La sonda di Laplace

Una sonda per i segnali

Theo: Ogni volta che abbiamo risolto qualcosa, abbiamo tirato a indovinare $e^{st}$, l'abbiamo sostituito e abbiamo pregato. Ora aggiungi la gravità, un'altezza di partenza, un controllore… il mio quaderno sta andando a fuoco.

June: Quando costruisco cose, il trucco è sempre trasformare un lavoro difficile in uno facile. Difficile: analisi con pendenze di pendenze. Facile: semplice algebra con $+$, $-$, $\times$, $\div$.

Mika: Quindi ci serve una macchina che mangi una curva e sputi fuori qualcosa in cui le pendenze diventano moltiplicazioni? Esiste?

Esiste, e possiamo costruirla con cose che abbiamo già. L'idea è questa. Prendi un segnale qualsiasi, cioè una curva che cambia nel tempo, $f(t)$. Moltiplicalo per una sonda, l'esponenziale $e^{-st}$ del Capitolo 4 (per $s$ positiva si restringe). Poi misura l'area totale sotto il prodotto (l'area accumulata del Capitolo 3), fino in fondo, a $t = \infty$.

Tutto qui. Entra un numero $s$, esce un'area. Prova valori di $s$ diversi e ottieni una curva tutta nuova $F(s)$. Quella curva è la trasformata di Laplace di $f$: un'impronta digitale del segnale. Due segnali diversi (ragionevoli) non hanno mai la stessa $F(s)$, ed è per questo che più avanti potremo cercare le risposte al contrario.

Prima indovina! Prendi il segnale più semplice, un gradino: $f(t) = 1$ per sempre. Se rendiamo $s$ più grande, cosa succede all'area sotto $1 \cdot e^{-st}$?

Capitolo 8: La sonda di Laplace ↗

Capitolo 8: La sonda di Laplace ↗

Fai scorrere $s$ nel widget e i punti disegnano esattamente quel $1/s$. Prova anche gli altri segnali. Un segnale che cresce $e^{0{,}5t}$ ha un'area finita solo quando la sonda si restringe più in fretta di quanto cresca il segnale, cioè quando $s > 0{,}5$. Sotto quel valore, l'area scappa all'infinito. L'oscillazione $\sin 2t$ fallisce in un altro modo: con $s = 0$ la sua area fa solo avanti e indietro tra 0 e 1 (l'area negativa del Capitolo 3 che annulla quella positiva) e non si ferma mai su un numero solo.

L'area totale deve stabilizzarsi su un valore finito, così ogni $s$ riceve un numero solo. Se la sonda cala troppo lentamente, l'area continua a crescere e quella $s$ non ha risposta.

La trasformata urla dove vive il segnale

Guardiamo più da vicino $f(t) = e^{at}$. Sondalo con $e^{-st}$ e il prodotto è $e^{(a-s)t}$, un semplice esponenziale. Finché $s > a$ si spegne, e la sua area è $\frac{1}{s-a}$ (lo ricaveremo per bene quando costruiremo la nostra tabella, nel prossimo capitolo).

Capitolo 8: La sonda di Laplace ↗

Mika: Quando $s$ si avvicina ad $a$ il numero diventa enorme! Con $s = a$ la sonda annulla esattamente la crescita, il prodotto resta piatto per sempre, e l'area è infinita.

Theo: Quindi la trasformata esplode esattamente nella $s$ dove vive il segnale. Se mi dessi solo $F(s)$, potrei trovare la $a$ del segnale cercando dove esplode.

Capitolo 8: La sonda di Laplace ↗

Mika: È come un rilevatore di fumo. Avvicina $s$ ad $a$ e suona sempre più forte. Mettiti proprio su $a$ e non smette più.

Ora rendiamo $s$ complessa, $s = \sigma + i\omega$, proprio come i numeri che girano del Capitolo 5. Come segnale prendi la trottola della molla del Capitolo 6, $e^{2it}$ (metà della sua coppia di gemelle). La sonda $e^{-st}$ la restringe (quella è la parte sinistra-destra, $\sigma$) e la fa girare all'indietro (quella è la parte su-giù, $\omega$). Qui sotto, i pezzettini di area del prodotto vengono sommati in fila, testa-coda, come frecce: una freccia per ogni quarto di secondo. Guarda il totale progressivo.

Capitolo 8: La sonda di Laplace ↗

June: Quando la sonda gira esattamente a 2, il segnale smette di girare, tutti i pezzi puntano nella stessa direzione e il totale è il più grande possibile: $1/\sigma$, che schizza all'infinito quando σ si riduce a 0. Quando non coincidono, le frecce si arricciano e si annullano.

Stessa lezione, una dimensione in più: la trasformata esplode nella $s$ complessa dove vive il segnale. Ecco perché d'ora in poi disegneremo ogni $s$ su una mappa con $\sigma$ in orizzontale e $\omega$ in verticale. La nostra "mappa di $s$" del Capitolo 6 riceve finalmente il suo nome da adulta: il piano s.

Cosa sappiamo adesso

Theo: "Quindi la sonda ci dice dove vive un segnale. Ma noi volevamo che le pendenze diventassero moltiplicazioni. Cosa fa la sonda con una pendenza?"