Rozdział 5

Wirujące liczby

Jaka liczba do kwadratu daje −1 i dlaczego miałaby się kołysać?

Liczby to strzałki

Mika: Ostatnio sprężyna potrzebowała liczby, dla której $a^2 = -4$ . Theo powiedział, że taka nie istnieje. Ale jak by ona w ogóle wyglądała?

Wyobraź sobie każdą liczbę jako strzałkę od 0 wzdłuż osi liczbowej. Mnożenie przez 2 rozciąga strzałkę. Mnożenie przez ½ ją skraca. A mnożenie przez −1 odwraca ją w przeciwną stronę. To pół obrotu.

June: Ooo. Jeśli ×(−1) to pół obrotu… to co jest połową pół obrotu? Ćwierć obrotu! Strzałka wskazywałaby prosto w górę, poza oś liczbową.

Nazwijmy ćwierć obrotu: i. Zrób to dwa razy, a wyjdzie pół obrotu, czyli ×(−1). Więc $i \cdot i = -1$ . Oto nasza liczba, której kwadrat jest ujemny!

Rozdział 5: Wirujące liczby ↗

i^2 = -1 \qquad\text{(dwa ćwierćobroty = pół obrotu)}

Theo: Zaraz. To są „liczby urojone”. Wszyscy wiedzą, że są zmyślone. Nie mogą opisywać prawdziwej, fizycznej sprężyny.

June: One nie są urojone, one są boczne! To po prostu strzałka w 2D. Skręt w lewo jest tak samo prawdziwy jak marsz do przodu.

Liczba taka jak $3 + 2i$ oznacza po prostu „3 kroki wzdłuż, 2 kroki w bok”. Cała płaszczyzna strzałek to scena dla wszystkiego, co będzie dalej.

Mierzenie obrotów

June: Skoro i to ćwierć obrotu, będziemy obracać strzałki przez cały dzień. Jak więc powiedzieć, o ile strzałka się obróciła?

Stopnie to stary nawyk: 360 na obrót, bo pewien starożytny kalendarz lubił liczbę 360. Matematycy mierzą obrót samym okręgiem. Potocz koło o promieniu 1 i zobacz, jaką drogę przebędzie jego obręcz. Radian to kąt, którego łuk ma długość dokładnie jednego promienia.

Najpierw zgadnij! Ile radianów ma jeden pełny obrót?

Rozdział 5: Wirujące liczby ↗

Śledź grot strzałki, gdy się obraca. Jego cień na osi rzeczywistej to cosinus kąta, $\cos\theta$ ; jego cień na osi bocznej to sinus, $\sin\theta$ . Obracaj równo, a oba cienie narysują fale, przy czym sinus spóźnia się o ćwierć obrotu za cosinusem.

Mika: Już wiem. Czyli bączek przy 2 radianach na sekundę robi dwa obroty na sekundę!

Theo: Dwa obroty na sekundę to byłoby $4\pi$ radianów na sekundę. Dwa radiany na sekundę to jeden pełny obrót co $2\pi/2 \approx 3{,}14$ sekundy.

Nowe pojęcia

Radian: Kąt, którego łuk ma długość jednego promienia. Pełny obrót to $2\pi$ radianów, pół obrotu to $\pi$ .
Cosinus i sinus: Cienie strzałki o długości 1 pod kątem θ: $\cos\theta$ wzdłuż osi rzeczywistej, $\sin\theta$ w bok.

Liczba, która wiruje

Prędkość obrotu mierzymy w radianach na sekundę: bączek przy 2 radianach na sekundę wykonuje pełny obrót w $2\pi/2 \approx 3{,}14$ sekundy. Symbol ω oznacza tę prędkość obrotu.

Teraz wyobraź sobie punkt biegnący po okręgu ze stałą szybkością, ω radianów na sekundę. Gdzie wskazuje jego prędkość? (To prędkość z rozdziału 3, tylko z kierunkiem, więc prędkość poruszającej się strzałki też jest strzałką: w którą stronę idzie jej grot i jak szybko.) Zawsze wzdłuż okręgu, czyli ćwierć obrotu przed strzałką do punktu.

Ćwierć obrotu to ×i, a wartość prędkości to ω razy promień. Więc prędkość to położenie obrócone o ćwierć obrotu, razy ω: prędkość = iω × położenie.

Theo: Chwila. „Nachylenie to stała liczba razy ono samo” to dokładnie własność wykładniczej z rozdziału 4! Z a = iω.

Mika: Ale zaraz. W rozdziale 4 potęga oznaczała „ile razy mnożyliśmy”. Co w ogóle miałoby znaczyć $e$ do potęgi $i\theta$ ? Pomnożyć przez $e$ $i\theta$ razy?

June: Zbudujmy to jak w rozdziale 4. $e$ to było $n$ malutkich kroków wzrostu o $\frac1n$ . Niech każdy malutki krok będzie zamiast tego małym pchnięciem w bok.

e^{i\theta} = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{i\theta}{n}\right)^{n}

Rozdział 5: Wirujące liczby ↗

Każdy krok obraca strzałkę o malutki kąt, około $\theta/n$ radianów, i odrobinę ją wydłuża. Przy większej liczbie kroków wydłużanie znika, a ścieżka ląduje na okręgu, dokładnie θ radianów dalej. Właśnie dlatego radiany: malutkie pchnięcia w bok sumują się wzdłuż obręczy. Czyli $e^{i\theta}$ to po prostu punkt na okręgu pod kątem θ.

Czyli $e^{i\omega t}$ wcale nie jest straszne. To punkt wirujący po okręgu o promieniu 1, ω radianów na sekundę. Obserwuj go i obserwuj jego cień na osi rzeczywistej:

Rozdział 5: Wirujące liczby ↗

\begin{aligned}\frac{d}{dt}\,e^{i\omega t} &= i\omega\,e^{i\omega t} \\ \text{cień na osi rzeczywistej} &= \cos(\omega t)\end{aligned}

Cień przesuwa się tam i z powrotem jako idealna fala cosinusa. Wirująca strzałka widziana z boku to kołysanie. Tu właśnie ukrywało się kołysanie.

Co już wiemy

Co udało nam się ustalić

Liczby to strzałki. Mnożenie je obraca i rozciąga. i to ćwierć obrotu, więc $i^2 = -1$ .
Radian to kąt, którego łuk ma długość jednego promienia: pełny obrót to $2\pi$ . cos θ i sin θ to cienie obróconej strzałki.
$e^{i\theta}$ , zbudowane z malutkich kroków w bok $\left(1 + \frac{i\theta}{n}\right)^n$ , to punkt na okręgu pod kątem θ.
$e^{i\omega t}$ to punkt wirujący po okręgu. Jego cień to fala cosinusa.
Prędkość bączka jest zawsze ćwierć obrotu przed jego położeniem: prędkość $= i\omega \times$ położenie. To reguła wykładniczej z $a = i\omega$ .

Mika: „Czyli tajemnicza liczba sprężyny jednak istnieje: to 2i. Czy to znaczy, że prawdziwa sprężyna kołysze się w bok?”

Rozdział 5: Wirujące liczby ↗