Capítulo 6

El mapa de s

¿Cómo produce una oscilación real un número que gira, y qué pinta tiene cada s?

De vuelta al resorte (y un error nuevo)

June: La última vez construimos un número que gira. Vamos a dárselo al resorte, a ver si se porta bien.

El resorte necesitaba $a^2 = -k/m = -4$ . Prueba $a = 2i$ : $(2i)^2 = 4\,i^2 = -4$ . ✓ Y $a = -2i$ también funciona.

Theo: Vale, me equivoqué. El truco de probar con una exponencial sobrevive. El resorte es $e^{2it}$ , un girador que da dos vueltas cada… 2π segundos.

Mika: ¿Entonces la posición del resorte es $e^{2it}$ ? ¿Ahora mismo está en… $0{,}4 + 0{,}9i$ metros?

June: Un resorte no puede estar a 0,9 metros de lado. Solo se mueve arriba y abajo.

Mika se olvidó de la otra respuesta. Encontramos dos soluciones, $e^{2it}$ y $e^{-2it}$ : un girador y su gemelo reflejado, que gira en sentido contrario. Súmalos:

Capítulo 6: El mapa de s ↗

Mika: ¡Las partes de lado se cancelan a la perfección! La suma solo se desliza por la recta real, de un lado a otro.

x(t) = \tfrac12\left(e^{i\omega t} + e^{-i\omega t}\right) = \cos(\omega t),\qquad \omega = \sqrt{k/m}

¿Por qué siempre está el gemelo? La regla del muelle solo tiene números reales ( $m$ y $k$ , ninguna $i$ ). Voltea una solución de arriba abajo, convirtiendo cada $i$ en $-i$ , y la regla no nota la diferencia: la imagen reflejada también es una solución. Así que, para cualquier cosa real, los giradores vienen en parejas reflejadas, y al juntarlos sus partes de lado se cancelan y queda una oscilación real que podemos medir.

El mapa de s

El capítulo 4 nos dio exponenciales que crecen o se encogen. Ahora tenemos giradores que oscilan. Juntémoslos: $e^{st}$ con $s = \sigma + i\omega$ .

e^{st} = e^{(\sigma + i\omega)t} = \underbrace{e^{\sigma t}}_{\text{crecer/encoger}}\cdot\underbrace{e^{i\omega t}}_{\text{girar}}

Así que cada número s es una receta: σ (la parte a lo largo) dice lo rápido que crece o se encoge, y ω (la parte de lado) dice lo rápido que gira. Juntos dibujan una espiral, y la sombra de la espiral es la señal que veríamos.

¡Primero, predice! Pon s en $-0{,}5 + 3i$ . ¿Qué pinta tiene la sombra de $e^{st}$ ?

Capítulo 6: El mapa de s ↗

Date una vuelta por el mapa arrastrando s (o con las flechas del teclado):

Mitad izquierda (σ < 0): la espiral se encoge y la oscilación se apaga.
Mitad derecha (σ > 0): la espiral crece y la oscilación se dispara.
Sobre la línea vertical (σ = 0): un círculo perfecto, una oscilación que dura para siempre.
Sobre la línea horizontal (ω = 0): nada de giro, solo las exponenciales normales del capítulo 4.
Más lejos de la línea horizontal (arriba o abajo): giro más rápido, oscilaciones más rápidas. Más a la izquierda: se apaga más rápido.

June: O sea que un solo punto en este mapa es toda una personalidad: lo rápido que oscila y si se calma o se dispara.

Un pequeño desvío: muchas formas nacen de giros

Una última sorpresa. Toma giradores de distintas velocidades (1, 3, 5, 7… veces más rápidos), encoge cada uno en su justa medida, hazlo empezar justo en el ángulo adecuado y suma sus sombras. Con suficientes puedes construir un montón de formas distintas, incluso una onda cuadrada con esquinas afiladas.

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Fourier mostró cómo construir muchas señales periódicas con piezas que giran. La onda cuadrada es un ejemplo: más piezas perfilan mejor sus partes planas y sus bordes bruscos. Es una forma potente de describir señales, con condiciones y límites que podremos explorar después.

Lo que sabemos hasta ahora

Lo que descubrimos

Las oscilaciones reales vienen de giradores gemelos reflejados cuyas partes de lado se cancelan.
$e^{st}$ con $s = \sigma + i\omega$ gira y crece o se encoge: una espiral. Su sombra es una oscilación que crece o se apaga.
El mapa de s: a la izquierda se calma, a la derecha se dispara, más arriba significa oscilaciones más rápidas.
Muchas señales periódicas, incluso una onda cuadrada, se pueden construir sumando giradores de distintas velocidades (Fourier). Justo al lado de un salto, la suma siempre se pasa en torno a un 9 %.

June: "Entonces, ¿en qué parte de este mapa vive nuestro dron?"

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