Capitolo 9

L'analisi diventa algebra

Possiamo trasformare l'analisi in algebra?

Le pendenze diventano moltiplicazioni

Mika: Ti ricordi il post-it del Capitolo 4? Per $e^{at}$ , prendere una pendenza era solo $\times\, a$ . Ora guarda cosa fa la sonda con una pendenza.

Parole nuove

$f'$ e $f''$: Abbreviazioni di $\frac{df}{dt}$ , la pendenza di $f$ , e della pendenza di quella pendenza. Il Capitolo 7 le scriveva con i puntini, $\dot x$ e $\ddot x$ .
$\mathcal{L}\{f\}$: "La trasformata di $f$ ": la stessa cosa di $F(s)$ , comoda quando $f$ è un'espressione intera.
Lettere maiuscole: Una lettera maiuscola è la trasformata della sua minuscola: $F$ per $f$ , $H$ per l'altezza $h$ , $X$ per $x$ .

Ecco la proprietà che rende tutto questo utile. Cosa succede alla trasformata quando prendiamo la pendenza del segnale? Proviamo con $f = e^{at}$ . La sua pendenza è $a e^{at}$ (Capitolo 4), quindi

\begin{aligned} \mathcal{L}\{f'\} &= \frac{a}{s-a} = \frac{s}{s-a} - 1 \\ &= s\,F(s) - f(0) \end{aligned}

La pendenza è diventata moltiplicare per $s$ , meno il valore di partenza $f(0)$ . L'analisi è diventata algebra!

Capitolo 9: L'analisi diventa algebra ↗

Theo: Un attimo. È un trucco che funziona per $e^{at}$ perché $e^{at}$ è speciale. Tra poco mi dirai che è una regola da tabella da imparare a memoria. Non ci credo che valga per qualsiasi curva.

June: Allora proviamola sulla curva più brutta che riesci a disegnare.

Disegna un segnale qualsiasi nel primo grafico (o scegline uno pronto). Calcoliamo la sua pendenza, poi ricaviamo entrambi i lati della regola con la macchina delle aree: la trasformata della pendenza, e $s\,F(s) - f(0)$ . Il secondo grafico mostra quei due lati per ogni $s$ .

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Theo: Coincidono, persino per il mio scarabocchio traballante. Altro che regola da tabella: è quello che la macchina delle aree fa a qualsiasi pendenza.

Ecco il calcolo mancante, come immagine. Un prodotto cambia per due motivi. $f$ cambia mentre la sonda sta ferma, e la sonda cambia mentre $f$ sta ferma. Immagina un rettangolo con lati $f$ ed $e^{-st}$ : cresce lungo un lato, poi lungo l'altro. Questa mossa ha un nome: integrazione per parti.

\big(f\,e^{-st}\big)' = f'\,e^{-st} - s\,f\,e^{-st}

Somma quei cambiamenti da 0 a ∞ (Capitolo 3: l'area disfa la pendenza) e ottieni il valore alla fine meno il valore all'inizio. È questo che vuol dire la parentesi $\big[\,\cdot\,\big]_0^\infty$ :

\big[f\,e^{-st}\big]_0^\infty = \int_0^\infty f'\,e^{-st}\,dt - s\,F(s)

All'estremo lontano la sonda ha schiacciato tutto a zero (purché $s$ batta la crescita del segnale), quindi il lato sinistro è solo $0 - f(0)$ . Porta $s\,F(s)$ dall'altra parte ed ecco la regola.

Theo: Quindi $f(0)$ non è un trucchetto. È il rettangolo da cui siamo partiti.

Applica la stessa regola ancora una volta, stavolta a $f'$ , il cui valore di partenza è $f'(0)$ , la velocità di partenza:

\begin{aligned} \mathcal{L}\{f''\} &= s\,\mathcal{L}\{f'\} - f'(0) \\ &= s\big(s\,F(s) - f(0)\big) - f'(0) \\ &= s^2 F(s) - s\,f(0) - f'(0) \end{aligned}

La nostra tabella

I libri stampano una "tavola delle trasformate di Laplace" come se fosse caduta dal cielo. Noi la nostra ce la guadagniamo, una riga alla volta. Ogni riga è solo la macchina sonda-e-area applicata a un segnale, con un controllo che la formula coincida con l'area vera.

