secondo. Zero secondi vuol dire nessun raddoppio, quindi $2^0 = 1$ . Un secondo indietro disfa un raddoppio: $2^{-1} = \tfrac12$ . E mezzo secondo deve essere un numero che, usato due volte, fa un raddoppio: $\sqrt2 \approx 1{,}41$ , perché 1,41 × 1,41 ≈ 2.

Mika: Quindi l'esponente non deve per forza essere un numero intero. È solo "quanta moltiplicazione è successa", e può essere un po', tanta, o persino negativa.

Ecco quei raddoppi come una scala di barre. Dividi ogni passo in metà, poi in quarti, poi in fettine sottilissime, e sposta la lente:

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Mika: Ovunque metta la lente, il passo sale della stessa frazione della sua altezza. Le barre alte salgono tanto, quelle basse poco, ma sempre della stessa frazione.

Theo: È proprio la proprietà del caffè: il cambiamento è proporzionale a quanto ce n'è. E guarda l'ultimo valore. Mentre i passi si rimpiccioliscono, salita ÷ altezza al secondo si avvicina a un numero, circa 0,69 per il raddoppio. Tienilo a mente.

Crescere a passi piccolissimi

Mika: Ho visto $e^t$ nei libri. Ma $e$ non è solo un numero a caso che piace ai matematici? 2,718 e rotti, vabbè.

June: Non litighiamo. Costruiamo una regola di crescita e vediamo che numero salta fuori.

Ecco la regola: cresci del 100% di quello che hai, al secondo. Il modo pigro di seguirla è un unico passo gigante: dopo 1 s hai 1 + 1 = 2. Ma è il trucco del passo gigante di June del Capitolo 3. Per tutto il secondo abbiamo usato il tasso di crescita dell'inizio, anche se il mucchio continuava a crescere.

Allora facciamo passi più piccoli. Due passi del 50%: 1,5 × 1,5 = 2,25. Quattro passi del 25%: 1,25 × 1,25 × 1,25 × 1,25 ≈ 2,44. Ogni passo fa crescere un mucchio che è già cresciuto.

Mika: Più passi, più crescita! Con infiniti passi avremmo una quantità infinita. Diventerò ricco.

Prima indovina! Continua a dividere il secondo: mille passi, un milione, quanti ne vuoi. Cosa succede al totale dopo un secondo?

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Mika: Si blocca! Cento passi, mille, e non supera mai 2,718. Addio al mio patrimonio infinito.

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Quel tetto è il numero $e$ . È ciò a cui si avvicinano i passi quando diventano infinitamente piccoli:

e = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} \approx 2{,}71828

Theo: Ora passa la simulazione a riduzione. Con $\left(1 - \frac1n\right)^n$ arriva a $1/e \approx 0{,}368$ : resta il 36,8%, quindi il 63,2% della strada è fatto. È il 63% del righello della costante di tempo del Capitolo 3!

June: Ed ecco il mio caffè! Taglia un τ in n passi a mano, $\Delta t = \tau/n$ : ogni passo moltiplica la distanza per $1 - \frac1n$ , quindi dopo un τ la distanza è $\left(1 - \frac1n\right)^n$ di quella iniziale. Un passo gigante ( $n = 1$ ) arriva esattamente a temperatura ambiente. Con passi piccolissimi resta il 36,8%.

Una curva che si copia da sola

Ora andiamo a caccia con un righello. Vogliamo una curva la cui pendenza, in ogni punto, sia un multiplo fisso della sua altezza. La scala dice che ogni esponenziale $b^t$ dovrebbe andare bene: $2^t$ , $3^t$ e compagnia. Mettiamo una tangente su ogni curva e dividiamo la pendenza per l'altezza.

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Trascina il cursore lungo una qualsiasi curva e il valore pendenza ÷ altezza non si sposta di un millimetro. Ogni esponenziale copia se stesso, moltiplicato per un numero fisso. Per la base 2 quel numero è circa 0,693 (il numero a cui si avvicinavano i passi sempre più piccoli della scala). Per la base 3 è circa 1,099.

E per una sola base il numero di scala è 1, quindi la curva della pendenza si sovrappone esattamente alla curva stessa. Quale base è?

\frac{d}{dt}\,e^{t} = e^{t}

Mika: È di nuovo 2,718! Lo stesso numero che ci hanno dato i passi piccolissimi. Due cacce completamente diverse, un solo numero. Ok, ritiro tutto: $e$ non è per niente a caso.

Theo: Certo che è lo stesso. "Cresci del 100% di quello che hai, al secondo, in modo continuo" vuol dire pendenza = altezza. È un solo desiderio con due costumi diversi.

Acceleriamo: e^(at)

Non tutti i sistemi reali cambiano allo stesso ritmo, quindi mettiamo una manopola nell'esponente: $e^{at}$ . Il numero a allunga o comprime il tempo.

