Rozdział 4

Dlaczego funkcje wykładnicze są magiczne

Czy istnieje krzywa, której nachylenie jest jej własną kopią?

Rozdział 4: Dlaczego funkcje wykładnicze są magiczne ↗

Mnożenie, raz za razem

Theo: Ostatnio różnica między kawą a temperaturą pokoju malała w tempie proporcjonalnym do samej różnicy. Duża różnica: szybkie malenie. Mała różnica: powolne. Jaka krzywa tak się zachowuje?

June: Rozdział 3 dał nam już wskazówkę. Każdy mały krok mnożył różnicę przez tę samą liczbę. Zacznijmy więc od najprostszej maszyny do mnożenia, jaka istnieje: podwajania.

Weźmy coś, co podwaja się co sekundę. Po 1 s masz 2. Po 2 s: 2 × 2 = 4. Po 3 s: 2 × 2 × 2 = 8. Zapisujemy to jako $2^t$ : małe t u góry liczy, ile razy mnożymy przez 2.

Rozdział 4: Dlaczego funkcje wykładnicze są magiczne ↗

Przeciągnij liczbę sekund poniżej zera albo na pół sekundy. Zero sekund to jeszcze żadnego podwajania, więc $2^0 = 1$ . Sekunda wstecz cofa jedno podwojenie: $2^{-1} = \tfrac12$ . A pół sekundy musi być liczbą, która użyta dwa razy daje jedno podwojenie: $\sqrt2 \approx 1{,}41$ , bo 1,41 × 1,41 ≈ 2.

Mika: Czyli wykładnik nie musi być liczbą całkowitą. To po prostu „ile mnożenia już się wydarzyło”, a to może być trochę, dużo, a nawet coś ujemnego.

Oto te podwojenia jako drabinka słupków. Podziel każdy krok na połówki, potem ćwiartki, potem cieniutkie plasterki, i poprzesuwaj lupę:

Rozdział 4: Dlaczego funkcje wykładnicze są magiczne ↗

Mika: Gdziekolwiek postawię lupę, krok rośnie o tę samą część własnej wysokości. Wysokie słupki rosną o dużo, niskie o mało, ale zawsze o tę samą część.

Theo: To dokładnie cecha kawy: zmiana jest proporcjonalna do tego, ile czegoś jest. I spójrzcie na ostatni odczyt. Gdy kroki maleją, przyrost ÷ wysokość na sekundę zbliża się do pewnej liczby, dla podwajania około 0,69. Zapamiętajcie to.

Wzrost małymi kroczkami

Mika: Widziałam $e^t$ w podręcznikach. Czy $e$ to nie jest po prostu jakaś przypadkowa liczba, którą lubią matematycy? 2,718 z hakiem, nieważne.

June: Nie kłóćmy się o to. Zbudujmy regułę wzrostu i zobaczmy, jaka liczba z niej wypadnie.

Oto reguła: rośnij o 100 % tego, co masz, na sekundę. Najleniwiej jest zrobić jeden wielki krok: po 1 s masz 1 + 1 = 2. Ale to sztuczka June z wielkimi krokami z rozdziału 3. Przez całą sekundę używaliśmy tempa wzrostu z początku, chociaż kupka cały czas rosła.

Zróbmy więc mniejsze kroki. Dwa kroki po 50 %: 1,5 × 1,5 = 2,25. Cztery kroki po 25 %: 1,25 × 1,25 × 1,25 × 1,25 ≈ 2,44. Każdy krok powiększa kupkę, która już urosła.

Mika: Więcej kroków, więcej wzrostu! Przy nieskończenie wielu krokach dostaniemy nieskończenie dużo. Będę bogata.

Najpierw zgadnij! Dziel sekundę dalej: tysiąc kroków, milion, ile tylko chcesz. Co się dzieje z wynikiem po jednej sekundzie?

Rozdział 4: Dlaczego funkcje wykładnicze są magiczne ↗

Mika: Utknęło! Sto kroków, tysiąc, i nigdy nie przekracza 2,718. Tyle z mojej nieskończonej fortuny.

