Capitolo 7

La vera personalità del drone

Perché il drone rimbalza come una molla?

Capitolo 7: La vera personalità del drone ↗

Il controllore è una molla

Mika: June ha chiesto dove vive il nostro drone sulla mappa. Indizio: vi ricordate il drone saltellante del Capitolo 2? Più alzavamo $\eff{K_p}$ , più faceva boing. Sembrava proprio un peso appeso a una molla.

Theo: "Sembrava" non è una prova. Mettiamoli uno accanto all'altro e scriviamo tutte e due le equazioni.

A sinistra: una massa di 0,5 kg appesa a una molla con uno smorzatore (un pistoncino pieno d'olio che si oppone al movimento). A destra: il nostro drone, stessa massa, stesso attrito, con controllo proporzionale.

Prima di tutto, scriviamo ogni forza che agisce sulla massa, una alla volta. Misuriamo la sua posizione $x$ dal punto di riposo, con l'alto come verso positivo.

La molla tira indietro verso il riposo, tanto più forte quanto più è allungata: $-\eff{k}\,x$ . Allungala il doppio e tira il doppio.
Lo smorzatore si oppone al movimento, non alla posizione: $-c\,\dot{x}$ . Da fermo non fa niente. Se si muove veloce, spinge indietro forte. ( $\dot{x}$ è la velocità del Capitolo 3.)
La gravità sposta solo un po' più in basso il punto di riposo. Misurando dal riposo, ce ne liberiamo.

Forza = massa × accelerazione, e l'accelerazione è la pendenza della pendenza (Capitolo 3). Sommiamo le forze e portiamo tutto da una parte:

m\,\ddot{x} = -\eff{k}\,x - c\,\dot{x} \quad\Longrightarrow\quad m\,\ddot{x} + c\,\dot{x} + \eff{k}\,x = 0

Mika: Quindi lo smorzatore è aria che odia la velocità?

Theo: Più o meno. E per il nostro drone lo smorzatore è l'aria.

Nella simulazione, la freccia arancione sulla massa è la trazione della molla e quella grigia è la spinta dello smorzatore. Guarda come la freccia dello smorzatore sparisce ogni volta che la massa si ferma per un istante in cima o in fondo a un'oscillazione.

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June: Le curve sono una sopra l'altra. Non simili. Identiche.

Guarda le due equazioni. La molla spinge indietro con una forza $\eff{k}\,x$ : più è allungata, più tira forte. Il nostro controllore spinge con $\eff{K_p}(\sp{2} - \out{h})$ : più è lontano dall'obiettivo, più spinge forte. Stessa regola. Il controllore è una molla: una molla invisibile, che tira il drone verso i 2 m.

Theo: Quindi un controllore P è una molla virtuale, e l'attrito dell'aria $c$ è uno smorzatore virtuale. Tutto quello che impariamo sulle molle ce lo ritroviamo gratis.

Due manopole della personalità

Ogni sistema massa-molla-smorzatore, e quindi ogni drone con controllo P, è descritto da soli due numeri. Guadagniamoceli uno alla volta.

Quanto è rapido: la pulsazione naturale

Togli lo smorzatore e siamo di nuovo nel Capitolo 6: la molla oscilla come $\cos(\omega t)$ con $\omega = \sqrt{k/m}$ . Chiamiamo quella velocità pulsazione naturale $\omega_n$ : quanto in fretta il sistema vuole oscillare quando niente lo frena.

\omega_n = \sqrt{\frac{\eff{k}}{m}} \qquad\qquad \text{un'oscillazione completa ogni } \frac{2\pi}{\omega_n} \text{ s}

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Mika: Molla più rigida, oscillazione più veloce. Allora alzo $\eff{k}$ al massimo e migliora tutto!

Una molla più rigida tira più forte, quindi oscilla più in fretta. Una massa più pesante è più difficile da spostare, quindi oscilla più lentamente. (I radianti al secondo sono la velocità di rotazione del Capitolo 5: un giro completo è 2π radianti, un bordo lungo 2π raggi.)

Theo: Piano. Nel capitolo 2 alzare $\eff{K_p}$ ha reso il drone più veloce e più rimbalzante. Sentiamo prima cosa ne pensa lo smorzatore.