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Mika: La riga del seno è la mia preferita. Un seno è solo due trottole gemelle, e la trasformata di ogni trottola è la riga dell'esponenziale con $a = \pm i\omega$ . Il Capitolo 6 sommava le gemelle per ottenere un coseno. Sottraile invece, e le parti in avanti si annullano, lasciando $2i\sin\omega t$ . Ecco da dove viene il $2i$ ! E moltiplicare i denominatori delle gemelle è il prodotto allo specchio del Capitolo 7, $(s - i\omega)(s + i\omega) = s^2 + \omega^2$ .

(Per una $a$ complessa, la riga dell'esponenziale funziona ancora, purché la parte sinistra-destra di $s$ batta la parte sinistra-destra di $a$ . Per le gemelle vuol dire semplicemente $\sigma > 0$ .)

E l'ultima riga non ha richiesto nessun lavoro nuovo: moltiplicare per $e^{-\sigma t}$ semplicemente sposta $s$ in $s+\sigma$ . Quattro righe, tutte ricavate, tutte controllate.

C'è un'altra regola che usiamo in silenzio. La macchina delle aree è onesta: rendi un segnale 3 volte più alto e ogni fettina della sua area diventa 3 volte più alta, quindi anche l'area intera. Somma due segnali e le loro aree si sommano. I matematici la chiamano linearità.

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June: È questo che ci permette di trasformare un'equazione un termine alla volta, numeri davanti compresi. E l'equazione del drone è proprio una somma di questo tipo. Usiamo la tabella!

Sciogliere un denominatore comune

Theo: Ogni risposta che otterremo uscirà come una frazione grande. Ma la nostra tabella conosce solo quelle piccole: $\frac1s$ , $\frac{1}{s-a}$ , i seni. Come spezziamo una frazione grande in pezzi della tabella?

A scuola sommavi le frazioni trovando un denominatore comune. Qui andiamo all'indietro: partiamo da una frazione sola e cerchiamo i pezzi piccoli che sommati la danno. Si chiama scomporre in fratti semplici:

\frac{1}{s} + \frac{1}{s+2} = \frac{2s + 2}{s\,(s+2)} \qquad\text{so}\qquad \frac{2s+2}{s\,(s+2)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+2}

Cosa va al numeratore di ogni pezzo? **Un'incognita per ogni potenza di $s$ nel suo denominatore.** Un denominatore come $s$ o $s + 2$ riceve un semplice numero. Un denominatore di secondo grado come $s^2 + 2s + 5$ riceve $B\,s + C$ : due incognite, perché un polinomio di secondo grado ha posto per due.

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June: Ogni cursore muove un pezzo, e i pezzi si sommano anche nel tempo. Il pezzo $A$ è un gradino; il pezzo di secondo grado è un'oscillazione che si spegne. E la frazione grande a destra è la loro somma.

Per trovare i numeri dei pezzi di primo grado c'è una scorciatoia, il trucco del coprire. Moltiplica per il denominatore del pezzo, poi dai a $s$ il valore che lo annulla: tutti gli altri pezzi spariscono e resta solo il suo numeratore.

A = \Big[s \cdot \frac{2s+2}{s\,(s+2)}\Big]_{s=0} = \frac{2}{2} = 1, \qquad B = \Big[(s+2) \cdot \frac{2s+2}{s\,(s+2)}\Big]_{s=-2} = \frac{-2}{-2} = 1

Un denominatore di secondo grado ha bisogno di un'ultima mossa prima che la tabella sappia leggerlo: portalo nella forma $(s + \sigma)^2 + \omega^2$ completando il quadrato, cioè dimezzando il numero di mezzo ed elevandolo al quadrato. Così $s^2 + 2s + 5 = (s + 1)^2 + 4$ : un coseno e un seno smorzati con $\sigma = 1$ e $\omega = 2$ .

