Capítulo 7

La verdadera personalidad del dron

¿Por qué el dron rebota como un resorte?

Capítulo 7: La verdadera personalidad del dron ↗

El controlador es un resorte

Mika: June preguntó dónde vive nuestro dron en el mapa. Pista: ¿te acuerdas del dron saltarín del capítulo 2? Cuanto más subíamos $\eff{K_p}$ , más botaba. Parecía exactamente un peso colgado de un resorte.

Theo: "Parecía" no es una prueba. Pongámoslos uno al lado del otro y escribamos las dos ecuaciones.

A la izquierda: una masa de 0,5 kg colgada de un resorte con un amortiguador (un pistoncito lleno de aceite que se resiste al movimiento). A la derecha: nuestro dron, misma masa, mismo rozamiento, con control proporcional.

Primero, escribamos todas las fuerzas sobre la masa, una por una. Medimos su posición $x$ desde el punto de reposo, con el sentido hacia arriba como positivo.

El resorte tira de vuelta hacia el reposo, más fuerte cuanto más estirado está: $-\eff{k}\,x$ . Estíralo el doble y tira el doble de fuerte.
El amortiguador empuja contra el movimiento, no contra la posición: $-c\,\dot{x}$ . Quieto, no hace nada. Moviéndose rápido, empuja fuerte en contra. ( $\dot{x}$ es la velocidad del capítulo 3.)
La gravedad solo baja un poco el punto de reposo. Medir desde el reposo ya la tiene en cuenta.

Fuerza = masa × aceleración, y la aceleración es la pendiente de la pendiente (capítulo 3). Suma las fuerzas y pasa todo a un lado:

m\,\ddot{x} = -\eff{k}\,x - c\,\dot{x} \quad\Longrightarrow\quad m\,\ddot{x} + c\,\dot{x} + \eff{k}\,x = 0

Mika: ¿O sea que el amortiguador es aire que odia la velocidad?

Theo: Más o menos. Y en nuestro dron, el amortiguador es el aire.

En el widget, la flecha naranja sobre la masa es el tirón del resorte y la gris es el empuje del amortiguador. Fíjate en cómo la flecha del amortiguador desaparece cada vez que la masa se para un instante arriba o abajo de una oscilación.

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June: Las curvas están una encima de la otra. No parecidas. Idénticas.

Mira las dos ecuaciones. El resorte empuja de vuelta con una fuerza $\eff{k}\,x$ : cuanto más estirado, más fuerte tira. Nuestro controlador empuja con $\eff{K_p}(\sp{2} - \out{h})$ : cuanto más lejos del objetivo, más fuerte empuja. La misma regla. El controlador es un resorte: uno invisible, que tira del dron hacia los 2 m.

Theo: Así que un controlador P es un resorte virtual, y el rozamiento del aire $c$ es un amortiguador virtual. Todo lo que aprendamos sobre resortes nos sale gratis.

Dos mandos de personalidad

Todo sistema masa-resorte-amortiguador, y por tanto todo dron con control P, se describe con solo dos números. Ganémonoslos uno por uno.

Lo rápido: la frecuencia natural

Quita el amortiguador y volvemos al capítulo 6: el resorte oscila como $\cos(\omega t)$ con $\omega = \sqrt{k/m}$ . A esa velocidad la llamamos frecuencia natural $\omega_n$ : lo rápido que el sistema quiere oscilar cuando nada lo frena.

\omega_n = \sqrt{\frac{\eff{k}}{m}} \qquad\qquad \text{una oscilación completa cada } \frac{2\pi}{\omega_n} \text{ s}

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Mika: Resorte más rígido, oscilación más rápida. ¡Pues subo $\eff{k}$ al máximo y todo mejora!

Un resorte más rígido tira más fuerte, así que oscila más rápido. Una masa más pesada cuesta más de mover, así que oscila más despacio. (Los radianes por segundo son la velocidad de giro del capítulo 5: una vuelta completa son 2π radianes, un borde de 2π radios.)

Theo: Cuidado. En el capítulo 2, subir $\eff{K_p}$ hizo el dron más rápido y más rebotón. Primero escuchemos qué dice el amortiguador.

