Capítulo 5

Números que giran

¿Qué clase de número podría dar −1 al elevarlo al cuadrado, y por qué iba a oscilar?

Los números son flechas

Mika: La última vez, el resorte necesitaba un número con $a^2 = -4$ . Theo dijo que no existe. Pero ¿qué pinta tendría uno así?

Imagina cada número como una flecha que sale del 0 a lo largo de la recta numérica. Multiplicar por 2 estira la flecha. Multiplicar por ½ la encoge. Y multiplicar por −1 le da la vuelta para que apunte al otro lado. Eso es media vuelta.

June: ¡Uy! Si ×(−1) es media vuelta… ¿qué es la mitad de media vuelta? ¡Un cuarto de vuelta! La flecha apuntaría hacia arriba, fuera de la recta numérica.

Démosle un nombre al cuarto de vuelta: i. Hazlo dos veces y habrás dado media vuelta, que es ×(−1). Así que $i \cdot i = -1$ . ¡Ahí está nuestro número que da negativo al elevarlo al cuadrado!

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i^2 = -1 \qquad\text{(dos cuartos de vuelta = media vuelta)}

Theo: Un momento. Esos son los "números imaginarios". Todo el mundo sabe que son inventados. No pueden describir un resorte real, físico.

June: No son imaginarios, ¡son de lado! Es solo una flecha en 2D. Girar a la izquierda es tan real como andar hacia delante.

Un número como $3 + 2i$ significa simplemente "3 pasos a lo largo, 2 pasos de lado". Todo el plano de flechas es el escenario de lo que viene a continuación.

Medir giros

June: Si i es un cuarto de vuelta, nos vamos a pasar el día girando flechas. Entonces, ¿cómo decimos cuánto ha girado una flecha?

Los grados son una vieja costumbre: 360 en una vuelta, porque a un calendario antiguo le gustaba el 360. Los matemáticos miden un giro con el propio círculo. Haz rodar una rueda de radio 1 y mira cuánto avanza su borde. Un radián es el ángulo cuyo arco mide exactamente un radio.

¡Primero, predice! ¿Cuántos radianes hay en una vuelta completa?

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Sigue la punta de la flecha mientras gira. Su sombra sobre el eje real se llama coseno del ángulo, $\cos\theta$ ; su sombra sobre el eje de lado es el seno, $\sin\theta$ . Gira a ritmo constante y las dos sombras dibujan ondas, el seno un cuarto de vuelta por detrás del coseno.

Mika: ¡Entendido! Así que una flecha que gira a 2 radianes por segundo da dos vueltas cada segundo.

Theo: Dos vueltas por segundo serían $4\pi$ radianes por segundo. A 2 radianes por segundo da una vuelta completa cada $2\pi/2 \approx 3{,}14$ segundos.

Palabras nuevas

Radián: El ángulo cuyo arco mide un radio. Una vuelta completa son $2\pi$ radianes; media vuelta, $\pi$ .
Coseno y seno: Las sombras de una flecha de longitud 1 con ángulo θ: $\cos\theta$ a lo largo del eje real, $\sin\theta$ de lado.

Un número que gira

Las velocidades de giro se miden en radianes por segundo. A la flecha que gira la llamaremos girador: a 2 radianes por segundo da una vuelta completa en $2\pi/2 \approx 3{,}14$ segundos. El símbolo ω indica esa velocidad de giro.

Ahora imagina un punto que da vueltas a un círculo a ritmo constante, ω radianes por segundo. ¿Hacia dónde apunta su velocidad? (Aquí la velocidad del capítulo 3 gana una dirección: la velocidad de una flecha que se mueve también es una flecha, que dice hacia dónde va su punta y lo rápido que va.) Siempre a lo largo del círculo, que está un cuarto de vuelta por delante de la flecha que va al punto.

Un cuarto de vuelta es ×i, y la rapidez es ω por el radio. Así que la velocidad es la posición girada un cuarto de vuelta, por ω: velocidad = iω × posición.

Theo: Espera. "La pendiente es un número fijo por sí misma" es exactamente la propiedad exponencial del capítulo 4. ¡Con a = iω!

Mika: Pero espera. En el capítulo 4, una potencia significaba "cuánto se ha multiplicado". ¿Qué querría decir $e$ elevado a $i\theta$ ? ¿Multiplicar por $e$ $i\theta$ veces?

June: Constrúyelo como en el capítulo 4. $e$ eran $n$ pasitos, cada uno creciendo $\frac1n$ . Ahora haz que cada pasito sea un empujoncito de lado.

e^{i\theta} = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{i\theta}{n}\right)^{n}

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Cada paso gira la flecha un ángulo diminuto, unos $\theta/n$ radianes, y la estira un poquito. Con más pasos el estiramiento desaparece y el camino cae sobre el círculo, justo θ radianes más allá. Por eso usamos radianes: los empujoncitos de lado se van sumando a lo largo del borde. Así que $e^{i\theta}$ es simplemente el punto del círculo con ángulo θ.

Así que $e^{i\omega t}$ no da ningún miedo. Es un punto que gira alrededor del círculo de radio 1, ω radianes cada segundo. Obsérvalo, y observa su sombra sobre el eje real:

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\begin{aligned}\frac{d}{dt}\,e^{i\omega t} &= i\omega\,e^{i\omega t} \\ \text{sombra sobre el eje real} &= \cos(\omega t)\end{aligned}

La sombra se desliza de un lado a otro como una onda coseno perfecta. Una flecha que gira, vista de perfil, es una oscilación. Ahí es donde se escondía la oscilación.

Lo que sabemos hasta ahora

Lo que descubrimos

Los números son flechas. Multiplicar las gira y las estira. i es un cuarto de vuelta, así que $i^2 = -1$ .
Un radián es el ángulo cuyo arco mide un radio: una vuelta completa son $2\pi$ . cos θ y sin θ son las sombras de una flecha girada.
$e^{i\theta}$ , construido con pasitos de lado $\left(1 + \frac{i\theta}{n}\right)^n$ , es el punto del círculo con ángulo θ.
$e^{i\omega t}$ es un punto que gira alrededor de un círculo. Su sombra es una onda coseno.
La velocidad de un girador siempre va un cuarto de vuelta por delante de su posición: velocidad $= i\omega \times$ posición. Es la propiedad exponencial con $a = i\omega$ .

Mika: "Entonces el número misterioso del resorte sí existe: es 2i. ¿Quiere decir eso que un resorte real oscila de lado?"

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