Capítulo 4

Por qué las exponenciales son mágicas

¿Existe una curva cuya pendiente sea simplemente una copia de sí misma?

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Multiplicar, una y otra vez

Theo: La última vez, la diferencia entre el café y la temperatura ambiente se encogía a un ritmo proporcional a la propia diferencia. Diferencia grande, se encoge rápido. Diferencia pequeña, se encoge despacio. ¿Qué tipo de curva hace eso?

June: El capítulo 3 ya nos dio una pista. Cada pasito multiplicaba la diferencia por el mismo número. Así que empecemos por la máquina de multiplicar más sencilla que existe: duplicar.

Toma algo que se duplica cada segundo. Tras 1 s tienes 2. Tras 2 s, 2 × 2 = 4. Tras 3 s, 2 × 2 × 2 = 8. Lo escribimos $2^t$ : la t pequeñita de arriba cuenta cuántas veces multiplicamos por 2.

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Arrastra el número de segundos por debajo de cero, o hasta medio segundo. Cero segundos significa que todavía no se ha duplicado nada, así que $2^0 = 1$ . Un segundo hacia atrás deshace una duplicación: $2^{-1} = \tfrac12$ . Y medio segundo tiene que ser un número que, usado dos veces, dé una duplicación: $\sqrt2 \approx 1{,}41$ , porque 1,41 × 1,41 ≈ 2.

Mika: O sea que el exponente no tiene por qué ser un número entero. Solo dice "cuánto se ha multiplicado", y eso puede ser un poco, mucho o incluso algo negativo.

Aquí tienes esas duplicaciones como una escalera de barras. Divide cada peldaño en mitades, luego en cuartos, luego en rodajitas finísimas, y mueve la lupa:

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Mika: Ponga donde ponga la lupa, el peldaño sube la misma proporción de su propia altura. Las barras altas suben mucho, las bajas suben poco, pero siempre la misma proporción.

Theo: Esa es justo la propiedad del café: el cambio es proporcional a lo que hay. Y mira la última lectura. Cuando los peldaños se encogen, subida ÷ altura por segundo se acerca a un número, unos 0,69 para la duplicación. No lo olvides.

Crecer a pasitos

Mika: He visto $e^t$ en los libros. ¿No es $e$ un número cualquiera que les gusta a los matemáticos? 2,718 y pico, lo que sea.

June: No discutamos. Construyamos una regla de crecimiento y veamos qué número sale.

La regla es: crecer un 100 % de lo que tienes, por segundo. La forma perezosa de seguirla es dar un único paso gigante: tras 1 s tienes 1 + 1 = 2. Pero ese es el truco del paso gigante de June del capítulo 3. Durante todo el segundo usamos el ritmo de crecimiento del principio, aunque el montón no paraba de crecer.

Así que da pasos más pequeños. Dos pasos del 50 %: 1,5 × 1,5 = 2,25. Cuatro pasos del 25 %: 1,25 × 1,25 × 1,25 × 1,25 ≈ 2,44. Cada paso hace crecer un montón que ya ha crecido.

Mika: ¡Más pasos, más crecimiento! Con infinitos pasos tendríamos infinito. ¡Me voy a llenar los bolsillos!

¡Primero, predice! Sigue dividiendo el segundo: mil pasos, un millón, tantos como quieras. ¿Qué le pasa al total después de un segundo?

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Mika: ¡Se atasca! Cien pasos, mil, y nunca pasa de 2,718. Adiós a mi fortuna infinita.

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Ese techo es el número $e$ . Es hacia donde se acercan los pasos cuando se vuelven infinitamente pequeños:

e = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} \approx 2{,}71828

Theo: Ahora cambia el widget a encoger. Con $\left(1 - \frac1n\right)^n$ cae en $1/e \approx 0{,}368$ : queda un 36,8 %, así que se ha ido el 63,2 %. ¡Es el 63 % de la regla de la constante de tiempo del capítulo 3!

June: ¡Y eso es mi café! Corta una τ en n pasos a mano, $\Delta t = \tau/n$ : cada paso multiplica la diferencia por $1 - \frac1n$ , así que tras una τ la diferencia es $\left(1 - \frac1n\right)^n$ de lo que era. Un solo paso gigante ( $n = 1$ ) cae justo en la temperatura ambiente. Con pasitos diminutos queda el 36,8 %.

Una curva que se copia a sí misma

Ahora vamos de caza con una regla. Buscamos una curva cuya pendiente, en cada punto, sea un múltiplo fijo de su altura. La escalera dice que toda exponencial $b^t$ debería valer: $2^t$ , $3^t$ y compañía. Pon una tangente en cada curva y divide su pendiente entre su altura.

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Arrastra el cursor a lo largo de cualquier curva y el valor de pendiente ÷ altura no se mueve. Toda exponencial se copia a sí misma, escalada por un número fijo. Para la base 2 ese número es más o menos 0,693 (el número al que se acercaban los peldaños cada vez más pequeños de la escalera). Para la base 3, más o menos 1,099.

Y para una única base el número de escala es 1, así que la curva de la pendiente queda justo encima de la propia curva. ¿Qué base es?

\frac{d}{dt}\,e^{t} = e^{t}

Mika: ¡Es 2,718 otra vez! El mismo número que nos dieron los pasitos. Dos cacerías completamente distintas, un solo número. Vale, retiro lo dicho: $e$ no tiene nada de aleatorio.