Risolvere il drone con l'algebra

Ecco il drone del Capitolo 2 con controllo P, stavolta senza spinta di hovering gratuita, che parte da una mensola alta 1 m. A $t=0$ lo lasciamo andare e chiediamo 2 m. Nel calcolo da quell'istante in poi, il nuovo riferimento e la forza di gravità costante si trasformano ciascuno come un gradino:

m\,\out{h}'' + c\,\out{h}' = \eff{K_p}\,(\sp{2} - \out{h}) - \dis{m g}

Passo 1: trasforma ogni termine. Siccome le aree si scalano e si sommano (la sezione della tabella), possiamo trasformare ogni termine per conto suo. Un gradino di ampiezza $r$ diventa $r/s$ , e le pendenze diventano moltiplicazioni per $s$ . Ecco cosa abbiamo scritto:

m\,s^2\out{H} + c\,s\,\out{H} = \eff{K_p}\Big(\frac{\sp{2}}{s} - \out{H}\Big) - \frac{\dis{m g}}{s}

Passo 2: ora è algebra. Raccogli $\out{H}$ da una parte, poi dividi:

\begin{gathered} \begin{aligned} &(m s^2 + c s + \eff{K_p})\,\out{H} \\ &\quad = \frac{\eff{K_p}\,\sp{2} - \dis{m g}}{s} \end{aligned} \\[8pt] \out{H}(s) = \frac{N(s)}{s\,\big(m s^2 + c s + \eff{K_p}\big)} \\[8pt] N(s) = \eff{K_p}\,\sp{2} - \dis{m g} \end{gathered}

Mika: Guarda un po'. Niente più pendenze, solo lettere spostate qua e là. Theo, il tuo quaderno ha smesso di fumare.

Passo 3: spezzalo in pezzi della tabella, come nella sezione qui sopra: un numero al numeratore del pezzo in $s$ , e $B s + C$ al numeratore di quello di secondo grado:

\out{H}(s) = \frac{A}{s} + \frac{B s + C}{m s^2 + c s + \eff{K_p}}

Come troviamo $A$ , $B$ e $C$ ? Moltiplica entrambi i lati per il denominatore comune $s\,(m s^2 + c s + \eff{K_p})$ :

\begin{aligned} N(s) &= A\,(ms^2+cs+\eff{K_p}) \\ &\quad + s\,(Bs+C) \end{aligned}

Il trucco del coprire

Per $A$ c'è una scorciatoia. Moltiplica $\out{H}$ per $s$ e ogni pezzo tranne $A/s$ ha ancora una $s$ al numeratore. Metti $s = 0$ e spariscono tutti. Sopravvive solo $A$ :

A = \Big[s\,\out{H}(s)\Big]_{s=0} = \frac{N(0)}{\eff{K_p}} = \sp{2} - \frac{\dis{mg}}{\eff{K_p}}

E $s\,\out{H}$ vicino a $s = 0$ è dove finisce il drone a lungo andare, se mai si assesta. L'altezza finale salta fuori direttamente dall'algebra, senza bisogno di simulazioni.

Mika: Aspetta. Possiamo leggere dove si assesta senza risolvere niente? Sembra di barare.

Theo: È barare, a meno che tutto il resto non si spenga. Qui gli altri pezzi sono l'oscillazione propria del drone, e si spengono, quindi resta $A$ . Se il denominatore avesse una radice nella metà destra, $A/s$ starebbe ancora nella frazione, ma un pezzo che cresce lo sommergerebbe e il drone non si assesterebbe mai da nessuna parte. Il Capitolo 10 mostra come controllare.

Poi confronta i due lati, una potenza di $s$ alla volta. I numeri semplici danno $A$ , i termini in $s^2$ danno $B$ e i termini in $s$ danno $C$ :

\begin{gathered} A = \sp{2} - \frac{\dis{mg}}{\eff{K_p}} \\ B = -m\,A, \qquad C = -c\,A \end{gathered}

Non compare nuova fisica: abbiamo solo sciolto un denominatore comune per arrivare a pezzi che la nostra tabella sa riportare nel tempo. Nota che ad $A$ non importa da dove è partito il drone.

