Capítulo 8

La sonda de Laplace

¿Puede una sola área medida decirnos dónde vive una señal?

Una sonda para señales

Theo: Cada vez que resolvíamos algo, suponíamos $e^{st}$ , lo sustituíamos y rezábamos. Ahora añade gravedad, una altura inicial, un controlador… mi cuaderno está ardiendo.

June: Cuando construyo cosas, el truco siempre es convertir un trabajo difícil en uno fácil. Difícil: cálculo con pendientes de pendientes. Fácil: álgebra de toda la vida con $+$ , $-$ , $\times$ , $\div$ .

Mika: ¿O sea que necesitamos una máquina que se coma una curva y escupa algo donde las pendientes se conviertan en multiplicaciones? ¿Eso existe?

Existe, y podemos construirla con cosas que ya tenemos. Esta es la idea. Toma cualquier señal, cualquier curva que cambia con el tiempo, $f(t)$ . Multiplícala por una sonda, la exponencial $e^{-st}$ del capítulo 4 (para $s$ positiva se encoge). Luego mide el área total bajo el producto (el área acumulada del capítulo 3), hasta llegar a $t = \infty$ .

F(s) = \int_0^\infty \out{f(t)}\; e^{-st}\,dt

Ya está. Entra un número $s$ y sale un área. Prueba distintos valores de $s$ y obtienes una curva nueva entera, $F(s)$ . Esa curva es la transformada de Laplace de $f$ : una huella dactilar de la señal. Dos señales distintas (razonables) nunca comparten la misma $F(s)$ , y por eso más adelante podremos buscar respuestas al revés.

¡Primero, predice! Toma la señal más sencilla, un escalón: $f(t) = 1$ para siempre. Al hacer $s$ más grande, ¿qué pasa con el área bajo $1 \cdot e^{-st}$ ?

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Barre $s$ en el widget y los puntos dibujan exactamente esa $1/s$ . Prueba también las otras señales. Una señal creciente $e^{0.5t}$ solo tiene un área finita cuando la sonda se encoge más rápido de lo que crece la señal, es decir, cuando $s > 0{,}5$ . Por debajo de eso, el área se va al infinito. La oscilación $\sin 2t$ falla de otra manera: en $s = 0$ su área va y viene entre 0 y 1 (el área negativa del capítulo 3 cancelando la positiva) y nunca se queda en un solo número.

El área total tiene que quedarse en un valor finito, para que cada $s$ reciba un solo número. Si la sonda se apaga demasiado despacio, el área sigue creciendo y esa $s$ no tiene respuesta.

La transformada delata dónde «vive» la señal

Miremos más de cerca $f(t) = e^{at}$ . Sóndala con $e^{-st}$ y el producto es $e^{(a-s)t}$ , una exponencial normal. Mientras $s > a$ se apaga, y su área es $\frac{1}{s-a}$ (lo deduciremos como es debido cuando construyamos nuestra tabla, en el próximo capítulo).

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Mika: ¡Cuando $s$ se acerca a $a$ el número se hace enorme! En $s = a$ la sonda cancela exactamente el crecimiento, el producto es plano para siempre y el área es infinita.

Theo: Así que la transformada explota justo en la $s$ donde vive la señal. Si solo me dieras $F(s)$ , podría encontrar la $a$ de la señal buscando dónde explota.

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Mika: Es como un detector de humo. Acerca $s$ hacia $a$ y suena cada vez más fuerte. Pisa $a$ y ya no se calla nunca.

Ahora haz $s$ compleja, $s = \sigma + i\omega$ , igual que nuestros números giratorios del capítulo 5. Toma como señal el girador del muelle del capítulo 6, $e^{2it}$ (la mitad de su pareja de gemelos). La sonda $e^{-st}$ lo encoge (esa es la parte izquierda-derecha, $\sigma$ ) y lo hace girar hacia atrás (esa es la parte arriba-abajo, $\omega$ ). Abajo, los trocitos de área del producto se suman uno tras otro como flechas, una flecha por cada cuarto de segundo. Mira el total acumulado.

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June: Cuando la sonda gira exactamente a 2, la señal deja de girar, todos los trocitos apuntan hacia el mismo lado y el total es lo más grande posible: $1/\sigma$ , que se dispara hacia el infinito cuando σ se encoge hasta 0. Cuando no coinciden, las flechas se enroscan y se cancelan.

La misma lección, con una dimensión más: la transformada explota en la $s$ compleja donde vive la señal. Por eso a partir de ahora dibujaremos cada $s$ en un mapa con $\sigma$ en horizontal y $\omega$ en vertical. Nuestro "mapa de $s$ " del capítulo 6 por fin recibe su nombre de mayor: el plano s.

Palabras nuevas

El plano s: El mapa de los números complejos $s = \sigma + i\omega$ . La izquierda significa encoger, la derecha crecer, y arriba y abajo, girar. Cada señal $e^{st}$ vive en un punto de él, y su transformada explota ahí.

Lo que sabemos ahora

Lo que descubrimos

La transformada de Laplace es una sonda: multiplica por $e^{-st}$ y mide el área total. $F(s) = \int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$ .
Explota justo donde vive la señal: $e^{at}$ da $1/(s-a)$ , que se dispara en $s = a$ . Con $s$ complejas, la sonda deshace el giro de las señales que giran. Todo esto lo dibujamos en el plano s.
Un área que dura para siempre puede seguir siendo finita, con tal de que la cola adelgace lo bastante rápido. Si la sonda se apaga más despacio de lo que crece la señal, esa $s$ no tiene transformada.

Theo: "Así que la sonda nos dice dónde vive una señal. Pero queríamos que las pendientes se convirtieran en multiplicaciones. ¿Qué le hace la sonda a una pendiente?"

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