Capítulo 13

El desafío del dron

¿Puedes tú mantener el dron a 2 m pase lo que pase?

Instrucciones de la misión

June: Vale. Dron real, entrega real. Despega con un paquete, aguanta una ráfaga, suelta el paquete y se mantiene a 2 m todo el rato. Veinte segundos.

Mika: ¿Y no podemos tocar nada mientras vuela?

Theo: Esa es la gracia. El controlador tiene que hacerlo solo. Nosotros solo elegimos tres números. Bueno, cuatro: también el filtro.

La misión, segundo a segundo:

0 s: despega del suelo cargando un paquete de 0,2 kg (0,7 kg en total).
6–9 s: una ráfaga hacia abajo empuja con 1,5 N.
12 s: el paquete se suelta. De repente, el dron pesa 0,2 kg menos.
20 s: fin de la misión.

Para el final, nuestro modelo del dron se vuelve un poco más honesto. Cada una de estas cosas es algo con lo que tienen que vivir los drones reales, y cada una es una vieja amiga de un capítulo anterior:

Retraso de los motores (τ ≈ 0,05 s): una hélice no puede cambiar de velocidad al instante. Su empuje sigue la orden como el café que se enfría del capítulo 3, un retraso de primer orden: el 63 % del camino al cabo de 0,05 s. Un empujón que llega tarde es el desfase del capítulo 12 disfrazado.
**Un sensor con ruido ( $\sigma_n$ ≈ 2 cm, n de noise, que en inglés significa ruido; no es la σ de un polo):** cada lectura de altura se equivoca unos 2 cm, al azar, mil veces por segundo. El capítulo 11 ya nos avisó: D convierte ese temblor en grandes picos de empuje.
Motores limitados (de 0 a 20 N): el límite del capítulo 10 sigue puesto. Con el paquete, el dron pesa 6,9 N, así que 20 N es solo unas tres veces su peso, y los motores nunca pueden tirar hacia abajo. Mientras están clavados, el montón se pausa (el anti-windup del capítulo 11).
D está filtrada: el arreglo del capítulo 11. D toma la pendiente de una lectura del sensor suavizada, un retraso de primer orden con la constante de tiempo $\tau_f$ que tú elijas. Un $\tau_f$ más largo significa más calma, pero más tarde.

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Un retraso corto es casi un retardo

Theo: Un motor que necesita 0,05 s para acelerar… ¿no es eso un retardo diminuto y ya está?

\angle \frac{1}{1 + i\omega\tau_m} = -\arctan(\omega\tau_m) \approx -\omega\tau_m \qquad (\omega\tau_m \ll 1)

June: ¡Casi! Toma un ajuste que gane las seis estrellas (sin adelantar nada). Su ganancia del lazo vale exactamente 1 hacia 10 rad/s, donde el capítulo 12 lee el margen de fase. Ahí, un retardo de 0,05 s costaría 28°. El retraso cuesta 26°.

Mika: O sea, que es otra vez el capítulo 12, solo que en pequeño.

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Con los motores reales, unos 25° de margen se van antes de que empiecen siquiera el ruido o los límites. Por eso los ajustes ganadores del final son más suaves que los del capítulo 11.

Theo: ¿Solo 33°? Según las parejas de margen y ζ del capítulo 12, eso es un ζ saltarín de unos 0,3. Entonces, ¿cómo se gana la estrella del sobreimpulso?

Su pareja de polos oscilante sí es así de saltarina (ζ ≈ 0,33: por sí sola se pasaría alrededor de un 33 %). Pero casi toda la subida va a lomos de dos polos lentos y tranquilos, cerca de −1,1 y −2,7, y a la pareja oscilante solo le toca una parte pequeña. Incluso con motores ilimitados, el despegue solo se pasa alrededor de un 7 %. Las parejas del capítulo 12 son para su lazo sencillo. Este tiene más piezas, así que lee su margen como una distancia de seguridad, no como una promesa sobre el sobreimpulso.

El capítulo 12 dibujaría esto. Aquí está el lazo del propio dron, una vuelta del ajuste de seis estrellas: controlador, motores, dron. Desliza el retraso de los motores y mira cómo la fase se dobla hacia abajo.

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Theo: Sin el retraso, la fase nunca llega a −180°, así que no hay ningún abismo: por mucho que subieras la ganancia, el lazo nunca podría alcanzar el −1 del capítulo 10. Es el pequeño retraso de los motores lo que construye el abismo.

¡Primero, predice! Cuando el paquete se suelta a los 12 s, ¿qué término hace el trabajo duro para devolver el dron a exactamente 2 m?

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Mika: Espera. ¿Entonces después de la suelta el dron tiene que flotar un poco demasiado alto durante un rato? ¡Ese es el error del que el montón se desaprende!

Vuela la misión

Cada cambio de un deslizador reinicia la misión, y el vuelo anterior se queda como fantasma. El pequeño plano s muestra los polos nominales: el retraso de los motores y el filtro están incluidos, y solo quedan fuera el ruido, el paquete y los límites. Así ves la imagen lineal mientras el vuelo real, con todo su lío, pasa al lado. Consigue las seis estrellas para el oro.

