Capítulo 9

Del cálculo al álgebra

¿Podemos convertir el cálculo en álgebra?

Las pendientes se convierten en multiplicaciones

Mika: ¿Te acuerdas del pósit del capítulo 4? Para $e^{at}$ , tomar una pendiente era simplemente $\times\, a$ . Ahora mira lo que hace la sonda con una pendiente.

Palabras nuevas

$f'$ y $f''$: Abreviatura de $\frac{df}{dt}$ , la pendiente de $f$ , y de la pendiente de esa pendiente. El capítulo 7 las escribía con puntos, $\dot x$ y $\ddot x$ .
$\mathcal{L}\{f\}$: «La transformada de $f$ »: lo mismo que $F(s)$ , práctico cuando $f$ es una expresión entera.
Mayúsculas: Una mayúscula es la transformada de su minúscula: $F$ para $f$ , $H$ para la altura $h$ , $X$ para $x$ .

Aquí está la propiedad que hace que todo esto merezca la pena. ¿Qué le pasa a la transformada cuando calculamos la pendiente de la señal? Pruébalo con $f = e^{at}$ . Su pendiente es $a e^{at}$ (capítulo 4), así que

\begin{aligned} \mathcal{L}\{f'\} &= \frac{a}{s-a} = \frac{s}{s-a} - 1 \\ &= s\,F(s) - f(0) \end{aligned}

La pendiente se ha convertido en multiplicar por $s$ , menos el valor inicial $f(0)$ . ¡El cálculo se ha vuelto álgebra!

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Theo: Un momento. Eso es un truco que funciona para $e^{at}$ porque $e^{at}$ es especial. Lo siguiente será decirme que es una regla que hay que memorizar. No me lo creo para cualquier curva.

June: Pues probémoslo con la curva más fea que sepas dibujar.

Dibuja la señal que quieras en la primera gráfica (o elige una predefinida). Calculamos su pendiente y luego obtenemos los dos lados de la regla con la máquina de áreas: la transformada de la pendiente y $s\,F(s) - f(0)$ . La segunda gráfica muestra esos dos lados para cada $s$ .

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Theo: Coinciden, incluso con mi garabato tembloroso. Al final no es una regla para buscar en una tabla: es lo que la máquina de áreas le hace a cualquier pendiente.

Aquí está el álgebra que faltaba, en forma de dibujo. Un producto cambia por dos razones: $f$ cambia mientras la sonda se queda quieta, y la sonda cambia mientras $f$ se queda quieta. Imagina un rectángulo de lados $f$ y $e^{-st}$ : crece por un lado y luego por el otro. Este paso tiene nombre: integración por partes.

\big(f\,e^{-st}\big)' = f'\,e^{-st} - s\,f\,e^{-st}

Suma esos cambios de 0 a ∞ (capítulo 3: el área deshace la pendiente) y obtienes el valor del final menos el valor del principio. Eso es lo que significa el corchete $\big[\,\cdot\,\big]_0^\infty$ :

\big[f\,e^{-st}\big]_0^\infty = \int_0^\infty f'\,e^{-st}\,dt - s\,F(s)

En el extremo lejano la sonda lo ha aplastado todo hasta cero (siempre que $s$ le gane al crecimiento de la señal), así que el lado izquierdo es simplemente $0 - f(0)$ . Pasa $s\,F(s)$ al otro lado y ahí tienes la regla.

Theo: Así que $f(0)$ no es ningún apaño. Es el rectángulo con el que empezamos.

Aplica la misma regla una vez más, ahora a $f'$ , cuyo valor inicial es $f'(0)$ , la velocidad inicial:

\begin{aligned} \mathcal{L}\{f''\} &= s\,\mathcal{L}\{f'\} - f'(0) \\ &= s\big(s\,F(s) - f(0)\big) - f'(0) \\ &= s^2 F(s) - s\,f(0) - f'(0) \end{aligned}

Nuestra propia tabla

Los libros imprimen una "tabla de transformadas de Laplace" como si hubiera caído del cielo. Nosotros nos vamos a ganar la nuestra, fila a fila. Cada fila es simplemente la máquina de sonda y área aplicada a una señal, con una comprobación de que la fórmula coincide con el área real.