Theo: Claro que es el mismo. "Crecer un 100 % de lo que tienes, por segundo, de forma continua" significa pendiente = altura. Es un solo deseo con dos disfraces.

Acelerándola: e^(at)

No todos los sistemas reales cambian al mismo ritmo, así que pongamos un mando en el exponente: $e^{at}$ . El número a estira o encoge el tiempo.

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Ahora pendiente ÷ altura es exactamente a, en toda la curva. Imagina por qué: $e^{at}$ es la película de $e^{t}$ puesta a una velocidad multiplicada por a, así que cada pendiente también se multiplica por a. Con a positivo, crece (y cada vez más rápido). Con a negativo, se encoge hacia cero, como la diferencia del café. Con a = 0, se queda quieta.

\frac{d}{dt}\,e^{at} = a\,e^{at}

El mando y la base son dos formas de ver lo mismo: $e^{at} = \left(e^{a}\right)^{t}$ . Cada segundo, la curva se multiplica a sí misma por $e^{a}$ .

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¡Primero, predice! Calcula la pendiente de $e^{2t}$ y luego la pendiente de esa pendiente. ¿Qué obtienes?

\frac{d}{dt}e^{at} = a\,e^{at},\qquad \frac{d^2}{dt^2}e^{at} = a^2\,e^{at}

Theo: Espera, esto es enorme. Para las exponenciales, calcular una pendiente (cálculo) se convierte en multiplicar por a (álgebra y ya está).

Prueba con una exponencial

Para una regla en la que la pendiente es simplemente números fijos por la propia cosa (nada al cuadrado, ningún número que cambie con el tiempo), como la del café, podemos probar una exponencial: la sustituimos y buscamos el valor de a que cumple la regla. Otros tipos de reglas pueden necesitar otras formas.

La regla del café era $\frac{dT}{dt} = -\frac{T - 20}{\tau}$ con τ = 10 min. Nuestra suposición es $T = 20 + 70\,e^{at}$ (70 es la diferencia inicial). Ajusta a hasta que la pendiente de la suposición coincida con lo que exige la regla.

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El álgebra le da la razón al control deslizante. La pendiente de la suposición es $a \cdot 70e^{at}$ (el 20 nunca cambia, así que su pendiente es 0, y el 70 simplemente viene de acompañante). La regla quiere $-70e^{at}/\tau$ . El $70e^{at}$ aparece a los dos lados y se cancela:

a \cdot 70e^{at} = -\frac{70e^{at}}{\tau} \quad\Longrightarrow\quad a = -\frac{1}{\tau}

Theo: Y cae exactamente sobre los puntos que construimos a mano en el capítulo 3. Lo de probar con una exponencial funciona. La ecuación que determina a se llama ecuación característica.

El resorte nos rompe el truco

June: Probémoslo con algo que rebote. Una masa colgada de un resorte es básicamente nuestro dron con control P: cuanto más lejos está del objetivo, más fuerte tira de él hacia atrás.

El resorte tira hacia atrás con una fuerza $-kx$ . Fuerza = masa × aceleración, y la aceleración es la pendiente de la pendiente (capítulo 3). Así que la regla es:

m\,\frac{d^2x}{dt^2} = -k\,x

Supón $x = e^{at}$ . La pendiente de la pendiente es $a^2 e^{at}$ , así que $m a^2 e^{at} = -k e^{at}$ . Cancela $e^{at}$ :

a^2 = -\frac{k}{m}

Con k/m = 4, necesitamos un número cuyo cuadrado sea −4. A buscarlo:

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Theo: Los cuadrados nunca son negativos. La parábola azul nunca baja hasta la línea verde. Así que no hay tal a. Nuestro truco falla: los resortes no se pueden describir con exponenciales, y punto.

Mika: Pero el resorte está ahí, rebotando tan feliz. Tiene un movimiento. ¿Y si lo que falla no es el resorte, sino nuestra idea de lo que cuenta como número?

Theo: …Mmm. Reconozco que he dicho "no hay ningún número" un poco rápido. Todos los números que conozco dan algo positivo al elevarlos al cuadrado.

Lo que sabemos hasta ahora

Lo que descubrimos

$b^t$ significa "multiplicar por b, t veces", y t puede ser cualquier cosa: $2^0 = 1$ , $2^{-1} = \tfrac12$ , $2^{0.5} = \sqrt2$ .
Crecer un 100 % por segundo a pasos cada vez más pequeños se estanca en $e \approx 2{,}718$ . Encoger del mismo modo deja $1/e \approx 0{,}368$ : la regla del 63 % del capítulo 3.
La pendiente de toda exponencial es una copia de sí misma: pendiente ÷ altura es constante.
$e \approx 2{,}718$ es la base en la que esa razón vale exactamente 1. Con $e^{at}$ , la razón es a.
Calcular la pendiente de $e^{at}$ solo multiplica por a. El cálculo se convierte en álgebra.
Prueba con una exponencial, sustitúyela en la regla y despeja a. Para el café, a = −1/τ.
Para un resorte, la suposición exige $a^2 = -k/m$ , y ningún número normal hace eso. Todavía.

El dron y el resorte oscilan. Las exponenciales solo crecen o se encogen. A menos que… ¿un número pudiera dar negativo al elevarlo al cuadrado?

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