Rozdział 9

Od analizy do algebry

Czy da się zamienić analizę matematyczną w algebrę?

Nachylenia stają się mnożeniem

Mika: Pamiętasz karteczkę z rozdziału 4? Dla $e^{at}$ branie nachylenia było po prostu mnożeniem $\times\, a$ . Zobacz teraz, co sonda robi z nachyleniem.

Nowe pojęcia

$f'$ i $f''$: Skrót od $\frac{df}{dt}$ , czyli nachylenia $f$ , oraz nachylenia tego nachylenia. W rozdziale 7 pisaliśmy je z kropkami: $\dot x$ i $\ddot x$ .
$\mathcal{L}\{f\}$: „Transformata $f$ ”: to samo co $F(s)$ , przydatne, gdy $f$ jest całym wyrażeniem.
Wielkie litery: Wielka litera to transformata swojej małej litery: $F$ dla $f$ , $H$ dla wysokości $h$ , $X$ dla $x$ .

Oto własność, dla której cała ta zabawa jest warta zachodu. Co dzieje się z transformatą, gdy bierzemy nachylenie sygnału? Spróbuj z $f = e^{at}$ . Jej nachylenie to $a e^{at}$ (rozdział 4), więc

\begin{aligned} \mathcal{L}\{f'\} &= \frac{a}{s-a} = \frac{s}{s-a} - 1 \\ &= s\,F(s) - f(0) \end{aligned}

Nachylenie zamieniło się w mnożenie przez $s$ , minus wartość początkowa $f(0)$ . Analiza stała się algebrą!

Rozdział 9: Od analizy do algebry ↗

Theo: Zaraz. To trik, który działa dla $e^{at}$ , bo $e^{at}$ jest wyjątkowa. Zaraz mi powiecie, że to reguła z tabelki do wykucia na pamięć. Nie kupuję tego dla dowolnej krzywej.

June: To przetestujmy ją na najbrzydszej krzywej, jaką potrafisz narysować.

Narysuj na pierwszym wykresie dowolny sygnał (albo wybierz gotowy). Obliczamy jego nachylenie, a potem maszyną do pól wyliczamy obie strony reguły: transformatę nachylenia oraz $s\,F(s) - f(0)$ . Drugi wykres pokazuje te dwie strony dla każdego $s$ .

Rozdział 9: Od analizy do algebry ↗

Theo: Zgadzają się, nawet dla mojego krzywego bazgrołu. To wcale nie reguła z tabelki: tak maszyna do pól traktuje każde nachylenie.

Oto brakujący rachunek, w formie obrazka. Iloczyn zmienia się z dwóch powodów. $f$ się zmienia, gdy sonda stoi w miejscu, a sonda się zmienia, gdy $f$ stoi w miejscu. Wyobraź sobie prostokąt o bokach $f$ i $e^{-st}$ : rośnie wzdłuż jednego boku, potem wzdłuż drugiego. Ten chwyt ma swoją nazwę: całkowanie przez części.

\big(f\,e^{-st}\big)' = f'\,e^{-st} - s\,f\,e^{-st}

Zsumuj te zmiany od 0 do ∞ (rozdział 3: pole cofa nachylenie), a dostaniesz wartość na końcu minus wartość na początku. To właśnie oznacza nawias $\big[\,\cdot\,\big]_0^\infty$ :

\big[f\,e^{-st}\big]_0^\infty = \int_0^\infty f'\,e^{-st}\,dt - s\,F(s)

Na dalekim końcu sonda zgniotła wszystko do zera (o ile $s$ przegania wzrost sygnału), więc lewa strona to po prostu $0 - f(0)$ . Przenieś $s\,F(s)$ na drugą stronę i masz regułę.

Theo: Czyli $f(0)$ to nie żadna naciągana poprawka. To prostokąt, od którego zaczęliśmy.

Zastosuj tę samą regułę jeszcze raz, tym razem do $f'$ , którego wartością początkową jest $f'(0)$ , czyli prędkość początkowa:

\begin{aligned} \mathcal{L}\{f''\} &= s\,\mathcal{L}\{f'\} - f'(0) \\ &= s\big(s\,F(s) - f(0)\big) - f'(0) \\ &= s^2 F(s) - s\,f(0) - f'(0) \end{aligned}

Nasza własna tabelka

Podręczniki drukują „tablicę transformat Laplace'a”, jakby spadła z nieba. My na swoją zapracujemy, wiersz po wierszu. Każdy wiersz to po prostu maszyna sonda-i-pole zastosowana do jednego sygnału, ze sprawdzeniem, czy wzór zgadza się z faktycznym polem.