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Mika: La fila del seno es mi favorita. Un seno no es más que dos giradores gemelos, y la transformada de cada girador es la fila exponencial con $a = \pm i\omega$ . En el capítulo 6 sumamos los gemelos para obtener un coseno. Réstalos en su lugar y las partes a lo largo se cancelan, y queda $2i\sin\omega t$ . ¡De ahí sale el $2i$ ! Y multiplicar los denominadores de los gemelos es el producto por el reflejado del capítulo 7, $(s - i\omega)(s + i\omega) = s^2 + \omega^2$ .

(Para una $a$ compleja, la fila exponencial sigue funcionando siempre que la parte izquierda-derecha de $s$ le gane a la parte izquierda-derecha de $a$ . Para los gemelos eso es simplemente $\sigma > 0$ .)

Y la última fila no necesitó trabajo nuevo: multiplicar por $e^{-\sigma t}$ simplemente desplaza $s$ a $s+\sigma$ . Cuatro filas, todas deducidas, todas comprobadas.

Una regla más que hemos usado sin decirlo. La máquina de áreas es justa: haz una señal 3 veces más alta y cada rebanada de su área es 3 veces más alta, así que el área entera también. Suma dos señales y sus áreas se suman. Los matemáticos llaman a esto linealidad.

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June: Eso es lo que nos deja transformar una ecuación término a término, con los números de delante incluidos. Y la ecuación del dron es justo ese tipo de suma. ¡Usemos la tabla!

Deshacer un denominador común

Theo: Todas las respuestas que saquemos van a salir como una fracción grande. Pero nuestra tabla solo conoce fracciones pequeñas: $\frac1s$ , $\frac{1}{s-a}$ , los senos. ¿Cómo partimos una fracción grande en trozos de la tabla?

En el colegio sumabas fracciones buscando un denominador común. Aquí vamos al revés: empezamos con una sola fracción y buscamos los trozos pequeños que suman eso. Se llama descomponer en fracciones simples (en muchos países, fracciones parciales):

\frac{1}{s} + \frac{1}{s+2} = \frac{2s + 2}{s\,(s+2)} \qquad\text{así que}\qquad \frac{2s+2}{s\,(s+2)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+2}

¿Qué va en el numerador de cada trozo? **Una incógnita por cada potencia de $s$ de su denominador.** Un denominador como $s$ o $s + 2$ recibe un número sin más. Un denominador cuadrático como $s^2 + 2s + 5$ recibe $B\,s + C$ : dos incógnitas, porque en una cuadrática caben dos.

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June: Cada deslizador mueve un trozo, y los trozos también se suman sin más en el tiempo. El trozo $A$ es un escalón; el trozo cuadrático es una oscilación que se apaga. Y la fracción grande de la derecha es lo que suman entre todos.

Para encontrar los números de los trozos con denominador de primer grado hay un atajo, el truco de tapar. Multiplica por el denominador del trozo y luego pon en $s$ el valor que lo anula: todos los demás trozos desaparecen y solo queda su numerador.

A = \Big[s \cdot \frac{2s+2}{s\,(s+2)}\Big]_{s=0} = \frac{2}{2} = 1, \qquad B = \Big[(s+2) \cdot \frac{2s+2}{s\,(s+2)}\Big]_{s=-2} = \frac{-2}{-2} = 1

Un denominador cuadrático necesita un paso más antes de que la tabla pueda leerlo: llevarlo a la forma $(s + \sigma)^2 + \omega^2$ completando el cuadrado, tomando la mitad del número del medio y elevándola al cuadrado. Así, $s^2 + 2s + 5 = (s + 1)^2 + 4$ : un coseno y un seno amortiguados con $\sigma = 1$ y $\omega = 2$ .