Los límites son lo que notaría un cliente de entregas: estabilizado antes de 3 s, nunca más de un 10 % demasiado alto, que la ráfaga no lo desplace más de un palmo (20 cm), de vuelta en 2 s tras la suelta, sin rozar nunca el suelo y con motores que no zumban (menos de 0,5 N de vibración).

La estrella de llegada significa que la altura real se mantiene dentro de ±5 cm desde que llega hasta la ráfaga de los 6 s; cruzar 2 m una sola vez no cuenta. La estrella de motores tranquilos usa la desviación estándar del empuje de 3 a 6 s, después del despegue y antes de la ráfaga: cuánto varía típicamente alrededor de su media, incluido lo que tarde en estabilizarse y la vibración del sensor. Señala una línea de la lista (o llega a ella con el tabulador) para sombrear los segundos que juzga.

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June: He ajustado el controlador perfecto en mi cabeza: $K_d$ enorme y el filtro más pequeñito para que D reaccione al instante. ¡Es impecable con el aire en calma! Mira…

June: …¿por qué chillan los motores? La línea naranja es pura pelusa, ¡y encima ahora se pasa!

Theo: Capítulo 11, aviso 2. Un $K_d$ grande por un filtro diminuto convierte cada 2 cm de temblor del sensor en un pico de empuje. Y los picos se recortan en 0 N mucho más a menudo que en 20 N (la línea naranja tenue muestra lo que el controlador pedía: mira cuántas veces toca 0 N), así que suman un empujón extra desequilibrado. Ese es el sobreimpulso, la misma deriva hacia arriba que pilló el capítulo 11. Solo era impecable porque tu aire en calma imaginario venía con un sensor perfecto.

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Prueba el ajuste de aire en calma de June y mira cómo falla la estrella de "motores tranquilos". Luego alarga el filtro a 0,04 s y baja $K_d$ a unos 7. Con $K_d$ = 7 llega en unos 1,9 s en vez del sueño de June de 1,3 s: ese es el precio de unos motores tranquilos. Ese intercambio, velocidad frente a ruido y frente a robustez, es la ingeniería de control.

June: Un poco más lento, y los motores dejan de chillar. Trato hecho. En mi cabeza el aire estaba en calma y el sensor era perfecto.

Mirando atrás

Mika: Empecé pensando que "empujar más fuerte" lo arregla todo. Es justo al revés, ¿no? Casi todos los problemas venían de empujar demasiado fuerte con información vieja o con ruido. Me alegro de haber hecho todas las preguntas tontas. Ninguna lo era.

Theo: Por fin me creo la transformada de Laplace. No es una tabla para consultar: es una sonda que le pregunta a una señal "¿cuánto tienes de $e^{st}$ ?". Y como las pendientes se convierten en multiplicar por $s$ , el cálculo se convierte en álgebra. Los polos son donde la respuesta se dispara: las $e^{st}$ con las que está construido el sistema.

June: Y yo aprendí que "más" no es "mejor": más ganancia, más amortiguamiento, más $K_i$ , más velocidad. Siempre hay un abismo, y los buenos diseños guardan un margen respecto a él. Y también: pruébalo siempre en el dron.

Aquí está todo lo que construimos, de la ducha al final. Cada burbuja te lleva de vuelta al lugar donde nació.

Lo que descubrimos

Realimentación: mide lo que pasó, compáralo con el objetivo y actúa según el error (cap. 0–1).
El control P empuja en proporción al error, pero deja una caída y oscila cuando es fuerte (cap. 2).
Derivadas, exponenciales y números que giran describen cómo cambian las cosas: $e^{st}$ con $s = \sigma + i\omega$ crece o se encoge y oscila (cap. 3–7).
La transformada de Laplace convierte las pendientes en multiplicar por $s$ , así que el cálculo se vuelve álgebra (cap. 9).
Los polos sin cancelar de una función de transferencia indican movimientos naturales visibles entre la entrada y la salida elegidas: los de la izquierda se atenúan, los de la derecha crecen (cap. 10).
PID: I mata la caída, D añade amortiguamiento, y cada uno mueve los polos (cap. 11).
El retardo añade desfase; los márgenes te dicen a qué distancia estás del borde del abismo (cap. 12).
El hardware real añade límites (cap. 10), un retraso que cuesta margen de fase (cap. 3 + cap. 12) y ruido que D amplifica (cap. 11), así que los buenos controladores son tranquilos además de rápidos (cap. 13).

Explícaselo a un amigo

Primero, tu misión: ¿cuántas estrellas conseguiste y cuál fue la más difícil? Di por qué en voz alta antes de seguir leyendo.

Mika: La mía fue la estrella de los motores tranquilos. No paraba de añadir D para calmar los motores, y solo sonaban más fuerte.

La mejor prueba de que entiendes algo es explicarlo. Antes de cada respuesta, intenta decir tu versión en voz alta. Luego elige la explicación que más se le parezca.

Una imagen más: el plano de estados

Theo: Todas las gráficas de este curso mostraban la altura a lo largo del tiempo. Pero la altura sola no te dice qué pasa después: estar a 2 m subiendo no es lo mismo que estar a 2 m bajando.