Rozdział 9: Od analizy do algebry ↗

Mika: Wiersz z sinusem to mój ulubiony. Sinus to po prostu dwa bliźniacze bączki, a transformata każdego bączka to wiersz wykładniczy z $a = \pm i\omega$ . W rozdziale 6 dodawaliśmy bliźniaki, żeby dostać cosinus. Jeśli je zamiast tego odejmiesz, części poziome się zniosą i zostanie $2i\sin\omega t$ . Stąd właśnie bierze się to $2i$ ! A mnożenie mianowników bliźniaków to lustrzany iloczyn z rozdziału 7, $(s - i\omega)(s + i\omega) = s^2 + \omega^2$ .

(Dla zespolonego $a$ wiersz wykładniczy nadal działa, o ile część pozioma $s$ przegania część poziomą $a$ . Dla bliźniaków to po prostu $\sigma > 0$ .)

A ostatni wiersz nie wymagał żadnej nowej pracy: mnożenie przez $e^{-\sigma t}$ po prostu przesuwa $s$ do $s+\sigma$ . Cztery wiersze, wszystkie wyprowadzone, wszystkie sprawdzone.

Jest jeszcze jedna reguła, z której po cichu korzystamy. Maszyna do pól jest uczciwa: zrób sygnał 3 razy wyższy, a każdy plasterek jego pola będzie 3 razy wyższy, więc całe pole też. Dodaj dwa sygnały, a ich pola się dodadzą. Matematycy nazywają to liniowością.

Rozdział 9: Od analizy do algebry ↗

June: Dzięki temu możemy transformować równanie składnik po składniku, razem z liczbami z przodu. A równanie drona to właśnie taka suma. Użyjmy tabelki!

Cofamy sprowadzanie do wspólnego mianownika

Theo: Każda odpowiedź, jaką dostaniemy, wychodzi jako jeden wielki ułamek. A nasza tabelka zna tylko małe: $\frac1s$ , $\frac{1}{s-a}$ , sinusy. Jak rozbić wielki ułamek na kawałki z tabelki?

W szkole dodawało się ułamki, sprowadzając je do wspólnego mianownika. Tutaj idziemy wstecz: zaczynamy od jednego ułamka i szukamy małych kawałków, które się do niego sumują. To się nazywa rozkład na ułamki proste:

\frac{1}{s} + \frac{1}{s+2} = \frac{2s + 2}{s\,(s+2)} \qquad\text{więc}\qquad \frac{2s+2}{s\,(s+2)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+2}

Co trafia do licznika każdego kawałka? **Jedna niewiadoma na każdą potęgę $s$ w jego mianowniku.** Mianownik taki jak $s$ albo $s + 2$ dostaje zwykłą liczbę. Mianownik kwadratowy, taki jak $s^2 + 2s + 5$ , dostaje $B\,s + C$ : dwie niewiadome, bo trójmian kwadratowy ma miejsce na dwie.

Rozdział 9: Od analizy do algebry ↗

June: Każdy suwak rusza jednym kawałkiem, a w czasie kawałki też po prostu się sumują. Kawałek $A$ to skok, kawałek kwadratowy to kołysanie, które wygasa. A wielki ułamek po prawej to ich suma.

Do znalezienia liczb w kawałkach pierwszego stopnia jest skrót: sztuczka z zakrywaniem (w podręcznikach: metoda przesłaniania). Pomnóż przez mianownik kawałka, a potem ustaw $s$ na wartość, która go zeruje: wszystkie inne kawałki znikają i zostaje tylko jego licznik.

A = \Big[s \cdot \frac{2s+2}{s\,(s+2)}\Big]_{s=0} = \frac{2}{2} = 1, \qquad B = \Big[(s+2) \cdot \frac{2s+2}{s\,(s+2)}\Big]_{s=-2} = \frac{-2}{-2} = 1

Mianownik kwadratowy potrzebuje jeszcze jednego ruchu, zanim tabelka go odczyta: wciśnij go w kształt $(s + \sigma)^2 + \omega^2$ przez dopełnianie do kwadratu, czyli weź połowę środkowej liczby i podnieś ją do kwadratu. Tak więc $s^2 + 2s + 5 = (s + 1)^2 + 4$ : gasnący cosinus i sinus z $\sigma = 1$ i $\omega = 2$ .