Resolver el dron con álgebra

Aquí está el dron del capítulo 2 con control P, esta vez sin empuje de vuelo estacionario gratis, empezando sobre una repisa de 1 m. En $t=0$ lo soltamos y le pedimos 2 m. En el cálculo desde ese instante en adelante, la nueva consigna y la gravedad constante se transforman cada una como un escalón:

m\,\out{h}'' + c\,\out{h}' = \eff{K_p}\,(\sp{2} - \out{h}) - \dis{m g}

Paso 1: transforma cada término. Como las áreas se escalan y se suman (la sección de la tabla), podemos transformar cada término por separado. Un escalón de tamaño $r$ se convierte en $r/s$ , y las pendientes se convierten en multiplicar por $s$ . Esto es lo que escribimos:

m\,s^2\out{H} + c\,s\,\out{H} = \eff{K_p}\Big(\frac{\sp{2}}{s} - \out{H}\Big) - \frac{\dis{m g}}{s}

Paso 2: ahora es álgebra. Junta $\out{H}$ en un lado y luego divide:

\begin{gathered} \begin{aligned} &(m s^2 + c s + \eff{K_p})\,\out{H} \\ &\quad = \frac{\eff{K_p}\,\sp{2} - \dis{m g}}{s} \end{aligned} \\[8pt] \out{H}(s) = \frac{N(s)}{s\,\big(m s^2 + c s + \eff{K_p}\big)} \\[8pt] N(s) = \eff{K_p}\,\sp{2} - \dis{m g} \end{gathered}

Mika: Mira eso. Ni una pendiente, solo letras que se van moviendo. Theo, tu cuaderno ya no echa humo.

Paso 3: pártelo en trozos de la tabla, como en la sección anterior: un número en el numerador del trozo en $s$ , y $B s + C$ en el numerador del cuadrático:

\out{H}(s) = \frac{A}{s} + \frac{B s + C}{m s^2 + c s + \eff{K_p}}

¿Cómo encontramos $A$ , $B$ y $C$ ? Multiplica los dos lados por el denominador común $s\,(m s^2 + c s + \eff{K_p})$ :

\begin{aligned} N(s) &= A\,(ms^2+cs+\eff{K_p}) \\ &\quad + s\,(Bs+C) \end{aligned}

El truco de tapar

Hay un atajo para $A$ . Multiplica $\out{H}$ por $s$ y todos los trozos salvo $A/s$ siguen teniendo una $s$ arriba. Pon $s = 0$ y todos desaparecen. Solo sobrevive $A$ :

A = \Big[s\,\out{H}(s)\Big]_{s=0} = \frac{N(0)}{\eff{K_p}} = \sp{2} - \frac{\dis{mg}}{\eff{K_p}}

Y $s\,\out{H}$ cerca de $s = 0$ es donde acaba el dron a la larga, si es que llega a estabilizarse. La altura final sale directamente del álgebra, sin necesidad de simular.

Mika: Un momento. ¿Podemos leer dónde se queda sin resolver nada? Esto parece hacer trampa.

Theo: Es hacer trampa, salvo que todo lo demás se apague. Aquí los otros trozos son la oscilación propia del dron, y se extinguen, así que lo que queda es $A$ . Si el denominador tuviera una raíz en la mitad derecha, $A/s$ seguiría estando en la fracción, pero un trozo que crece lo taparía y el dron nunca se estabilizaría en ningún sitio. El capítulo 10 enseña cómo comprobarlo.

Luego compara los dos lados, una potencia de $s$ cada vez. Los números sueltos dan $A$ , los términos en $s^2$ dan $B$ y los términos en $s$ dan $C$ :

\begin{gathered} A = \sp{2} - \frac{\dis{mg}}{\eff{K_p}} \\ B = -m\,A, \qquad C = -c\,A \end{gathered}

Aquí no aparece física nueva: solo hemos deshecho un denominador común para llegar a trozos que nuestra tabla puede devolver al tiempo. Fíjate en que a $A$ le da igual dónde empezó el dron.