Lo saltarín: el coeficiente de amortiguamiento

Ahora vuelve a poner el amortiguador. ¿Cuánto amortiguamiento es "mucho"? Depende del resorte: un amortiguador que doma un resorte blando apenas frena uno rígido. Así que comparamos con una cantidad especial, el amortiguamiento crítico $c_{\text{crit}}$ : el menor amortiguamiento que elimina por completo el sobreimpulso.

c_{\text{crit}} = 2\sqrt{m\,\eff{k}} \qquad\qquad \zeta = \frac{c}{c_{\text{crit}}} = \frac{c}{2\sqrt{m\,\eff{k}}}

El coeficiente de amortiguamiento ζ (la letra griega zeta) es nuestro amortiguamiento como fracción de esa cantidad. Es un número puro, sin unidades. ζ = 0 oscila para siempre, ζ = 1 es exactamente crítico, y ζ = 0,5 tiene la mitad del amortiguamiento que haría falta para eliminar el sobreimpulso.

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June: Espera. ¿0,16? ¡Es justo el ζ del dron en el primer widget!

Theo: Misma masa, mismo rozamiento, misma rigidez: mismo ζ. El resorte y el dron son gemelos de verdad.

Los dos puntos del mapa

Ahora volvamos al mapa de $s$ . Probar con $x = e^{st}$ , como en los capítulos 4 y 6, convierte la ecuación en $m s^2 + c s + k = 0$ . Divide entre $m$ y escribe los dos coeficientes con nuestros mandos:

s^2 + \underbrace{\frac{c}{m}}_{2\zeta\omega_n}\, s + \underbrace{\frac{\eff{k}}{m}}_{\omega_n^2} = 0

Theo: Un momento. ¿De dónde sale ese $2\zeta\omega_n$ ? Parece inventado.

June: Multiplícalo: $2\zeta\omega_n = 2 \cdot \frac{c}{2\sqrt{mk}} \cdot \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{c}{m}$ . Es el mismo número con otro nombre, para que nuestros dos mandos aparezcan en la ecuación.

Resuélvela con la fórmula de la ecuación de segundo grado y salen los dos valores de $s$ :

\begin{aligned} & s^2 + 2\zeta\omega_n\, s + \omega_n^2 = 0 \\ \Longrightarrow\quad & s = -\zeta\omega_n \pm \omega_n\sqrt{\zeta^2 - 1} \end{aligned}

De dónde sale el ±

Cualquier ecuación $s^2 + b\,s + q = 0$ se puede resolver completando el cuadrado: $(s + b/2)^2 = b^2/4 - q$ . Una raíz cuadrada tiene dos respuestas, una con + y otra con −, así que siempre hay dos valores de $s$ :

s = -\frac{b}{2} \pm \sqrt{\frac{b^2}{4} - q}

Con $b = 2\zeta\omega_n$ y $q = \omega_n^2$ , lo que queda bajo la raíz es $\omega_n^2(\zeta^2 - 1)$ . Cuando ζ < 1 es negativo, y necesitamos la $i$ del capítulo 5: las dos respuestas se convierten en una pareja reflejada, $-\zeta\omega_n \pm i\,\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$ . En ζ = 1 la raíz vale exactamente cero y las dos respuestas se juntan. De ahí sale $c_{\text{crit}} = 2\sqrt{mk}$ : es el amortiguamiento que hace desaparecer la raíz.

El signo ± da dos respuestas, una por cada punto. La posición horizontal de un punto es σ (sigma): lo rápido que se encoge esa parte del movimiento. Su altura es ω: lo rápido que gira. Cuando el amortiguamiento es menor que 1, los puntos comparten posición horizontal, pero tienen alturas opuestas. En 1 se juntan; por encima de 1 ambos quedan en el eje horizontal.

Palabras nuevas

Respuesta al escalón: Cómo responde un sistema a un salto repentino de su objetivo, aquí de 0 a 1 m. Es la forma habitual de mostrar una personalidad.
Tiempo de establecimiento (2 %): Cuánto tarda la respuesta en quedarse para siempre dentro del 2 % del objetivo.

Juega con los dos mandos. Fíjate en los puntos azules del mapa: son los dos valores de $s$ , y, sumado a la altura en la que acaba quedándose, el movimiento es una mezcla de $e^{s_1 t}$ y $e^{s_2 t}$ . (Con ζ = 1 exacto, los dos puntos son uno solo, y el segundo ingrediente pasa a ser $t\,e^{s_1 t}$ .)

