Rozdział 10

Transmitancje, bieguny i zera

Czy da się odczytać cały charakter układu z jednego ułamka?

Rozdział 10: Transmitancje, bieguny i zera ↗

Przepis na układ

June: Zaczynamy od drona zawieszonego na wysokości 1 m; podstawowy ciąg 4,9 N równoważy grawitację. Zarówno żądaną, jak i rzeczywistą zmianę wysokości mierzymy względem tej wartości. Tuż przed nowym poleceniem obie zmiany wynoszą zero. W przykładzie skoku wartość zadana skacze do 2 m w chwili $t=0$ : żądana zmiana wynosi wtedy 1 m, a dron nadal jest na wysokości 1 m.

Theo: Dobrze, bo w poprzednim rozdziale pominęliśmy kawałki z $-h(0)$ i wzór skłamał. Mierzone od zawisu te wartości początkowe naprawdę są zerowe, więc tym razem znikają uczciwie.

\Delta\out{H}(s) = \underbrace{\frac{\eff{K_p}}{m s^2 + c s + \eff{K_p}}}_{G(s)} \cdot \Delta\sp{R}(s)

Skąd się bierze przepis

Ciąg zawisu znosi grawitację, więc w równaniu drona zostają tylko zmiany. Teraz reguła z rozdziału 9: każde nachylenie zamienia się w × $s$ minus jego wartość początkowa. Od zawisu każda wartość początkowa jest zerowa, więc nic nie odejmujemy:

\begin{gathered} m\,\Delta\out{h}'' + c\,\Delta\out{h}' = \eff{K_p}\,(\Delta\sp{r} - \Delta\out{h}) \\[2pt] \Big\downarrow\ {\scriptstyle \Delta h(0)\,=\,\Delta h'(0)\,=\,0} \\[2pt] (m s^2 + c s + \eff{K_p})\,\Delta\out{H}(s) = \eff{K_p}\,\Delta\sp{R}(s) \end{gathered}

Podziel przez $m s^2 + c s + \eff{K_p}$ i oto $G(s)$ . Jej mianownik to dokładnie to równanie, które w rozdziałach 4–7 dostawaliśmy, zgadując $e^{st}$ .

Mika: Czyli to nie magia. To własne równanie drona, w którym każde nachylenie zamieniło się w $s$ .

$\Delta\sp{R}(s)$ to transformata żądanego przesunięcia od 1 m, a $\Delta\out{H}(s)$ to transformata rzeczywistego przesunięcia od 1 m. $G(s)$ zależy od drona i regulatora. To transmitancja: zmiana wyjścia podzielona przez zmianę wejścia, przy obu zmianach równych zeru na początku.

Wykres nadal pokazuje wysokości nad ziemią. Dodaj początkowy metr do przesunięcia przewidzianego przez wzór, aby otrzymać niebieską wysokość na wykresie.

Mika: June miała rację: ten ułamek jest dronem. To jakby jego przepis. Wrzuć dowolny składnik, a powie ci, co wyjdzie!

Wypróbuj trzy różne wejścia na tym samym dronie. Przepis nigdy się nie zmienia, zmienia się tylko $\Delta\sp{R}(s)$ .

Rozdział 10: Transmitancje, bieguny i zera ↗

Nowe pojęcia

Transmitancja $G(s)$: Transformata zmiany wyjścia ÷ transformata zmiany wejścia, przy tym samym stanie spoczynku na początku. Dla tego liniowego drona to iloraz wielomianów zmiennej $s$ .
Start ze spoczynku (zerowe warunki początkowe): Każda zmiana i jej prędkość są zerowe w chwili $t = 0$ , tak jak przy pomiarze od zawisu. Wtedy składniki z wartościami początkowymi z rozdziału 9, takie jak $-h(0)$ , też są zerowe, a $G(s)$ mówi wszystko.

Bieguny: tam, gdzie układ chce mieszkać

Gdzie $G(s)$ rośnie bez ograniczeń? Tam, gdzie jej mianownik jest zerem. Te punkty to bieguny, oznaczane ×. Ten dron ma dwa, po jednym na każdy z dwóch naturalnych ruchów $e^{st}$ z rozdziału 7.

W rozdziale 8 transformata $e^{at}$ krzyczała w $s = a$ . Przeczytaj to od tyłu: wszędzie, gdzie $G$ krzyczy, ukrywa się ruch $e^{pt}$ .