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Ora pendenza ÷ altezza è esattamente a, ovunque sulla curva. Immagina perché: $e^{at}$ è il film di $e^{t}$ proiettato a una velocità moltiplicata per a, quindi anche ogni pendenza è moltiplicata per a. a positivo: cresce (e sempre più in fretta). a negativo: si riduce verso zero, come la distanza del caffè. a = 0: se ne sta lì ferma.

\frac{d}{dt}\,e^{at} = a\,e^{at}

La manopola e la base sono due modi di vedere la stessa cosa: $e^{at} = \left(e^{a}\right)^{t}$ . Ogni secondo, la curva si moltiplica per $e^{a}$ .

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Prima indovina! Prendi la pendenza di $e^{2t}$ , e poi prendi la pendenza di quella pendenza. Cosa ottieni?

\frac{d}{dt}e^{at} = a\,e^{at},\qquad \frac{d^2}{dt^2}e^{at} = a^2\,e^{at}

Theo: Aspetta, questa è enorme. Per gli esponenziali, prendere una pendenza (analisi) diventa moltiplicare per a (semplice algebra).

Prova un esponenziale

Per una regola in cui la pendenza è solo numeri fissi per la cosa stessa (niente al quadrato, nessun numero che cambia nel tempo), come quella del caffè, possiamo provare un esponenziale: lo sostituiamo e cerchiamo il valore di a che rende vera la regola. Altre regole possono richiedere altre forme.

La regola del caffè era $\frac{dT}{dt} = -\frac{T - 20}{\tau}$ con τ = 10 min. La nostra ipotesi è $T = 20 + 70\,e^{at}$ (70 è la distanza iniziale). Regola a finché la pendenza dell'ipotesi non coincide con quella che vuole la regola.

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L'algebra è d'accordo con il cursore. La pendenza dell'ipotesi è $a \cdot 70e^{at}$ (il 20 non cambia mai, quindi la sua pendenza è 0, e il 70 si fa solo trasportare). La regola vuole $-70e^{at}/\tau$ . Il termine $70e^{at}$ compare da entrambe le parti e si semplifica:

a \cdot 70e^{at} = -\frac{70e^{at}}{\tau} \quad\Longrightarrow\quad a = -\frac{1}{\tau}

Theo: E cade esattamente sui punti che abbiamo costruito a mano nel Capitolo 3. Provare un esponenziale funziona. L'equazione che fissa a si chiama equazione caratteristica.

La molla rompe il nostro trucco

June: Proviamolo su qualcosa che rimbalza. Una massa su una molla è praticamente il nostro drone con il controllo P: viene tirata indietro più forte quanto più è lontana dall'obiettivo.

La molla tira indietro con una forza $-kx$ . Forza = massa × accelerazione, e l'accelerazione è la pendenza della pendenza (Capitolo 3). Quindi la regola è:

m\,\frac{d^2x}{dt^2} = -k\,x

Ipotizziamo $x = e^{at}$ . La pendenza della pendenza è $a^2 e^{at}$ , quindi $m a^2 e^{at} = -k e^{at}$ . Semplifichiamo $e^{at}$ :

a^2 = -\frac{k}{m}

Con k/m = 4, ci serve un numero il cui quadrato sia −4. Andiamo a caccia:

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Theo: I quadrati non sono mai negativi. La parabola blu non scende mai fino alla linea verde. Quindi una a così non esiste. Il nostro trucco fallisce: le molle proprio non si possono descrivere con gli esponenziali.

Mika: Però la molla è lì, che rimbalza tutta contenta. Un moto ce l'ha. Forse non è la molla a essere sbagliata, forse è la nostra idea di cosa conta come numero?

Theo: …Mmh. Ammetto di aver detto "nessun numero" un po' in fretta. Ogni numero che conosco al quadrato dà qualcosa di positivo.

Cosa sappiamo finora

Cosa abbiamo capito

$b^t$ vuol dire "moltiplica per b, t volte", e t può essere qualsiasi cosa: $2^0 = 1$ , $2^{-1} = \tfrac12$ , $2^{0{,}5} = \sqrt2$ .
Crescere del 100% al secondo a passi sempre più piccoli si stabilizza a $e \approx 2{,}718$ . Ridursi allo stesso modo lascia $1/e \approx 0{,}368$ : il righello del 63% del Capitolo 3.
La pendenza di ogni esponenziale è una copia di se stesso: pendenza ÷ altezza è costante.
$e \approx 2{,}718$ è la base per cui quel rapporto vale esattamente 1. Con $e^{at}$ il rapporto è a.
Prendere la pendenza di $e^{at}$ significa solo moltiplicare per a. L'analisi diventa algebra.
Prova un esponenziale, sostituiscilo nella regola e ricava a. Per il caffè, a = −1/τ.
Per una molla l'ipotesi richiede $a^2 = -k/m$ , e nessun numero ordinario lo fa. Per ora.

Il drone e la molla oscillano. Gli esponenziali sanno solo crescere o calare. A meno che… un numero possa avere un quadrato negativo?

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