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Palabras nuevas

Subamortiguado ( $\zeta < 1$ ): Los dos valores de $s$ son una pareja reflejada fuera del eje real, sobre un círculo de radio $\omega_n$ . La respuesta tiene sobreimpulso y oscila mientras se estabiliza.
Amortiguamiento crítico ( $\zeta = 1$ ): La pareja se encuentra sobre el eje real como un único punto doble, así que el movimiento es $(A + B\,t)\,e^{-\omega_n t}$ . La respuesta más rápida sin sobreimpulso.
Sobreamortiguado ( $\zeta > 1$ ): La pareja se separa a lo largo del eje real: uno se va a la izquierda y el otro se arrastra hacia el cero. Sin sobreimpulso, pero lento.

Un detalle más se esconde en los puntos subamortiguados: su altura es $\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$ , algo menor que $\omega_n$ . El amortiguamiento no solo encoge la oscilación, también la frena un poco. Es la frecuencia amortiguada $\omega_d$ , y el widget la muestra.

\omega_d = \omega_n\sqrt{1 - \zeta^2}

Mika: ¡O sea que las espirales del capítulo 6 eran la personalidad del dron desde el principio! Girar = oscilar, encogerse = estabilizarse.

¿Más amortiguamiento siempre es mejor?

June: Fácil. Las oscilaciones son malas y el amortiguamiento las mata. Así que pongo $\zeta = 5$ por si acaso. El dron más seguro de la historia.

¡Primero, predice! Mismo resorte, misma $\omega_n$ . Subimos el amortiguamiento de $\zeta = 1$ a $\zeta = 3$ . ¿Llega al objetivo más rápido o más despacio?

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June: Mi dron "seguro" tarda una eternidad. Es como moverse en miel.

Mika: ¡Fíjate en el mapa! Un punto se ha ido corriendo a la izquierda, rapidísimo. Pero el otro está muy cerquita del cero.

Theo: Y $e^{st}$ con $s$ cerca de cero se apaga muy despacio. El rápido desaparece en un pestañeo. El lento es el que manda.

Cada ingrediente $e^{st}$ del movimiento se llama modo. El movimiento es una mezcla de modos, y cuando los rápidos se han apagado, solo queda el más lento. Así que en esta respuesta al escalón, el modo más lento que realmente aparece determina la espera larga.

Poco amortiguamiento hace oscilar; demasiado hace avanzar a rastras. Entre medias hay un punto justo. Elige ζ = 0,7 en la carrera: tiene un sobreimpulso de menos del 5 %, pero llega a menos del 5 % del objetivo mucho antes que ζ = 1. Muchos diseños buscan un ζ entre 0,7 y 1, más o menos, y cambian un pequeño sobreimpulso por rapidez. Otras tareas pueden preferir otro equilibrio.

De vuelta al dron

Ahora el capítulo 2 por fin tiene sentido. Para nuestro dron, la constante del resorte es la ganancia:

\omega_n = \sqrt{\frac{\eff{K_p}}{m}}, \qquad \zeta = \frac{c}{2\sqrt{m\,\eff{K_p}}}

$\eff{K_p}$ está abajo en la fórmula del amortiguamiento. Subir la ganancia hace el dron más rápido ( $\omega_n$ más grande), pero menos amortiguado. Con $\eff{K_p} = 20$ N/m: $\zeta = 1/(2\sqrt{0.5 \times 20}) \approx 0{,}16$ . Muy saltarín, tal como vimos. En el mapa, sus dos valores de $s$ están muy arriba y solo un poco a la izquierda del eje vertical. Ahí vive nuestro dron.

Theo: Y no podemos conseguir más amortiguamiento sin bajar muchísimo $\eff{K_p}$ , lo que nos devuelve la caída. Necesitamos una forma de añadir amortiguamiento a propósito.

Arrastra la ganancia y mira el compromiso en una sola frase:

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Las flechas tienen longitud y ángulo

Mika: Espera. Los puntos están sobre un círculo de radio $\omega_n$ , y ζ solo los desliza por él. O sea que un punto son en realidad dos cosas: a qué distancia está de 0 y hacia dónde.