Rozdział 4: Dlaczego funkcje wykładnicze są magiczne ↗

Ten sufit to liczba $e$ . To do niej zbliżają się kroki, gdy stają się nieskończenie małe:

e = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} \approx 2{,}71828

Theo: A teraz przełącz widżet na malenie. Z $\left(1 - \frac1n\right)^n$ lądujemy na $1/e \approx 0{,}368$ : zostaje 36,8 %, czyli 63,2 % drogi za nami. To te 63 % z linijki stałej czasowej z rozdziału 3!

June: A to przecież moja kawa! Podziel jedną τ na n ręcznych kroków, $\Delta t = \tau/n$ : każdy krok mnoży różnicę przez $1 - \frac1n$ , więc po jednej τ różnica wynosi $\left(1 - \frac1n\right)^n$ tego, co na początku. Jeden gigantyczny krok ( $n = 1$ ) ląduje dokładnie na temperaturze pokojowej. Malutkie kroki zostawiają 36,8 %.

Krzywa, która kopiuje samą siebie

Teraz zapolujmy z linijką. Szukamy krzywej, której nachylenie w każdym punkcie jest stałą wielokrotnością jej wysokości. Drabinka mówi, że każda wykładnicza $b^t$ powinna się nadawać: $2^t$ , $3^t$ i koledzy. Przyłóżmy styczną do każdej krzywej i podzielmy jej nachylenie przez wysokość.

Rozdział 4: Dlaczego funkcje wykładnicze są magiczne ↗

Przeciągnij kursor wzdłuż dowolnej krzywej, a odczyt nachylenie ÷ wysokość ani drgnie. Każda wykładnicza kopiuje samą siebie, przeskalowaną o stałą liczbę. Dla podstawy 2 ta liczba to około 0,693 (ta, do której zbliżały się malejące kroki drabinki). Dla podstawy 3 to około 1,099.

A dla dokładnie jednej podstawy liczba skalująca wynosi 1, więc krzywa nachylenia leży dokładnie na samej krzywej. Jaka to podstawa?

\frac{d}{dt}\,e^{t} = e^{t}

Mika: To znowu 2,718! Ta sama liczba, którą dały nam małe kroczki. Dwa zupełnie różne polowania, jedna liczba. Dobra, odszczekuję: $e$ wcale nie jest przypadkowa.

Theo: No jasne, że ta sama. „Rośnij o 100 % tego, co masz, na sekundę, płynnie” oznacza nachylenie = wysokość. To jedno życzenie w dwóch przebraniach.

Przyspieszamy: e^(at)

Prawdziwe układy nie zmieniają się wszystkie w tym samym tempie, więc wstawmy pokrętło do wykładnika: $e^{at}$ . Liczba a rozciąga albo ściska czas.

Rozdział 4: Dlaczego funkcje wykładnicze są magiczne ↗

Teraz nachylenie ÷ wysokość wynosi dokładnie a, wszędzie na krzywej. Wyobraź sobie dlaczego: $e^{at}$ to film z $e^{t}$ puszczony a razy szybciej, więc każde nachylenie jest a razy bardziej strome. Dodatnie a: rośnie (i to coraz szybciej). Ujemne a: maleje do zera, jak różnica temperatur kawy. a = 0: po prostu stoi w miejscu.

\frac{d}{dt}\,e^{at} = a\,e^{at}

Pokrętło i podstawa to dwa spojrzenia na to samo: $e^{at} = \left(e^{a}\right)^{t}$ . Co sekundę krzywa mnoży się przez $e^{a}$ .

Rozdział 4: Dlaczego funkcje wykładnicze są magiczne ↗

Najpierw zgadnij! Weź nachylenie $e^{2t}$ , a potem nachylenie tego nachylenia. Co wychodzi?

\frac{d}{dt}e^{at} = a\,e^{at},\qquad \frac{d^2}{dt^2}e^{at} = a^2\,e^{at}

Theo: Chwila, to jest wielka rzecz. Dla wykładniczych branie nachylenia (analiza matematyczna) zamienia się w mnożenie przez a (zwykła algebra).

Zgadnij wykładniczą

Dla reguły, w której nachylenie to po prostu stałe liczby razy sama wielkość (nic do kwadratu, żadnych liczb zmieniających się w czasie), takiej jak reguła kawy, możemy spróbować funkcji wykładniczej: wstawić ją i znaleźć wartość a, która spełnia regułę. Inne reguły mogą wymagać innych kształtów.