June: Czyli bieguny to mody z rozdziału 7, siedzące na mapie!

Dlaczego bieguny to ruchy

Odpowiedź skokowa to $G(s)$ razy $\frac{1}{s}$ skoku. Rozbij ją na proste kawałki, ułamki proste z rozdziału 9 (lustrzana para biegunów dostaje liczniki będące lustrzanymi bliźniakami): własny biegun skoku w 0 daje końcową zmianę $A$ , a każdy biegun $G$ daje jeden kawałek $\frac{B}{s-p}$ .

\begin{aligned} \Delta\out{H}(s) = G(s)\cdot\frac{1}{s} &= \frac{A}{s} + \frac{B}{s-p} + \frac{\bar B}{s-\bar p} \\[4pt] \Longrightarrow\quad \Delta\out{h}(t) &= A + B e^{pt} + \bar B e^{\bar p t} \end{aligned}

Tabela z rozdziału 9 zamienia każdy kawałek z powrotem w ruch. Nic innego nie może się pojawić: bieguny to cała obsada.

Theo: A biegun z $\sigma > 0$ to kawałek, który rośnie. Nic dziwnego, że prawa połowa wybucha.

Teraz odwróćmy sytuację. Zamiast wybierać wzmocnienia i szukać biegunów, przeciągajmy bieguny i zobaczmy, jakiego drona dostaniemy. Do tego trzeba drugiego pokrętła, $\eff{K_d}$ : pchnięcia przeciwnego do prędkości, które porządnie poznamy w rozdziale 11. Dodaje się ono do oporu $c$ , a dwa pierwiastki to $p$ i jego lustrzany bliźniak $\bar p$ (kreska zmienia znak części urojonej, jak u bliźniaków z rozdziału 6):

\begin{aligned} & m s^2 + (c + \eff{K_d})\,s + \eff{K_p} = 0 \\ \Longrightarrow\quad & s = p,\ \bar p \qquad \text{(bieguny)} \end{aligned}

Rozdział 10: Transmitancje, bieguny i zera ↗

Najpierw zgadnij! Co zrobi dron, jeśli przeciągniemy bieguny do prawej połowy płaszczyzny s?

Rozdział 10: Transmitancje, bieguny i zera ↗

Jak czytać mapę

Pobaw się. Od razu widać kilka reguł, a każda to stary znajomy w przebraniu:

Lewa połowa = uspokaja się, prawa połowa = wybucha. Część rzeczywista $\sigma$ to tempo malenia lub wzrostu $e^{\sigma t}$ .
Bardziej w lewo = szybciej. Ustalanie trwa około $4/|\sigma|$ sekund (przerywane pionowe linie): cztery stałe czasowe z rozdziału 7, bo $e^{-|\sigma| t}$ spada poniżej 2 % po $\ln 50/|\sigma| \approx 3{,}9/|\sigma|$ sekundach.
Wyżej = bardziej rozkołysany. Wysokość $\omega$ to pulsacja tłumiona z rozdziału 7, więc jedno wahnięcie trwa $2\pi/\omega$ sekund.
Kąt ustala przeregulowanie. Kąt $\theta$ od ujemnej półosi rzeczywistej daje $\zeta = \cos\theta$ (okrąg z rozdziału 7), a przeregulowanie to $e^{-\pi|\sigma|/\omega}$ (przerywane promienie). Blisko osi rzeczywistej prawie nie ma przeregulowania, blisko osi pionowej jest duże. (Dokładnie dla dwóch biegunów bez zera, przy starcie ze spoczynku. Zero to zmienia: w następnej sekcji jedno zero zamienia 12 % w 15 %.)

Mika: Chciałam tylko jeden biegun wysoko i jeden nisko. Nie pozwala mi! Dolny ciągle kopiuje górny.

Theo: Pamiętasz bliźniacze bączki z rozdziału 6? Prawdziwy dron ma prawdziwy ruch, więc każde wirujące $e^{st}$ potrzebuje lustrzanego bliźniaka, żeby znieść części urojone. Bieguny zespolone zawsze występują w lustrzanych parach.