Quanto rimbalza: il coefficiente di smorzamento

Ora rimettiamo lo smorzatore. Quanto smorzamento è "tanto"? Dipende dalla molla: uno smorzatore che doma una molla morbida rallenta appena una molla rigida. Quindi facciamo il confronto con una quantità speciale, lo smorzamento critico $c_{\text{crit}}$ : lo smorzamento più piccolo che elimina del tutto la sovraelongazione.

c_{\text{crit}} = 2\sqrt{m\,\eff{k}} \qquad\qquad \zeta = \frac{c}{c_{\text{crit}}} = \frac{c}{2\sqrt{m\,\eff{k}}}

Il coefficiente di smorzamento ζ (la lettera greca zeta) è il nostro smorzamento come frazione di quello critico. È un numero puro, senza unità. ζ = 0 oscilla per sempre, ζ = 1 è esattamente critico, e ζ = 0,5 ha metà dello smorzamento che servirebbe per eliminare la sovraelongazione.

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June: Aspetta. 0,16? È proprio lo ζ del drone nel primo widget!

Theo: Stessa massa, stesso attrito, stessa rigidezza: stesso ζ. La molla e il drone sono davvero gemelli.

I due puntini sulla mappa

Ora torniamo alla mappa di $s$ . Provando $x = e^{st}$ , come nei Capitoli 4 e 6, l'equazione diventa $m s^2 + c s + k = 0$ . Dividiamo per $m$ , poi scriviamo i due coefficienti con le nostre manopole:

s^2 + \underbrace{\frac{c}{m}}_{2\zeta\omega_n}\, s + \underbrace{\frac{\eff{k}}{m}}_{\omega_n^2} = 0

Theo: Un momento. Da dove salta fuori quel $2\zeta\omega_n$ ? Sembra inventato.

June: Fai il conto: $2\zeta\omega_n = 2 \cdot \frac{c}{2\sqrt{mk}} \cdot \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{c}{m}$ . È lo stesso numero, solo con un altro nome, così le nostre due manopole compaiono nell'equazione.

Risolviamola con la formula dell'equazione di secondo grado ed ecco i due valori di $s$ :

\begin{aligned} & s^2 + 2\zeta\omega_n\, s + \omega_n^2 = 0 \\ \Longrightarrow\quad & s = -\zeta\omega_n \pm \omega_n\sqrt{\zeta^2 - 1} \end{aligned}

Il segno ± dà due risposte, una per ogni punto. La posizione orizzontale di un punto è σ (sigma): quanto in fretta quella parte del moto si riduce. La sua altezza è ω: quanto in fretta gira. Quando lo smorzamento è sotto 1, i punti hanno la stessa posizione orizzontale ma altezze opposte. A 1 si incontrano; sopra 1 sono entrambi sull’asse orizzontale.

Parole nuove

Risposta al gradino: Come risponde un sistema a un salto improvviso del suo obiettivo, qui da 0 a 1 m. È il modo classico per mostrare una personalità.
Tempo di assestamento (2%): Quanto ci vuole perché la risposta resti per sempre entro il 2% dall'obiettivo.

Gioca con le due manopole. Guarda i puntini blu sulla mappa: sono i due valori di $s$ , e oltre all'altezza a cui si assesta, il moto è un miscuglio di $e^{s_1 t}$ ed $e^{s_2 t}$ . (Con ζ = 1 esatto i due puntini diventano uno solo, e il secondo ingrediente diventa $t\,e^{s_1 t}$ .)

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Parole nuove

Sottosmorzato ( $\zeta < 1$ ): I due valori di $s$ sono una coppia speculare fuori dall'asse reale, su un cerchio di raggio $\omega_n$ . La risposta va oltre e oscilla mentre si assesta.
Smorzamento critico ( $\zeta = 1$ ): La coppia si incontra sull'asse reale in un unico puntino doppio, quindi il moto è $(A + B\,t)\,e^{-\omega_n t}$ . La risposta più rapida senza sovraelongazione.
Sovrasmorzato ( $\zeta > 1$ ): La coppia si separa lungo l'asse reale: uno va a sinistra, l'altro si avvicina piano piano allo zero. Niente sovraelongazione, ma lento.

