Capitolo 3

Il linguaggio del cambiamento

Come descriviamo quanto in fretta sta cambiando qualcosa?

Capitolo 3: Il linguaggio del cambiamento ↗

La pendenza è la velocità

Theo: Continuiamo a dire "lento", "oscillante", "si assesta". June ha ragione: sono sensazioni, non matematica. Voglio un modo preciso per dire quanto in fretta cambia il drone.

June: Rivediamo il nostro drone del Capitolo 2 (Kp = 20 N/m) e guardiamolo da vicino.

La curva blu è l'altezza del drone nel tempo. La velocità è quanto cambia l'altezza ogni secondo. Sul grafico, è quanto è ripida la curva in un certo istante. Appoggia un righello alla curva in modo che la tocchi in un solo punto. Quel righello è la retta tangente, e la sua pendenza è la velocità.

Mika: Facile: il drone va più veloce proprio in cima alla gobba, perché è lì che è più in alto!

Capitolo 3: Il linguaggio del cambiamento ↗

Theo: Metti il cursore in cima alla gobba. La tangente è piatta. Lì la velocità è zero!

Mika: Oh. Il drone sale, finisce la velocità verso l'alto, si ferma per un istante in cima e ricade. Alto e veloce sono cose completamente diverse.

Il momento più veloce in realtà è a metà della salita, dove la curva è più ripida. E quando la curva scende, la pendenza è negativa: il drone sta cadendo.

Questa "pendenza in un istante" ha un nome: la derivata. La scriviamo come un minuscolo cambiamento di altezza diviso per il minuscolo tempo che ci ha messo. In simboli, $\Delta h / \Delta t$ si legge "variazione di altezza su variazione di tempo": la lettera greca Δ (delta) sta per variazione di.

\begin{gathered}\text{velocità} = \frac{d\out{h}}{dt} \\[1em] \approx \frac{\text{variazione di altezza}}{\text{variazione di tempo}} \\[1em] (\text{in un tempo brevissimo})\end{gathered}

Una regola per la velocità

June: Il mio caffè si raffredda in fretta all'inizio e poi lentissimamente. Non arriva mai del tutto a temperatura ambiente.

Theo: Perché la velocità con cui si raffredda dipende da quanta strada gli resta. Una tazza bollente perde calore in fretta. Una tazza appena tiepida quasi non ne perde.

Scriviamolo come una regola per la pendenza. La temperatura del caffè è T, la stanza è a 20 °C:

\frac{d\out{T}}{dt} = -\frac{\out{T} - \sp{T_{\text{stanza}}}}{\tau}

Il segno meno dice "raffreddati quando sei più caldo della stanza". Il numero τ (tau, la costante di tempo) dice quanto è lenta la tazza. Immaginala così: τ è il tempo che il caffè impiegherebbe per arrivare a temperatura ambiente se continuasse a raffreddarsi alla velocità iniziale. Per una tazza normale, τ ≈ 10 minuti.

Ecco il rompicapo: la regola ci dice solo la pendenza adesso. Possiamo ricavarne tutta la curva? Costruiamola a mano: guarda la pendenza, cammina lungo di essa per un po' (Δt), guarda la nuova pendenza, cammina di nuovo…

Capitolo 3: Il linguaggio del cambiamento ↗

June: Dodici passettini sono una noia. Faccio passi da 15 minuti e finisco in un attimo.

June: …Un momento. Il caffè è a −15 °C?! Si è congelato in una stanza calda?

Theo: La regola va bene. Il problema sono i passi. In un passo gigante continui a usare la pendenza ripida dell'inizio del passo, molto dopo che ha smesso di essere vera. Così sfrecci oltre la temperatura ambiente.

Possiamo vedere esattamente di quanto. Ogni passo moltiplica la distanza dalla temperatura ambiente per lo stesso numero:

\text{distanza}_{\text{dopo}} = \left(1 - \frac{\Delta t}{\tau}\right) \cdot \text{distanza}

Δt più piccolo di τ: il fattore è tra 0 e 1. La distanza si riduce, niente sovraelongazione.
Δt esattamente τ: il fattore è 0. Un solo passo arriva esattamente a temperatura ambiente: è la velocità iniziale mantenuta per un τ intero.
Δt tra τ e 2τ: il fattore è negativo. Il caffè va sotto la temperatura della stanza, poi sopra, avanti e indietro, con oscillazioni che si riducono.
Δt più grande di 2τ: il fattore è minore di −1. Le oscillazioni crescono a ogni passo. Caffè senza senso.

Mika: È la doccia! Agire con troppa audacia su informazioni vecchie ti fa oscillare.

Rendi Δt piccolo e accendi la curva liscia. I punti costruiti a mano ci cadono proprio sopra. Quella forma liscia si chiama decadimento esponenziale. Il prossimo capitolo è tutto suo.

Il caffè vero non mantiene mai la sua velocità iniziale: la pendenza si riduce man mano che si riduce la distanza. Così dopo un τ ha coperto solo circa il 63% della distanza, non tutta. Nel righello qui sotto, la linea tratteggiata è la velocità iniziale mantenuta; la curva è quello che succede davvero. Da dove viene il 63%? Lo costruisce il Capitolo 4.

La costante di tempo è un righello

Prima indovina! Dopo una costante di tempo, il caffè ha coperto il 63% della distanza dalla temperatura ambiente. Dopo due costanti di tempo, quanta parte della distanza è coperta?