Reguła kawy brzmiała $\frac{dT}{dt} = -\frac{T - 20}{\tau}$ , przy τ = 10 min. Nasze zgadywanie to $T = 20 + 70\,e^{at}$ (70 to początkowa różnica). Dostrajaj a, aż nachylenie zgadywanej krzywej zgodzi się z tym, czego żąda reguła.

Rozdział 4: Dlaczego funkcje wykładnicze są magiczne ↗

Algebra zgadza się z suwakiem. Nachylenie zgadywanej krzywej to $a \cdot 70e^{at}$ (20 nigdy się nie zmienia, więc jego nachylenie to 0, a 70 po prostu jedzie z nami na gapę). Reguła chce $-70e^{at}/\tau$ . $70e^{at}$ pojawia się po obu stronach i się skraca:

a \cdot 70e^{at} = -\frac{70e^{at}}{\tau} \quad\Longrightarrow\quad a = -\frac{1}{\tau}

Theo: I trafia dokładnie w kropki, które zbudowaliśmy ręcznie w rozdziale 3. Zgadywanie wykładniczej działa. Równanie, które wyznacza a, nazywa się równaniem charakterystycznym.

Sprężyna psuje nasz trik

June: Wypróbujmy to na czymś, co podskakuje. Masa na sprężynie to w zasadzie nasz dron z regulatorem P: im dalej od celu, tym mocniej ciągnięta z powrotem.

Sprężyna ciągnie z powrotem siłą $-kx$ . Siła = masa × przyspieszenie, a przyspieszenie to nachylenie nachylenia (rozdział 3). Więc reguła to:

m\,\frac{d^2x}{dt^2} = -k\,x

Zgadnij $x = e^{at}$ . Nachylenie nachylenia to $a^2 e^{at}$ , więc $m a^2 e^{at} = -k e^{at}$ . Skróć $e^{at}$ :

a^2 = -\frac{k}{m}

Przy k/m = 4 potrzebujemy liczby, której kwadrat to −4. Poszukaj jej:

Rozdział 4: Dlaczego funkcje wykładnicze są magiczne ↗

Theo: Kwadraty nigdy nie są ujemne. Niebieska parabola nigdy nie schodzi do zielonej linii. Więc takiego a nie ma. Nasz trik zawodzi: sprężyn po prostu nie da się opisać wykładniczymi.

Mika: Ale sprężyna jest tuż obok i wesoło podskakuje. Ma jakiś ruch. Może to nie sprężyna jest w błędzie, tylko nasze wyobrażenie o tym, co się liczy jako liczba?

Theo: …Hmm. Przyznaję, że to „nie ma takiej liczby” powiedziałem trochę za szybko. Każda liczba, o której wiem, do kwadratu daje coś dodatniego.

Co już wiemy

Co udało nam się ustalić

$b^t$ oznacza „pomnóż przez b, t razy”, a t może być czymkolwiek: $2^0 = 1$ , $2^{-1} = \tfrac12$ , $2^{0{,}5} = \sqrt2$ .
Wzrost o 100 % na sekundę w coraz mniejszych kroczkach wypłaszcza się na $e \approx 2{,}718$ . Malenie w ten sam sposób zostawia $1/e \approx 0{,}368$ : linijka 63 % z rozdziału 3.
Nachylenie każdej wykładniczej jest jej kopią: nachylenie ÷ wysokość jest stałe.
$e \approx 2{,}718$ to podstawa, dla której ten stosunek wynosi dokładnie 1. Dla $e^{at}$ stosunek wynosi a.
Branie nachylenia $e^{at}$ to po prostu mnożenie przez a. Analiza zamienia się w algebrę.
Zgadnij wykładniczą, wstaw ją do reguły i wylicz a. Dla kawy a = −1/τ.
Dla sprężyny zgadywanie wymaga $a^2 = -k/m$ , a żadna zwykła liczba tego nie spełnia. Jeszcze.

Dron i sprężyna się kołyszą. Wykładnicze tylko rosną albo maleją. Chyba że… jakaś liczba do kwadratu mogłaby dać wartość ujemną?

Rozdział 4: Dlaczego funkcje wykładnicze są magiczne ↗