Toda flecha $z = a + b\,i$ se puede describir al revés: por su longitud $|z|$ y su ángulo. Pitágoras nos da la longitud. Para una flecha que apunta a la derecha ( $a > 0$ ), el ángulo es aquel cuya tangente (lo que sube dividido entre lo que avanza) es $b/a$ . Se llama arcotangente, $\arctan$ : el botón de deshacer de la tangente.

|z| = \sqrt{a^2 + b^2}, \qquad \angle z = \arctan\frac{b}{a} \quad (a > 0)

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En el capítulo 5 vimos que multiplicar flechas multiplica sus longitudes y suma sus ángulos. Dividir tiene que deshacer eso, así que divide las longitudes y resta los ángulos.

Theo: Entonces $1/(1+i)$ : longitud $1/\sqrt 2$ , y el ángulo es 45° más 45°, o sea, ¿90°? Mmm. Si lo vuelvo a multiplicar por $1+i$ , apunta a 135°, nada que ver con 1.

June: Pues restando. $1/\sqrt 2$ de longitud a −45°. Por $\sqrt 2$ a +45°, y queda longitud 1 a 0°: exactamente 1. Cuadra.

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La flecha discontinua y tenue es el gemelo reflejado $\bar z = a - b\,i$ del capítulo 6 (los matemáticos lo llaman conjugado): misma longitud, ángulo opuesto. Multiplica una flecha por su gemelo y los ángulos se cancelan: queda un simple número positivo, la longitud al cuadrado. La tabla del capítulo 9 necesitará justo esto:

z\,\bar z = |z|^2 = a^2 + b^2, \qquad (s - i\omega)(s + i\omega) = s^2 + \omega^2

¿Y el círculo? Un polo en $-\zeta\omega_n + i\,\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$ tiene longitud $\omega_n$ . Mide su ángulo θ desde el eje real negativo y la parte hacia la izquierda es $\omega_n\cos\theta$ . Así que $\zeta = \cos\theta$ : el amortiguamiento es el ángulo.

June: Prueba el segundo modo del widget: 1 + iωτ. Es la regla del café del capítulo 3 encontrándose con una oscilación. Dividir entre ella encoge y gira hacia atrás, cada vez más cuanto más rápida es la oscilación, pero nunca más de un cuarto de vuelta. Apuesto a que a la ducha le importa.

Palabras nuevas

Longitud $|z|$: Lo larga que es una flecha: $\sqrt{a^2+b^2}$ para $z = a + b\,i$ . Multiplicar flechas multiplica sus longitudes.
Ángulo $\angle z$: Hacia dónde apunta una flecha, medido desde el eje real positivo. $\arctan(b/a)$ para una flecha que apunta a la derecha. Multiplicar suma ángulos; dividir los resta.
Gemelo reflejado $\bar z$: La flecha reflejada respecto al eje real, $a - b\,i$ (el conjugado). $z\,\bar z = |z|^2$ .

Lo que sabemos ahora

Lo que descubrimos

Un dron con control P obedece exactamente la misma ecuación que una masa colgada de un resorte: el controlador es un resorte virtual.
Dos números resumen su personalidad: $\omega_n$ (lo rápido) y $\zeta$ (lo saltarín).
$\omega_n = \sqrt{k/m}$ es la velocidad de oscilación sin amortiguador. $\zeta = c/c_{\text{crit}}$ compara el amortiguamiento con el amortiguamiento crítico $2\sqrt{mk}$ , el justo para eliminar el sobreimpulso.
El movimiento es una mezcla de dos términos $e^{st}$ . Los dos valores de $s$ están sobre un círculo de radio $\omega_n$ cuando está subamortiguado, y se separan a lo largo del eje real cuando está sobreamortiguado.
Una flecha tiene longitud y ángulo ( $\arctan$ ). Multiplicar multiplica longitudes y suma ángulos; dividir divide y resta. $\zeta = \cos\theta$ .
El amortiguamiento también frena un poco la oscilación: $\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$ .
Más amortiguamiento no siempre es mejor: pasado $\zeta = 1$ , el valor lento de $s$ se arrastra hacia el cero y todo se ralentiza.
Para el dron, más $K_p$ significa menos amortiguamiento. Por eso se tambaleaba más.

Theo: "Hemos llegado a estos valores de $s$ a base de suposiciones. Añade gravedad, viento, paquetes y un controlador más listo, y suponer se pone feo. ¿Existe una máquina que convierta este cálculo en álgebra pura y simple?"

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