Dos números fijan el futuro: la altura medida desde el objetivo, $\Delta h$ , y la velocidad $v$ . Juntos forman el estado del dron. Ponlos en un mismo plano, la altura en horizontal y la velocidad en vertical, y todo el vuelo se convierte en el camino de un solo punto en movimiento.

Sus reglas son las pendientes del capítulo 3, una para cada número: la altura cambia a la velocidad, y la velocidad cambia a la aceleración de la ecuación del capítulo 1. Con el empuje de vuelo estacionario ya descontado y el control PD $T = -K_p\,\Delta h - K_d\,v$ encima, las dos reglas caben en una sola tabla:

\frac{d}{dt}\begin{pmatrix}\Delta h\\ v\end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix}0 & 1\\ -\frac{K_p}{m} & -\frac{c+K_d}{m}\end{pmatrix}}_{A}\begin{pmatrix}\Delta h\\ v\end{pmatrix}

Esa tabla $A$ es una matriz: multiplícala por el estado y sale la velocidad del estado. Su fila de arriba dice que la altura cambia a la velocidad; su fila de abajo es la ley de Newton.

¡Primero, predice! Con $K_p$ = 20 N/m y sin D, el dron empieza 1 m por debajo y quieto. ¿Qué camino dibuja su estado?

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June: ¡Es la espiral del capítulo 6! Y cuando subo $K_d$ por encima de 5,3 más o menos, la espiral se endereza y entra deslizándose a lo largo de dos líneas discontinuas.

Esas líneas rectas son los modos: si empiezas justo sobre una, el estado se desliza en línea recta hacia el centro a la tasa propia de ese modo. Las tasas son los números especiales de la matriz, sus valores propios, que están donde $\det(sI - A) = 0$ :

\det(sI - A) = s^2 + \frac{c + K_d}{m}\,s + \frac{K_p}{m} = 0

Mika: ¡Es la ecuación del capítulo 7! Los valores propios son los polos. El mismo dron, otra imagen.

Y el patio de los polos del capítulo 10 llevaba todo el rato haciendo realimentación del estado sin decirlo: $T = -K_p\,\Delta h - K_d\,v$ empuja sobre los dos números del estado, y al elegir las dos ganancias colocábamos los dos polos. Dale más números al estado (inclinación, giro, posición lateral) y la matriz crece, pero la idea se mantiene: los valores propios son los polos, y realimentar el estado entero permite colocarlos todos.

Una confesión más. Todas las reglas de este curso son reglas de línea recta, pero las cosas reales se curvan. El empuje de una hélice crece con el cuadrado de su giro, $T = k\,w^2$ . Cerca del vuelo estacionario la curva es casi recta, así que la cambiamos por su tangente en ese punto, la regla del capítulo 3:

T \approx T_0 + 2k\,w_0\,\Delta w

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Theo: Así que las líneas rectas nunca fueron una mentira. Son una imagen ampliada: fiel cerca del vuelo estacionario, peor cuanto más te alejas. Por eso nuestras cuentas necesitaban al dron cerca de los 2 m.

Palabras nuevas

Estado: Los números que fijan el futuro: para nuestro dron, la altura y la velocidad. Un punto en el plano de estados.
Matriz $A$: Una tabla de números que convierte el estado en su velocidad.
Valores propios: Las tasas especiales de una matriz, donde $\det(sI - A) = 0$ . Para la $A$ de un dron, son sus polos.
Linealizar: Cambiar una regla curva por su tangente cerca del punto que te interesa (aquí, el vuelo estacionario).

Adónde ir después

Ahora sabes más teoría de control de la que la mayoría de la gente llega a ver nunca. Aquí sigue el camino, y cada tramo es un cuaderno nuevo:

Lugar de las raíces: en vez de arrastrar polos, arrastra la ganancia y mira cómo los polos dibujan caminos. Verías de un vistazo qué $K_p$ es demasiado.
Control en el espacio de estados: arriba ya lo has probado un poco. Muchos sensores y motores a la vez: un dron real tiene que controlar a la vez la inclinación, el giro y la posición, y ajustar un mando cada vez deja de funcionar.
Control digital: los controladores reales corren en ordenadores que muestrean cada pocos milisegundos. El muestreo también es un pequeño retardo, y el plano s tiene un primo: el plano z.
Filtros de Kalman: combinan lo que predice un modelo con lo que dice el sensor, para usar un sensor con ruido sin un filtro lento.
Predictores de Smith y control predictivo basado en modelo: controladores que llevan dentro una pequeña simulación para ver más allá de los retardos, la verdadera cura de la ducha.
Control no lineal y robusto: qué hacer cuando el rozamiento no es lineal o el dron vuela en 3D, y cómo demostrar que todavía tienes margen.

Theo: Primero el lugar de las raíces. Quiero ver cómo se mueven los polos mientras giro un solo mando.

La próxima vez que una ducha te haga bailar entre escaldarte y congelarte, sabrás exactamente qué está pasando. Y sabrás que no es culpa tuya. Es el margen de fase.

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