Capítulo 3

El lenguaje del cambio

¿Cómo describimos lo rápido que cambia algo?

La pendiente es la velocidad

Theo: No paramos de decir "lento", "oscilante", "se estabiliza". June tiene razón: eso son sensaciones, no matemáticas. Quiero una forma precisa de decir lo rápido que cambia el dron.

June: Volvamos a poner nuestro dron del capítulo 2 (Kp = 20 N/m) y mirémoslo de cerca.

La curva azul es la altura del dron a lo largo del tiempo. La velocidad es cuánto cambia la altura por segundo. En la gráfica, es lo empinada que está la curva en un momento dado. Apoya una regla sobre la curva de modo que la toque justo en un punto. Esa regla es la recta tangente, y su pendiente es la velocidad.

Mika: Fácil: el dron va más rápido justo en lo alto del bulto, ¡porque ahí es donde está más alto!

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Theo: Pon el cursor en lo alto del bulto. La tangente está plana. ¡Ahí la velocidad es cero!

Mika: Vaya. El dron sube, se queda sin velocidad hacia arriba, se para un instante arriba del todo y vuelve a caer. Alto y rápido son cosas totalmente distintas.

El momento más rápido está en realidad a mitad de la subida, donde la curva es más empinada. Y cuando la curva va hacia abajo, la pendiente es negativa: el dron está cayendo.

Esta "pendiente en un instante" tiene nombre: la derivada. La escribimos como un cambio diminuto de altura dividido por el tiempo diminuto que tardó. En símbolos, $\Delta h / \Delta t$ se lee "cambio de altura entre cambio de tiempo": la letra griega Δ (delta) es la abreviatura de cambio de.

\begin{gathered}\text{velocidad} = \frac{d\out{h}}{dt} \\[1em] \approx \frac{\text{cambio de altura}}{\text{cambio de tiempo}} \\[1em] (\text{en un tiempo muy corto})\end{gathered}

Una regla para la velocidad

June: Mi café se enfría rápido al principio y luego muy despacio. Nunca llega del todo a la temperatura ambiente.

Theo: Porque la velocidad de enfriamiento depende de cuánto le queda por recorrer. Una taza muy caliente pierde calor rápido. Una taza apenas tibia casi no pierde nada.

Escribámoslo como una regla para la pendiente. La temperatura del café es T y la de la habitación, 20 °C:

\frac{d\out{T}}{dt} = -\frac{\out{T} - \sp{T_{\text{ambiente}}}}{\tau}

El signo menos dice "enfríate cuando estés más caliente que la habitación". El número τ (tau, la constante de tiempo) dice lo lenta que es la taza. Imagínalo así: τ es lo que tardaría el café en llegar a la temperatura ambiente si siguiera enfriándose a su velocidad inicial. Para una taza normal, τ ≈ 10 minutos.

Aquí está el rompecabezas: la regla solo nos dice la pendiente ahora mismo. ¿Podemos sacar de ella la curva entera? Construyámosla a mano: mira la pendiente, camina por ella un ratito (Δt), mira la nueva pendiente, vuelve a caminar…

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June: Doce pasitos es un aburrimiento. Voy a dar pasos de 15 minutos y acabo en un momento.

June: …Un momento. ¿El café está a −15 °C? ¿Se ha congelado en una habitación templada?

Theo: La regla está bien. El problema son los pasos. En un paso gigante sigues usando la pendiente empinada del principio del paso mucho después de que haya dejado de ser cierta. Te pasas de largo la temperatura ambiente.

Podemos ver exactamente cuánto. Cada paso multiplica la diferencia con la temperatura ambiente por el mismo número:

\text{diferencia}_{\text{siguiente}} = \left(1 - \frac{\Delta t}{\tau}\right) \cdot \text{diferencia}

Δt menor que τ: el factor está entre 0 y 1. La diferencia se encoge, sin sobreimpulso.
Δt exactamente igual a τ: el factor es 0. Un solo paso cae justo en la temperatura ambiente: es la velocidad inicial mantenida durante una τ entera.
Δt entre τ y 2τ: el factor es negativo. El café se pasa por debajo de la temperatura ambiente, luego por encima, oscilando de un lado a otro mientras las oscilaciones se encogen.
Δt mayor que 2τ: el factor es menor que −1. Las oscilaciones crecen en cada paso. Café absurdo.

Mika: ¡Eso es la ducha! Actuar con demasiada audacia según información vieja te hace oscilar.

Haz Δt pequeño y activa la curva suave. Los puntos hechos a mano caen justo encima. Esa forma suave se llama decaimiento exponencial. Tiene su propio capítulo, el siguiente.

El café de verdad nunca mantiene su velocidad inicial: la pendiente se encoge a medida que se encoge la diferencia. Así que tras una τ solo ha cerrado alrededor del 63 % de la diferencia, no toda. En la regla de abajo, la línea discontinua es la velocidad inicial mantenida; la curva es lo que pasa de verdad. ¿De dónde sale ese 63 %? El capítulo 4 lo construye.

La constante de tiempo es una regla de medir

¡Primero, predice! Tras una constante de tiempo, el café ha cerrado el 63 % de la diferencia con la temperatura ambiente. Tras dos constantes de tiempo, ¿cuánta diferencia se ha cerrado?