Theo: Y no tuvimos que suponer $e^{st}$ ni una sola vez. La tabla adivinó por nosotros.

Paso 4: busca cada trozo en la tabla que acabamos de deducir: $A/s$ es un escalón, y el segundo trozo es un coseno amortiguado más un seno amortiguado (el desvío de abajo muestra cómo encaja en esas filas). Lee $h(t)$ .

Completar el cuadrado: el capítulo 7 se escondía en el denominador

El segundo trozo todavía no está en nuestra tabla: su denominador es una cuadrática normal. Llévala a la forma $(s+\sigma)^2 + \omega^2$ (completar el cuadrado, como en la sección anterior) y encaja exactamente con las filas del seno amortiguado. El numerador se reparte igual, una parte para la fila del coseno y otra para la del seno:

\begin{gathered} 0{,}5\,s^2 + s + \eff{K_p} = 0{,}5\,\big((s+1)^2 + \omega_d^2\big) \\ \omega_d^2 = 2\eff{K_p} - 1 \\[6pt] B\,s + C = B\,(s+1) + (C - B) \end{gathered}

Así que $\sigma = 1$ , que es el $\zeta\omega_n$ del capítulo 7 para nuestro dron, y $\omega$ es la oscilación amortiguada $\omega_d$ .

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Theo: Un momento. ¡El denominador se anula justo en los dos puntos que pusimos en el mapa en el capítulo 7! Que no se nos olvide.

June: ¡Comparémoslo con la simulación!

¡Primero, predice! Ponemos el dron sobre una repisa de 1 m y ejecutamos nuestra fórmula junto a la simulación. ¿Qué veremos?

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Mika: Ay, ay. La fórmula empieza en cero, pero el dron empieza en la repisa, a 1 m. ¿El álgebra miente?

Theo: El álgebra está bien. Los que mentimos fuimos nosotros. Mira el paso 1: escribimos $\mathcal{L}\{h''\} = s^2 H$ y $\mathcal{L}\{h'\} = s\,H$ , y quitamos todos los $h(0)$ . Justo el trozo que recuerda la repisa.

Activa el interruptor para devolver los términos de la altura inicial y mira cómo cambian con él los pasos 1 y 2 y los coeficientes de arriba. La fórmula discontinua y la simulación azul quedan ahora exactamente una encima de la otra: la mayor diferencia es de menos de una millonésima de metro, puro redondeo. Cambia $\eff{K_p}$ o la altura de la repisa y siguen coincidiendo.

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Theo: En el capítulo 2 tuvimos que hacer volar el dron para encontrar su caída. Aquí ha salido sola de una fracción.

Lo que sabemos ahora

Lo que descubrimos

Las pendientes se convierten en multiplicaciones: $\mathcal{L}\{f'\} = sF(s) - f(0)$ . El $f(0)$ recuerda dónde empezó la señal. Olvídalo y tu respuesta empieza en el sitio equivocado.
Dedujimos nuestra propia tabla: $1/s$ , $1/(s-a)$ , $\omega/(s^2+\omega^2)$ y la versión desplazada para senos amortiguados. Las áreas se escalan y se suman, así que podemos transformar una ecuación término a término.
Las fracciones grandes se descomponen en fracciones simples: una incógnita por cada potencia de $s$ de cada denominador, que se encuentran con el truco de tapar. Un denominador cuadrático se convierte en un coseno y un seno que se encogen.
Transforma, haz álgebra, divide en trozos de la tabla, lee la respuesta. El trozo $A/s$ es donde se queda el dron, caída incluida. Coincide exactamente con la simulación, siempre que conserves los valores iniciales.

June: "Cada vez que resolvíamos algo, la respuesta era (algo) ÷ (un polinomio en s), y el comportamiento del dron salía de donde el denominador vale cero. ¿Y si esa fracción es el dron?"

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