Capitolo 5

Numeri che girano

Che tipo di numero potrebbe avere come quadrato −1, e perché dovrebbe oscillare?

I numeri sono frecce

Mika: L'ultima volta la molla aveva bisogno di un numero con $a^2 = -4$ . Theo ha detto che un numero così non esiste. Ma che faccia avrebbe, se esistesse?

Immagina ogni numero come una freccia che parte da 0 lungo la retta dei numeri. Moltiplicare per 2 allunga la freccia. Moltiplicare per ½ la accorcia. E moltiplicare per −1 la ribalta dall'altra parte. È un mezzo giro.

June: Ooh. Se ×(−1) è mezzo giro… cos'è metà di mezzo giro? Un quarto di giro! La freccia punterebbe dritta in su, fuori dalla retta dei numeri.

Diamo un nome al quarto di giro: i. Fallo due volte e hai fatto mezzo giro, cioè ×(−1). Quindi $i \cdot i = -1$ . Ecco il nostro numero che al quadrato dà un negativo!

Capitolo 5: Numeri che girano ↗

i^2 = -1 \qquad\text{(due quarti di giro = mezzo giro)}

Theo: Un attimo. Questi sono i "numeri immaginari". Lo sanno tutti che sono inventati. Non possono descrivere una molla vera, fisica.

June: Non sono immaginari, sono di lato! È solo una freccia in 2-D. Girare a sinistra è reale quanto camminare dritto.

Un numero come $3 + 2i$ vuol dire semplicemente "3 passi avanti, 2 passi di lato". Tutto il piano delle frecce è il palcoscenico di quello che viene dopo.

Misurare i giri

June: Se i è un quarto di giro, passeremo le giornate a far girare frecce. Allora come diciamo di quanto ha girato una freccia?

I gradi sono una vecchia abitudine: 360 in un giro, perché a un antico calendario piaceva il 360. I matematici misurano un giro con il cerchio stesso. Fai rotolare una ruota di raggio 1 e guarda quanta strada fa il suo bordo. Un radiante è l'angolo il cui arco è lungo esattamente un raggio.

Prima indovina! Quanti radianti fanno un giro completo?

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Segui la punta della freccia mentre gira. La sua ombra sull'asse reale si chiama coseno dell'angolo, $\cos\theta$ ; la sua ombra sull'asse di lato è il seno, $\sin\theta$ . Gira a velocità costante ed entrambe le ombre disegnano onde, con il seno un quarto di giro dietro il coseno.

Mika: Capito. Quindi una trottola a 2 radianti al secondo fa due giri al secondo!

Theo: Due giri al secondo sarebbero $4\pi$ radianti al secondo. Due radianti al secondo fanno un giro completo ogni $2\pi/2 \approx 3{,}14$ secondi.

Parole nuove

Radiante: L'angolo il cui arco è lungo un raggio. Un giro completo è $2\pi$ radianti, mezzo giro è $\pi$ .
Coseno e seno: Le ombre di una freccia di lunghezza 1 ad angolo θ: $\cos\theta$ lungo l'asse reale, $\sin\theta$ di lato.

Un numero che gira

Le velocità di rotazione si misurano in radianti al secondo: una trottola a 2 radianti al secondo compie un giro completo in $2\pi/2 \approx 3{,}14$ secondi. Il simbolo ω indica questa velocità di rotazione.

Ora immagina un punto che corre lungo un cerchio a velocità costante, ω radianti al secondo. Dove punta la sua velocità? (Qui la velocità è quella del Capitolo 3 con in più una direzione: per una freccia che si muove, anche la velocità è una freccia, che dice da che parte va la punta e quanto in fretta.) Sempre lungo il cerchio, cioè un quarto di giro avanti rispetto alla freccia che va al punto.

Un quarto di giro è ×i, e la velocità è ω volte il raggio. Quindi la velocità è la posizione ruotata di un quarto di giro, per ω: velocità = iω × posizione.

Theo: Aspetta. "La pendenza è un numero fisso per se stessa" è esattamente la proprietà esponenziale del Capitolo 4! Con a = iω.

Mika: Ma aspetta un attimo. Nel Capitolo 4 una potenza voleva dire "quante moltiplicazioni sono state fatte". Che cosa vorrebbe mai dire $e$ elevato a $i\theta$ ? Moltiplicare per $e$ , $i\theta$ volte?

June: Costruiamolo come nel Capitolo 4. $e$ era $n$ passi piccolissimi, ognuno una crescita di $\frac1n$ . Stavolta fai di ogni passettino una piccola spintarella di lato.

e^{i\theta} = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{i\theta}{n}\right)^{n}

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Ogni passo ruota la freccia di un angolo piccolissimo, circa $\theta/n$ radianti, e la allunga un pochino. Con più passi l'allungamento sparisce e il percorso atterra sul cerchio, esattamente θ radianti più in là. Ecco perché i radianti: le spintarelle di lato si sommano lungo il bordo. Quindi $e^{i\theta}$ è semplicemente il punto del cerchio ad angolo θ.

Quindi $e^{i\omega t}$ non fa per niente paura. È un punto che gira attorno al cerchio di raggio 1, ω radianti ogni secondo. Guardalo, e guarda la sua ombra sull'asse reale:

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\begin{aligned}\frac{d}{dt}\,e^{i\omega t} &= i\omega\,e^{i\omega t} \\ \text{ombra sull'asse reale} &= \cos(\omega t)\end{aligned}

L'ombra scivola avanti e indietro come un'onda coseno perfetta. Una freccia che gira, vista di lato, è un'oscillazione. Ecco dove si nascondeva l'oscillazione.

Cosa sappiamo finora

Cosa abbiamo capito

I numeri sono frecce. Moltiplicare le ruota e le allunga. i è un quarto di giro, quindi $i^2 = -1$ .
Un radiante è l'angolo il cui arco è lungo un raggio: un giro completo è $2\pi$ . cos θ e sin θ sono le ombre di una freccia ruotata.
$e^{i\theta}$ , costruito con passi piccolissimi di lato $\left(1 + \frac{i\theta}{n}\right)^n$ , è il punto del cerchio ad angolo θ.
$e^{i\omega t}$ è un punto che gira attorno a un cerchio. La sua ombra è un'onda coseno.
La velocità di una trottola è sempre un quarto di giro avanti rispetto alla sua posizione: velocità $= i\omega \times$ posizione. È la proprietà esponenziale con $a = i\omega$ .

Mika: "Quindi il numero misterioso della molla esiste davvero: è 2i. Vuol dire che una molla vera oscilla di lato?"

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