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Tras 1τ: 63 %. Tras 2τ: 86 %. Tras 3τ: 95 %. Nunca llega exactamente, pero tras unas 4–5 τ nadie nota la diferencia. Cambia al depósito: se llena por una tubería desde una gran reserva de agua con el nivel a 1,2 m, y lo que empuja el caudal es la diferencia de nivel, así que va más despacio a medida que el depósito lo alcanza. La regla es la misma ("la velocidad es proporcional a lo lejos que esté de lleno") y la forma también.

June: Así que τ es una regla de medir incorporada. Dime τ y sé lo lenta que es una cosa, ya sea una taza, un depósito o un dron.

Palabras nuevas

Derivada: La pendiente de una curva en un instante: lo rápido que cambia algo. Se escribe $\frac{dh}{dt}$ o $\dot h$ .
Sistema de primer orden: Algo cuya velocidad de cambio es proporcional a lo lejos que esté de adonde se dirige (café, depósitos). Su curva es una exponencial.
Constante de tiempo τ: Lo que tardaría un sistema de primer orden en llegar si mantuviera su velocidad inicial. En realidad, en ese tiempo recorre el 63 % de la distancia restante.

Marcha atrás: sumar áreas

Theo: La pendiente convierte altura en velocidad. ¿Podemos ir marcha atrás? Supón que el sensor del dron solo nos dice su velocidad. ¿Dónde está?

Si vuelas a 2 m/s constantes durante 3 s, subes 6 m: velocidad × tiempo. En una gráfica de velocidad frente a tiempo, eso es el área de un rectángulo. Cuando la velocidad no para de cambiar, corta el tiempo en tiras finas, trata cada tira como un rectángulo y súmalas todas.

Mueve el cursor y mira cómo crece el área sombreada. La curva azul de abajo es simplemente el área hasta ahora. Donde la velocidad baja de cero (el dron cae), el área cuenta como negativa y la altura baja.

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Mika: El área acumulada cae exactamente sobre la altura real. La pendiente te lleva en un sentido y el área te trae de vuelta.

Esta operación de "acumular el área" se llama integral. Su signo ∫ es una S estirada, de suma: una suma de tiras finas. El pequeño $dt$ es el ancho de cada tira, y el $0$ y la $t$ dicen dónde empezar y dónde dejar de sumar:

\out{h}(t) = \out{h}(0) + \int_0^{t} \text{velocidad}\;dt

La pendiente de la pendiente

Mika: El capítulo 1 nos prometió algo. La ecuación del dron tenía dos puntos sobre $h$ . Un punto es la velocidad. ¿Y el segundo?

La velocidad también es una curva, así que también tiene pendiente: lo rápido que cambia la velocidad. Eso es la aceleración, la pendiente de la pendiente. Abajo, el mismo vuelo tres veces: la altura, su pendiente (la velocidad) y la pendiente de esa (la aceleración), todo con un mismo cursor de tiempo.

¡Primero, predice! Justo en lo alto del bulto la velocidad es cero. ¿Cuánto vale ahí la aceleración?

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Mika: ¡Yo dije cero! Pero arriba del todo la curva de velocidad está en su bajada más empinada. Velocidad cero no significa empuje cero.

Dos puntos significan la pendiente de la pendiente. Hay una tercera forma de escribir pendientes, con unas marquitas llamadas primas: $h'$ ("h prima") para la pendiente y $h''$ para la pendiente de la pendiente. Tres formas de escribirlo, una sola idea:

Palabras nuevas

$\dot h = h' = \frac{dh}{dt}$: La pendiente de $h$ : su velocidad.
$\ddot h = h'' = \frac{d^2 h}{dt^2}$: La pendiente de la pendiente: la aceleración.
$\Delta$: "Cambio de": $\Delta t$ es un paso de tiempo.
$\int$: Una S estirada, de "suma": ir sumando área.

Ahora la ecuación del capítulo 1 se lee como una frase. La masa por la aceleración es igual a todo lo que empuja: el empuje hacia arriba, el peso hacia abajo y el rozamiento en contra de la velocidad. Es la segunda ley de Newton, término a término:

\underbrace{0.5\,\ddot{\out{h}}}_{\text{masa}\times\text{aceleración}} = \underbrace{\eff{T}}_{\text{empuje}} - \underbrace{4.9}_{\text{peso}} - \underbrace{1.0\,\dot{\out{h}}}_{\text{rozamiento}\,\times\,\text{velocidad}}

Theo: O sea, que la regla del café hablaba de su velocidad, y la del dron habla de su aceleración: una pendiente más adentro. ¿Será por eso que el dron puede pasarse de largo y oscilar, y el café nunca?

June: Tiene que ser eso. La velocidad del café simplemente sigue a la diferencia. La del dron hay que ganarla y gastarla, así que puede seguir moviéndose cuando llega.

Lo que sabemos hasta ahora

Lo que descubrimos

La derivada es la pendiente de una curva en un instante: lo rápido que cambia. Alto y rápido son cosas distintas.
Una regla como "enfríate más rápido cuanto más caliente estés" determina la curva entera: una aproximación exponencial.
La constante de tiempo τ es una regla de medir: el 63 % del camino tras τ, el 86 % tras 2τ, el 95 % tras 3τ.
Construir curvas con pasos demasiado grandes crea sobreimpulsos y oscilaciones falsos, igual que la ducha.
La pendiente de la pendiente es la aceleración: $\ddot h$ , o $h''$ . La ecuación del dron del capítulo 1 es una regla para ella.
La integral acumula área y deshace la derivada.

Theo: "La curva del café tenía una propiedad curiosa: su pendiente siempre era proporcional a lo que aún faltaba. ¿Existe una curva cuya pendiente sea proporcional a sí misma?"

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