Rozwiązujemy drona algebrą

Oto dron z rozdziału 2 ze sterowaniem P, tym razem bez darmowego ciągu na wiszenie, początkowo na półce o wysokości 1 m. W chwili $t=0$ puszczamy go i żądamy 2 m. W obliczeniu od tej chwili nowa wartość zadana i stała siła grawitacji transformują się jak skoki:

m\,\out{h}'' + c\,\out{h}' = \eff{K_p}\,(\sp{2} - \out{h}) - \dis{m g}

Krok 1: przetransformuj każdy składnik. Ponieważ pola skalują się i dodają (część o tabelce), każdy składnik możemy transformować osobno. Skok o wielkości $r$ staje się $r/s$ , a nachylenia stają się mnożeniem przez $s$ . Oto, co napisaliśmy:

m\,s^2\out{H} + c\,s\,\out{H} = \eff{K_p}\Big(\frac{\sp{2}}{s} - \out{H}\Big) - \frac{\dis{m g}}{s}

Krok 2: teraz to algebra. Zbierz $\out{H}$ po jednej stronie, a potem podziel:

\begin{gathered} \begin{aligned} &(m s^2 + c s + \eff{K_p})\,\out{H} \\ &\quad = \frac{\eff{K_p}\,\sp{2} - \dis{m g}}{s} \end{aligned} \\[8pt] \out{H}(s) = \frac{N(s)}{s\,\big(m s^2 + c s + \eff{K_p}\big)} \\[8pt] N(s) = \eff{K_p}\,\sp{2} - \dis{m g} \end{gathered}

Mika: Popatrzcie. Żadnych nachyleń, tylko przestawianie liter. Theo, twój zeszyt przestał dymić.

Krok 3: rozbij to na kawałki z tabelki, jak w części powyżej: jedna liczba w liczniku kawałka z $s$ i $B s + C$ w liczniku kawałka kwadratowego:

\out{H}(s) = \frac{A}{s} + \frac{B s + C}{m s^2 + c s + \eff{K_p}}

Jak znaleźć $A$ , $B$ i $C$ ? Pomnóż obie strony przez wspólny mianownik $s\,(m s^2 + c s + \eff{K_p})$ :

\begin{aligned} N(s) &= A\,(ms^2+cs+\eff{K_p}) \\ &\quad + s\,(Bs+C) \end{aligned}

Sztuczka z zakrywaniem

Dla $A$ jest skrót. Pomnóż $\out{H}$ przez $s$ , a każdy kawałek oprócz $A/s$ nadal ma $s$ w liczniku. Wstaw $s = 0$ i wszystkie znikają. Zostaje tylko $A$ :

A = \Big[s\,\out{H}(s)\Big]_{s=0} = \frac{N(0)}{\eff{K_p}} = \sp{2} - \frac{\dis{mg}}{\eff{K_p}}

A $s\,\out{H}$ blisko $s = 0$ mówi, gdzie dron znajdzie się na dłuższą metę, o ile w ogóle się ustali. Końcowa wysokość wypada prosto z algebry, bez żadnej symulacji.

Mika: Chwila. Możemy odczytać, gdzie się ustali, niczego nie rozwiązując? To wygląda na oszustwo.

Theo: To jest oszustwo, chyba że cała reszta wygasa. Tutaj pozostałe kawałki to własne kołysanie drona, a ono zanika, więc zostaje $A$ . Gdyby mianownik miał pierwiastek w prawej połowie, $A/s$ nadal siedziałoby w ułamku, ale rosnący kawałek by je zagłuszył i dron nigdy by się nigdzie nie ustalił. Rozdział 10 pokazuje, jak to sprawdzić.

Potem porównaj obie strony, potęga $s$ po potędze. Same liczby dają $A$ , składniki z $s^2$ dają $B$ , a składniki z $s$ dają $C$ :

\begin{gathered} A = \sp{2} - \frac{\dis{mg}}{\eff{K_p}} \\ B = -m\,A, \qquad C = -c\,A \end{gathered}

Nie pojawia się tu żadna nowa fizyka: po prostu cofnęliśmy sprowadzanie do wspólnego mianownika, żeby dostać kawałki, które nasza tabelka umie przenieść z powrotem w czas. Zauważ, że $A$ nie obchodzi, skąd dron wystartował.