Nei puntini sottosmorzati si nasconde un altro dettaglio: la loro altezza è $\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$ , un po' meno di $\omega_n$ . Lo smorzamento non si limita a ridurre l'oscillazione, la rallenta anche un pochino. È la pulsazione smorzata $\omega_d$ , e la simulazione la mostra.

\omega_d = \omega_n\sqrt{1 - \zeta^2}

Mika: Quindi le spirali del Capitolo 6 erano la personalità del drone fin dall'inizio. Girare = oscillare, stringersi = assestarsi!

Più smorzamento è sempre meglio?

June: Facile. Le oscillazioni sono brutte e lo smorzamento le uccide. Quindi metto $\zeta = 5$ per sicurezza. Il drone più sicuro di sempre.

Prima indovina! Stessa molla, stessa $\omega_n$ . Alziamo lo smorzamento da $\zeta = 1$ a $\zeta = 3$ . Raggiunge l'obiettivo più in fretta o più lentamente?

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June: Il mio drone "sicuro" ci mette una vita. È come muoversi nel miele.

Mika: Guarda la mappa! Un puntino è scappato a sinistra, velocissimo. Ma l'altro è lì, vicinissimo allo zero.

Theo: E $e^{st}$ con $s$ vicino a zero si spegne molto lentamente. Quello veloce sparisce in un lampo. Quello lento comanda.

Ogni ingrediente $e^{st}$ del moto si chiama modo. Il moto è un miscuglio di modi, e quando quelli veloci si sono spenti resta solo il più lento. Quindi, per questa risposta al gradino, è il modo più lento che compare davvero a decidere la lunga attesa.

Troppo poco smorzamento fa oscillare; troppo fa strisciare. Nel mezzo c'è un punto ideale. Scegli ζ = 0,7 nella gara: va oltre di meno del 5%, ma arriva entro il 5% dall'obiettivo molto prima di ζ = 1. Molti progetti puntano a ζ tra circa 0,7 e 1, scambiando una piccola sovraelongazione con la rapidità. Altri compiti possono preferire un equilibrio diverso.

Torniamo al drone

Ora il Capitolo 2 ha finalmente senso. Per il nostro drone, la costante della molla è il guadagno:

\omega_n = \sqrt{\frac{\eff{K_p}}{m}}, \qquad \zeta = \frac{c}{2\sqrt{m\,\eff{K_p}}}

$\eff{K_p}$ sta al denominatore della formula dello smorzamento. Alzare il guadagno rende il drone più rapido ( $\omega_n$ più grande), ma meno smorzato. Con $\eff{K_p} = 20$ N/m: $\zeta = 1/(2\sqrt{0{,}5 \times 20}) \approx 0{,}16$ . Molto saltellante, proprio come abbiamo visto. Sulla mappa, i suoi due valori di $s$ stanno molto in alto e solo un po' a sinistra dell'asse verticale. È lì che vive il nostro drone.

Theo: E non possiamo avere più smorzamento senza abbassare parecchio $\eff{K_p}$ , che fa tornare l'abbassamento. Ci serve un modo per aggiungere smorzamento apposta.

Trascina il guadagno e guarda il compromesso in una sola frase:

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Le frecce hanno una lunghezza e un angolo

Mika: Aspetta. I puntini stanno su un cerchio di raggio $\omega_n$ , e ζ li fa solo scorrere lungo il cerchio. Quindi un puntino è in realtà due cose: quanto è lontano da 0, e da che parte.

Ogni freccia $z = a + b\,i$ si può raccontare anche al contrario: con la sua lunghezza $|z|$ e il suo angolo. La lunghezza ce la dà Pitagora. Per una freccia che punta a destra ( $a > 0$ ), l'angolo è quello la cui pendenza (quanto sale fratto quanto avanza) vale $b/a$ . Si chiama arcotangente, $\arctan$ : il tasto "annulla" della tangente.

|z| = \sqrt{a^2 + b^2}, \qquad \angle z = \arctan\frac{b}{a} \quad (a > 0)

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Il Capitolo 5 ha scoperto che moltiplicare le frecce moltiplica le loro lunghezze e somma i loro angoli. Dividere deve annullare tutto questo, quindi divide le lunghezze e sottrae gli angoli.