Dlaczego kąt ustala przeregulowanie

Dron mija cel i zawraca po połowie wahnięcia, w chwili $t = \pi/\omega$ . Do tego czasu malejące $e^{-|\sigma| t}$ działa już tak długo, a to, co zostaje z wychylenia, to przeregulowanie. Liczy się tylko stosunek $|\sigma|/\omega$ , a ten stosunek to kąt bieguna. Na okręgu z rozdziału 7 cosinus tego kąta to $\zeta$ .

\begin{aligned} t_{\text{szczyt}} &= \frac{\pi}{\omega} \\[4pt] \text{przeregulowanie} &= e^{-|\sigma|\,t_{\text{szczyt}}} = e^{-\pi|\sigma|/\omega} \\[4pt] &= e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}, \qquad \zeta = \cos\theta \end{aligned}

Rozdział 10: Transmitancje, bieguny i zera ↗

Theo: Czyli każdy promień z 0 to jedno $\zeta$ i jedno przeregulowanie.

Najpierw zgadnij! Zostaw $\sigma = -2$ i przesuń bieguny prosto w górę, z $\pm 4i$ do $\pm 8i$ . Co się zmieni?

June: Plac zabaw skoczył, kiedy odpowiedzieliśmy: para-duch siedzi w $\pm 4i$ , nowa w $\pm 8i$ . Ta sama obwiednia, dwa razy więcej wahnięć i dużo większe pierwsze wychylenie.

Mika: A gdyby oba bieguny siedziały na osi rzeczywistej, jeden w $-0{,}2$ , a drugi w $-5$ ?

June: Szybki znika w sekundę. Wolny tu rządzi.

Rozdział 10: Transmitancje, bieguny i zera ↗

Nowe pojęcia

Biegun: Wartość $s$ , przy której transmitancja rośnie bez ograniczeń. Każdy biegun $p$ to jeden ruch $e^{pt}$ układu.
Lustrzana para $p,\ \bar p$: W podręcznikach: para sprzężona. Dwa bieguny o tej samej części rzeczywistej i przeciwnych częściach urojonych. Zespolone bieguny rzeczywistego układu zawsze występują w takich parach.
Biegun dominujący: Biegun najbliżej osi pionowej. Jego wolny ruch trwa dłużej niż pozostałe, więc zwykle to on wyznacza czas ustalania, chyba że prawie na nim siedzi zero (w rozdziale 11 jest taki przypadek).

Zera: szybkie spojrzenie

Licznik też może być zerem. Takie punkty to zera, oznaczane ○. Zwykle zmieniają udział ruchu każdego bieguna widoczny na wyjściu. Jeśli zero leży dokładnie na biegunie, wspólny czynnik się skraca i ten biegun znika z tego przepisu od wejścia do wyjścia. Ale nadal siedzi w układzie: szturchnij drona w inny sposób, podmuchem, a ten ruch wraca. To bardzo ważne, jeśli ukryty biegun leży po prawej stronie.

Oto układ ze stałymi biegunami w $-2 \pm 3i$ i jednym zerem, które możesz przesuwać. ( $\eff{K_d}$ z naszego placu zabaw pcha przeciw prędkości drona, więc jego przepis nie ma zera. Pchaj zamiast tego przeciw prędkości uchybu, jak w rozdziale 11, a pojawi się zero w $-\eff{K_p}/\eff{K_d}$ : dla tych biegunów to $-6{,}5$ , z przeregulowaniem 15 % zamiast 12 %.)

Rozdział 10: Transmitancje, bieguny i zera ↗

June: Te same bieguny, ale gdy zero zbliża się do początku układu, odpowiedź wyskakuje w górę dużo szybciej i bardziej przestrzeliwuje!

Theo: Te same bieguny to te same ruchy. Zero nie może więc dodać nowego. Musi dokładać trochę czegoś, co już mamy.

Rozdział 10: Transmitancje, bieguny i zera ↗

Mnożenie przez $s$ daje nachylenie (rozdział 9), więc czynnik $(1 + s/|z|)$ dokłada $1/|z|$ razy nachylenie. Dlatego zero blisko początku układu sprawia, że układ tak mocno reaguje na zmiany: przeregulowanie rośnie, choć bieguny się nie ruszyły. Daleko zero prawie nie ma znaczenia. Na razie to wszystko, czego potrzebujemy o zerach.

Nowe pojęcia

Zero: Wartość $s$ , przy której transmitancja jest zerem: ruch $e^{zt}$ , którego układ nie przepuszcza.

Czy bardziej w lewo to zawsze lepiej?

June: Proste: przeciągnijmy bieguny daleko w lewo. Ustala się w mgnieniu oka. Najlepszy dron świata!