Theo: I ani razu nie musieliśmy zgadywać $e^{st}$ . Tabelka zgadła za nas.

Krok 4: znajdź każdy kawałek w tabelce, którą właśnie wyprowadziliśmy: $A/s$ to skok, a drugi kawałek to gasnący cosinus plus gasnący sinus (dygresja poniżej pokazuje, jak pasuje do tych wierszy). Odczytaj $h(t)$ .

Dopełnianie do kwadratu: rozdział 7 chował się w mianowniku

Drugiego kawałka nie ma jeszcze w tabelce: jego mianownik to zwykły trójmian kwadratowy. Wciśnij go w kształt $(s+\sigma)^2 + \omega^2$ (dopełnianie do kwadratu, jak w części powyżej), a będzie dokładnie pasował do wierszy z gasnącym sinusem. Licznik dzieli się tak samo, jedna część na wiersz z cosinusem, druga na wiersz z sinusem:

\begin{gathered} 0{,}5\,s^2 + s + \eff{K_p} = 0{,}5\,\big((s+1)^2 + \omega_d^2\big) \\ \omega_d^2 = 2\eff{K_p} - 1 \\[6pt] B\,s + C = B\,(s+1) + (C - B) \end{gathered}

Czyli $\sigma = 1$ , co dla naszego drona jest wielkością $\zeta\omega_n$ z rozdziału 7, a $\omega$ to tłumione kołysanie $\omega_d$ .

Rozdział 9: Od analizy do algebry ↗

Theo: Zaraz. Mianownik zeruje się dokładnie w tych dwóch kropkach, które w rozdziale 7 postawiliśmy na mapie! Zapamiętajcie to.

June: Sprawdźmy to z symulacją!

Najpierw zgadnij! Stawiamy drona na półce o wysokości 1 m i puszczamy nasz wzór obok symulacji. Co zobaczymy?

Rozdział 9: Od analizy do algebry ↗

Mika: Ojej. Wzór zaczyna od zera, a dron startuje z półki na 1 m. Algebra kłamie?

Theo: Z algebrą wszystko w porządku. To my skłamaliśmy. Spójrz na krok 1: napisaliśmy $\mathcal{L}\{h''\} = s^2 H$ i $\mathcal{L}\{h'\} = s\,H$ i zgubiliśmy każde $h(0)$ . A to dokładnie ta część, która pamięta półkę.

Przełącz przełącznik, żeby przywrócić składniki z wysokością początkową, i patrz, jak zmieniają się razem z nim kroki 1 i 2 oraz współczynniki powyżej. Przerywany wzór i niebieska symulacja leżą teraz dokładnie jedno na drugim: największa różnica jest mniejsza niż milionowa część metra, to zwykłe zaokrąglenia. Zmień $\eff{K_p}$ albo wysokość półki, a nadal się zgadzają.

Rozdział 9: Od analizy do algebry ↗

Theo: W rozdziale 2 musieliśmy polatać dronem, żeby znaleźć zwis. Tutaj po prostu wypadł z ułamka.

Co teraz wiemy

Co udało nam się ustalić

Nachylenia stają się mnożeniem: $\mathcal{L}\{f'\} = sF(s) - f(0)$ . $f(0)$ pamięta, gdzie sygnał się zaczął. Zapomnij o nim, a odpowiedź zacznie w złym miejscu.
Wyprowadziliśmy własną tabelkę: $1/s$ , $1/(s-a)$ , $\omega/(s^2+\omega^2)$ i przesuniętą wersję dla gasnących sinusów. Pola skalują się i dodają, więc równanie możemy transformować składnik po składniku.
Wielkie ułamki rozkładają się na ułamki proste: jedna niewiadoma na każdą potęgę $s$ w każdym mianowniku, znaleziona sztuczką z zakrywaniem. Mianownik kwadratowy staje się gasnącym cosinusem i sinusem.
Transformuj, zrób algebrę, rozbij na kawałki z tabelki, odczytaj odpowiedź. Kawałek $A/s$ mówi, gdzie dron się ustali, razem ze zwisem. Zgadza się z symulacją dokładnie, pod warunkiem, że zachowasz wartości początkowe.

June: „Za każdym razem, gdy coś rozwiązywaliśmy, odpowiedź miała postać (coś) ÷ (wielomian od s), a zachowanie drona brało się z miejsc, gdzie mianownik jest zerem. A co, jeśli ten ułamek jest dronem?”

Rozdział 9: Od analizy do algebry ↗