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Dopo 1τ: 63%. Dopo 2τ: 86%. Dopo 3τ: 95%. Non ci arriva mai esattamente, ma dopo circa 4–5 τ nessuno se ne accorge. Passa alla vasca: si riempie attraverso un tubo che viene da un grande serbatoio pieno fino a 1,2 m, e il flusso è spinto dalla differenza di livello, quindi rallenta man mano che la vasca lo raggiunge. La regola è la stessa ("velocità proporzionale a quanto manca al pieno") e anche la forma.

June: Quindi τ è un righello incorporato. Dimmi τ e so quanto è lenta una cosa, che sia una tazza, una vasca o un drone.

Parole nuove

Derivata: La pendenza di una curva in un istante: quanto in fretta cambia qualcosa. Si scrive $\frac{dh}{dt}$ oppure $\dot h$ .
Sistema del primo ordine: Qualcosa la cui velocità di cambiamento è proporzionale a quanto è lontano da dove sta andando (caffè, vasche). La sua curva è un esponenziale.
Costante di tempo τ: Quanto ci metterebbe un sistema del primo ordine ad arrivare se mantenesse la velocità iniziale. In realtà in quel tempo copre il 63% della distanza rimanente.

Al contrario: sommare aree

Theo: La pendenza trasforma l'altezza in velocità. Possiamo andare al contrario? Supponiamo che il sensore del drone ci dica solo la velocità. Dov'è il drone?

Se voli a 2 m/s costanti per 3 s, sali di 6 m: velocità × tempo. Su un grafico velocità-tempo è l'area di un rettangolo. Quando la velocità continua a cambiare, taglia il tempo in strisce sottili, tratta ogni striscia come un rettangolo e sommale tutte.

Sposta il cursore e guarda crescere l'area ombreggiata. La curva blu qui sotto è semplicemente l'area fin qui. Dove la velocità scende sotto zero (il drone cade), l'area conta come negativa e l'altezza diminuisce.

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Mika: L'area accumulata cade esattamente sull'altezza vera. La pendenza ti porta in un verso, l'area ti riporta indietro.

Questa operazione di "accumulare l'area" si chiama integrale. Il suo simbolo ∫ è una S allungata, per somma: una somma di strisce sottili. Il piccolo $dt$ è la larghezza di ogni striscia, e lo $0$ e il $t$ dicono dove iniziare e dove smettere di sommare:

\out{h}(t) = \out{h}(0) + \int_0^{t} \text{velocità}\;dt

La pendenza di una pendenza

Mika: Il Capitolo 1 ci ha fatto una promessa. L'equazione del drone aveva due puntini sopra $h$ . Un puntino è la velocità. E il secondo?

Anche la velocità è una curva, quindi ha anche lei una pendenza: quanto in fretta cambia la velocità. Quella è l'accelerazione, la pendenza di una pendenza. Qui sotto, lo stesso volo tre volte: l'altezza, la sua pendenza (la velocità) e la pendenza di quella (l'accelerazione), tutte con un solo cursore del tempo.

Prima indovina! Proprio in cima alla gobba la velocità è zero. Quanto vale lì l'accelerazione?

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Mika: Io avevo detto zero! Ma in cima la curva della velocità scende nel punto più ripido. Velocità zero non vuol dire spinta zero.

Due puntini vogliono dire la pendenza della pendenza. C'è un terzo modo di scrivere le pendenze, con dei segnetti chiamati primi: $h'$ ("h primo") per la pendenza, $h''$ ("h secondo") per la pendenza della pendenza. Tre grafie, un'idea sola:

Parole nuove

$\dot h = h' = \frac{dh}{dt}$: La pendenza di $h$ : la sua velocità.
$\ddot h = h'' = \frac{d^2 h}{dt^2}$: La pendenza della pendenza: l'accelerazione.
$\Delta$: "Variazione di": $\Delta t$ è un passo di tempo.
$\int$: Una S allungata, per "somma": sommare area.

Ora l'equazione del Capitolo 1 si legge come una frase. Massa per accelerazione è uguale a tutto ciò che spinge: la spinta in su, il peso in giù e l'attrito contro la velocità. È la legge di Newton, un termine alla volta:

\underbrace{0{,}5\,\ddot{\out{h}}}_{\text{massa}\times\text{accelerazione}} = \underbrace{\eff{T}}_{\text{spinta}} - \underbrace{4{,}9}_{\text{peso}} - \underbrace{1{,}0\,\dot{\out{h}}}_{\text{attrito}\,\times\,\text{velocità}}

Theo: Quindi la regola del caffè riguardava la sua velocità, e quella del drone riguarda la sua accelerazione: una pendenza più in profondità. È per questo che il drone può fare sovraelongazione e oscillare, e il caffè mai?

June: Per forza. La velocità del caffè segue semplicemente la distanza. Quella del drone va accumulata e poi consumata, quindi può muoversi ancora quando arriva.

Cosa sappiamo finora

Cosa abbiamo capito

La derivata è la pendenza di una curva in un istante: quanto in fretta sta cambiando. Alto e veloce sono cose diverse.
Una regola come "raffreddati più in fretta quanto più sei caldo" fissa tutta la curva: un avvicinamento esponenziale.
La costante di tempo τ è un righello: 63% della strada dopo τ, 86% dopo 2τ, 95% dopo 3τ.
Costruire curve con passi troppo grandi crea sovraelongazioni e oscillazioni finte, proprio come la doccia.
La pendenza della pendenza è l'accelerazione: $\ddot h$ , oppure $h''$ . L'equazione del drone del Capitolo 1 è una regola per lei.
L'integrale accumula l'area e annulla la derivata.

Theo: "La curva del caffè aveva una proprietà curiosa: la sua pendenza era sempre proporzionale alla distanza che restava. Esiste una curva la cui pendenza è proporzionale a se stessa?"

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