Theo: Tylko jakiego ciągu to wymaga? Do tej pory udawaliśmy, że silniki mogą pchać tak mocno, jak chce matematyka.

Czas na szczerość. Nasze silniki mogą pchać od 0 N do 20 N (mniej więcej czterokrotność ciężaru drona). Poniżej bieguny przesuwają się w lewo wzdłuż linii 45° (to $\zeta \approx 0{,}71$ , złoty środek z rozdziału 7). Przerywane krzywe to matematyka z wyimaginowanymi, nieograniczonymi silnikami; ciągłe to prawdziwe silniki.

Rozdział 10: Transmitancje, bieguny i zera ↗

Za mniej więcej $-3{,}9 \pm 3{,}9i$ matematyka żąda ponad 20 N. Pomarańczowy ciąg spłaszcza się na ograniczeniu, a za mniej więcej $-6 \pm 6i$ matematyka chce nawet ciągnąć drona w dół, czego śmigła nie potrafią. Prawdziwy dron przestaje podążać za ładną liniową prognozą. Jego czas ustalania przestaje się poprawiać przy około 0,7 s, w okolicy $-6{,}5 \pm 6{,}5i$ , a dalej w lewo robi się gorzej, z dodatkowym przeregulowaniem.

June: Przesunęłam go aż do $-8 \pm 8i$ . Matematyka mówi 0,53 s. Prawdziwy dron potrzebuje 0,77 s: wolniej niż przy $-6{,}5$ !

Mika: A jego przeregulowanie wzrosło z 4 % do 16 %. Tego całego dodatkowego ciągu nigdy nie było skąd wziąć.

June: Czyli „bardziej w lewo” jest lepsze tylko do momentu, gdy skończy się silnik. Rozmieszczanie biegunów to kompromis, a nie wyścig.

Nowe pojęcia

Pierwsze pchnięcie: Ciąg żądany w pierwszej chwili skoku: $mg + \eff{K_p}\,\Delta r$ , zanim dron się ruszy.
Budżet ciągu: Położenia biegunów, na które stać silniki przy danym skoku: okrąg wokół 0.
Ograniczenie silników (nasycenie): Prawdziwy ciąg jest obcinany do 0–20 N, czegokolwiek żąda matematyka.

Zamykamy pętlę na papierze

June: W rozdziale 1 narysowaliśmy pętlę jako bloki i strzałki. W świecie s każdy blok po prostu mnoży. Czy bloki mogą zrobić za nas algebrę?

Daj każdemu blokowi jego przepis. Regulator to $C(s)$ , na razie po prostu $\eff{K_p}$ . Sam dron, ze zmianą ciągu na wejściu i zmianą wysokości na wyjściu, to $P(s) = \frac{1}{ms^2 + cs}$ : P od angielskiego plant, czyli obiekt, słowo z rozdziału 1, a nie P z regulacji P. Wynika prosto z równania drona, tak samo jak przepis powyżej.

June: Proste. Polecenie idzie przez regulator, a potem przez drona. Mnożymy wzdłuż linii!

\Delta\out{H} \overset{?}{=} C\,P\,\Delta\sp{R} = \frac{\eff{K_p}}{ms^2 + cs}\,\Delta\sp{R}

Theo: Bieguny w 0 i −2? Żadnego kołysania i biegun w 0, który nigdy się nie ustala. To układ otwarty z rozdziału 1: powiedz dronowi, co ma robić, i nigdy nie patrz. Regulator nie widzi polecenia, June. Widzi uchyb.

Strzałka wracająca od drona to cały sens sprzężenia zwrotnego. Regulator działa na $\Delta\sp{R} - \Delta\out{H}$ , więc wyjście pojawia się po obu stronach. Zbierz je i podziel:

\begin{aligned} \Delta\out{H} &= C\,P\,\big(\Delta\sp{R} - \Delta\out{H}\big) \\ \Delta\out{H}\,\big(1 + C\,P\big) &= C\,P\,\Delta\sp{R} \\ \Delta\out{H} &= \frac{C\,P}{1 + C\,P}\,\Delta\sp{R} \end{aligned}

Wstaw $C = \eff{K_p}$ i $P = 1/(ms^2+cs)$ , a potem pomnóż licznik i mianownik przez $ms^2 + cs$ :

\frac{C\,P}{1 + C\,P} = \frac{\eff{K_p}/(ms^2+cs)}{1 + \eff{K_p}/(ms^2+cs)} = \frac{\eff{K_p}}{ms^2 + cs + \eff{K_p}}

Mika: To przepis z początku tego rozdziału! Dostaliśmy go dwa razy: raz z równania drona, raz z bloków.