Theo: Quindi $1/(1+i)$ : lunghezza $1/\sqrt 2$ , e l'angolo è 45° più 45°, quindi 90°? Mmh. Rimoltiplicala per $1+i$ e punta a 135°, lontanissimo da 1.

June: Allora meno. Lunga $1/\sqrt 2$ a −45°. Per $\sqrt 2$ a +45°, e viene lunghezza 1 a 0°: esattamente 1. Torna.

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La freccia tratteggiata e sbiadita è la gemella allo specchio $\bar z = a - b\,i$ del Capitolo 6 (i matematici la chiamano complesso coniugato): stessa lunghezza, angolo opposto. Moltiplica una freccia per la sua gemella e gli angoli si annullano, lasciando un semplice numero positivo, la lunghezza al quadrato. La tabella del Capitolo 9 avrà bisogno proprio di questo:

z\,\bar z = |z|^2 = a^2 + b^2, \qquad (s - i\omega)(s + i\omega) = s^2 + \omega^2

E il cerchio? Un polo in $-\zeta\omega_n + i\,\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$ ha lunghezza $\omega_n$ . Misura il suo angolo θ dall'asse reale negativo, e la parte verso sinistra è $\omega_n\cos\theta$ . Quindi $\zeta = \cos\theta$ : lo smorzamento è l'angolo.

June: Prova la seconda impostazione del widget: 1 + iωτ. È la regola del caffè del Capitolo 3 che incontra un'oscillazione. Dividere per lei rimpicciolisce e gira all'indietro, sempre di più man mano che l'oscillazione accelera, ma mai oltre un quarto di giro. Scommetto che alla doccia interessa.

Parole nuove

Lunghezza $|z|$: Quanto è lunga una freccia: $\sqrt{a^2+b^2}$ per $z = a + b\,i$ . Moltiplicare le frecce moltiplica le loro lunghezze.
Angolo $\angle z$: Da che parte punta una freccia, misurato dall'asse reale positivo. $\arctan(b/a)$ per una freccia che punta a destra. Moltiplicare somma gli angoli, dividere li sottrae.
Gemella allo specchio $\bar z$: La freccia ribaltata rispetto all'asse reale, $a - b\,i$ (il complesso coniugato). $z\,\bar z = |z|^2$ .

Cosa sappiamo adesso

Cosa abbiamo capito

Un drone con controllo P segue esattamente la stessa equazione di una massa su una molla: il controllore è una molla virtuale.
Due numeri ne catturano la personalità: $\omega_n$ (quanto è rapido) e $\zeta$ (quanto è saltellante).
$\omega_n = \sqrt{k/m}$ è la velocità di oscillazione senza smorzatore. $\zeta = c/c_{\text{crit}}$ confronta lo smorzamento con lo smorzamento critico $2\sqrt{mk}$ , quello che elimina appena la sovraelongazione.
Il moto è un miscuglio di due termini $e^{st}$ . I due valori di $s$ stanno su un cerchio di raggio $\omega_n$ quando è sottosmorzato, e si separano lungo l'asse reale quando è sovrasmorzato.
Una freccia ha una lunghezza e un angolo ( $\arctan$ ). Moltiplicare moltiplica le lunghezze e somma gli angoli; dividere divide e sottrae. $\zeta = \cos\theta$ .
Lo smorzamento rallenta anche un po' l'oscillazione: $\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$ .
Più smorzamento non è sempre meglio: oltre $\zeta = 1$ il valore di $s$ lento si avvicina allo zero e tutto rallenta.
Per il drone, più $K_p$ vuol dire meno smorzamento. Ecco perché ballava di più.

Theo: "Siamo arrivati a questi valori di $s$ tirando a indovinare. Aggiungi gravità, vento, pacchi e un controllore più furbo, e indovinare diventa un incubo. Esiste una macchina che trasformi quest'analisi in semplice algebra?"

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