Theo: E non abbiamo mai dovuto tirare a indovinare $e^{st}$ , nemmeno una volta. Ha indovinato la tabella per noi.

Passo 4: cerca ogni pezzo nella tabella che abbiamo appena ricavato: $A/s$ è un gradino, e il secondo pezzo è un coseno smorzato più un seno smorzato (la deviazione qui sotto mostra come si adatta a quelle righe). Leggi $h(t)$ .

Completare il quadrato: il Capitolo 7 si nascondeva al denominatore

Il secondo pezzo non è ancora nella nostra tabella: il suo denominatore è un semplice polinomio di secondo grado. Portalo nella forma $(s+\sigma)^2 + \omega^2$ (completando il quadrato, come nella sezione qui sopra) e coincide esattamente con le righe del seno smorzato. Il numeratore si divide allo stesso modo, una parte per la riga del coseno e una per quella del seno:

\begin{gathered} 0{,}5\,s^2 + s + \eff{K_p} = 0{,}5\,\big((s+1)^2 + \omega_d^2\big) \\ \omega_d^2 = 2\eff{K_p} - 1 \\[6pt] B\,s + C = B\,(s+1) + (C - B) \end{gathered}

Quindi $\sigma = 1$ , che è lo $\zeta\omega_n$ del Capitolo 7 per il nostro drone, e $\omega$ è l'oscillazione smorzata $\omega_d$ .

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Theo: Aspetta. Il denominatore si annulla esattamente nei due punti che abbiamo messo sulla mappa nel Capitolo 7! Tieniti stretto questo pensiero.

June: Confrontiamolo con la simulazione!

Prima indovina! Facciamo partire il drone da una mensola di 1 m e facciamo girare la nostra formula accanto alla simulazione. Cosa vedremo?

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Mika: Oh-oh. La formula parte da zero, ma il drone parte dalla mensola a 1 m. L'algebra mente?

Theo: L'algebra va benissimo. Abbiamo mentito noi. Guarda il Passo 1: abbiamo scritto $\mathcal{L}\{h''\} = s^2 H$ e $\mathcal{L}\{h'\} = s\,H$ , e abbiamo buttato via ogni $h(0)$ . È proprio il pezzo che si ricorda della mensola.

Attiva l'interruttore per rimettere i termini dell'altezza di partenza, e guarda i Passi 1 e 2 e i coefficienti qui sopra cambiare insieme. Ora la formula tratteggiata e la simulazione blu sono esattamente una sopra l'altra: lo scarto massimo è meno di un milionesimo di metro, solo arrotondamenti. Cambia $\eff{K_p}$ o l'altezza della mensola e continuano a coincidere.

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Theo: Nel Capitolo 2 abbiamo dovuto far volare il drone per trovare il suo abbassamento. Qui è saltato fuori da una frazione.

Cosa sappiamo adesso

Cosa abbiamo capito

Le pendenze diventano moltiplicazioni: $\mathcal{L}\{f'\} = sF(s) - f(0)$ . Lo $f(0)$ ricorda da dove è partito il segnale. Dimenticalo e la tua risposta parte dal posto sbagliato.
Abbiamo ricavato la nostra tabella: $1/s$ , $1/(s-a)$ , $\omega/(s^2+\omega^2)$ , e la versione spostata per i seni smorzati. Le aree si scalano e si sommano, quindi possiamo trasformare un'equazione termine per termine.
Le frazioni grandi si spezzano in fratti semplici: un'incognita per ogni potenza di $s$ in ciascun denominatore, trovata con il trucco del coprire. Un denominatore di secondo grado diventa un coseno e un seno che si restringono.
Trasforma, fai l'algebra, spezza in pezzi della tabella, leggi la risposta. Il pezzo $A/s$ è dove si assesta il drone, abbassamento compreso. Coincide esattamente con la simulazione, purché tu tenga i valori di partenza.

June: "Ogni volta che abbiamo risolto qualcosa, la risposta era (qualcosa) ÷ (un polinomio in s), e il comportamento del drone veniva da dove si annulla il denominatore. E se quella frazione fosse il drone?"

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