Czyli bieguny pętli leżą tam, gdzie mianownik, $1 + C(s)\,P(s)$ , jest zerem. To to samo co $C\,P = -1$ . Czytaj $C\,P$ jako jedno okrążenie pętli: to, co regulator, a potem dron robią z sygnałem. W biegunie okrążenie oddaje sygnał w tej samej wielkości, ale odwrócony, a minus w uchybie odwraca go z powrotem. Sygnał podtrzymuje się więc sam, bez żadnego polecenia.

1 + C(s)\,P(s) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad C(s)\,P(s) = -1

Wypróbuj to na równomiernym wahaniu, $s = i\omega$ . Jedno okrążenie zamienia strzałkę wahania w $C(i\omega)\,P(i\omega)$ : krótszą lub dłuższą i obróconą wstecz. Widżet rysuje tę strzałkę dla każdej prędkości wahań oraz punkt −1, do którego musiałaby dotrzeć.

Rozdział 10: Transmitancje, bieguny i zera ↗

Theo: Choćbym nie wiem jak podkręcał $\eff{K_p}$ , krzywa wygina się w stronę −1, ale nigdy jej nie dotyka. Najbliżej jest mniej więcej przy własnej prędkości wahań drona.

Oto dlaczego. Opór obraca okrążenie wstecz najwyżej o 90°, a masa najwyżej o kolejne 90°, ale razem dochodzą do 180° dopiero przy nieskończenie szybkich wahaniach. Dlatego sama regulacja P nigdy nie zepchnie tego drona za krawędź. Większe $\eff{K_p}$ sprawia tylko, że okrążenie przechodzi bliżej −1, a bliżej znaczy mniej tłumienia: „więcej $K_p$ , więcej kołysania” z rozdziału 2, teraz jako obrazek.

Rozdział 10: Transmitancje, bieguny i zera ↗

Nowe pojęcia

Układ zamknięty: Regulator działa na uchyb, więc wyjście wraca na wejście pętli: $\Delta H = \frac{C\,P}{1 + C\,P}\,\Delta R$ .
Wzmocnienie pętli $C(s)\,P(s)$: To, co jedno okrążenie pętli robi z sygnałem. Bieguny układu zamkniętego leżą tam, gdzie jest ono równe −1.

Co teraz wiemy

Co udało nam się ustalić

Tak, wystarczy jeden ułamek. Transmitancja $G(s)$ = zmiana wyjścia ÷ zmiana wejścia w świecie s, przy starcie ze spoczynku. To przepis na układ, $\Delta\out{H} = G\cdot\Delta\sp{R}$ , i wynika wprost z równania drona.
Bieguny (×) to miejsca, gdzie $G(s)$ wybucha: mody $e^{pt}$ , z których zbudowany jest układ.
Lewa połowa = stabilny, prawa połowa = wybucha. Bardziej w lewo = szybciej (ustala się po około $4/|\sigma|$ s, praktyczna reguła), wyżej = bardziej rozkołysany (jedno wahnięcie = $2\pi/\omega$ s), kąt = tłumienie $\zeta$ = przeregulowanie $e^{-\pi|\sigma|/\omega}$ . Biegun najbliżej osi tu rządzi.
Bieguny zespolone zawsze występują w lustrzanych parach.
Zera (○) zmieniają to, ile każdego modu dostajesz. Blisko początku układu dodają szarpnięcie: $1/|z|$ razy nachylenie.
Zamknij pętlę na papierze, a przepis to $\frac{C\,P}{1 + C\,P}$ . Bieguny leżą tam, gdzie jedno okrążenie pętli, $C\,P$ , jest równe −1.
Pierwsze pchnięcie przy skoku o 1 m to $mg + m|p|^2$ , więc dalekie bieguny wymagają ciągu, którego silniki nie mają.

Theo: „Bieguny są piękne. Ale chwila: przez cały rozdział oszukiwaliśmy, dając dronowi ciąg zawisu w prezencie. Bez niego grawitacja wciąż powoduje zwis. Z naszą mapą wszystko w porządku. To nasz regulator wymaga naprawy.”

Rozdział 10: Transmitancje, bieguny i zera ↗