Sonda Laplace'a

Sonda do sygnałów

Theo: Za każdym razem, gdy coś rozwiązywaliśmy, zgadywaliśmy $e^{st}$, wstawialiśmy i modliliśmy się. A teraz dodaj grawitację, wysokość początkową, regulator… mój zeszyt płonie.

June: Kiedy coś buduję, trik zawsze polega na zamianie trudnej roboty w łatwą. Trudna: analiza z nachyleniami nachyleń. Łatwa: zwykła algebra z $+$, $-$, $\times$, $\div$.

Mika: Czyli potrzebujemy maszyny, która zjada krzywą i wypluwa coś, w czym nachylenia zamieniają się w mnożenie? Coś takiego istnieje?

Istnieje, i możemy ją zbudować z rzeczy, które już mamy. Pomysł jest taki. Weź dowolny sygnał, czyli dowolną krzywą zmieniającą się w czasie, $f(t)$. Pomnóż go przez sondę, wykładniczą $e^{-st}$ z rozdziału 4 (dla dodatniego $s$ maleje). Potem zmierz całkowite pole pod iloczynem (zebrane pole z rozdziału 3), aż do $t = \infty$.

I tyle. Liczba $s$ wchodzi, pole wychodzi. Wypróbuj różne wartości $s$, a dostaniesz całą nową krzywą $F(s)$. Ta krzywa to transformata Laplace'a sygnału $f$: odcisk palca sygnału. Dwa różne (rozsądne) sygnały nigdy nie mają tej samej $F(s)$, i właśnie dlatego później będziemy mogli odczytywać odpowiedzi wstecz.

Najpierw zgadnij! Weź najprostszy sygnał, skok: $f(t) = 1$ na zawsze. Gdy zwiększamy $s$, co dzieje się z polem pod $1 \cdot e^{-st}$?

Rozdział 8: Sonda Laplace'a ↗

Rozdział 8: Sonda Laplace'a ↗

Przesuwaj $s$ w widżecie, a kropki ułożą się dokładnie w to $1/s$. Wypróbuj też inne sygnały. Rosnący sygnał $e^{0{,}5t}$ ma skończone pole tylko wtedy, gdy sonda maleje szybciej, niż sygnał rośnie, czyli gdy $s > 0{,}5$. Poniżej tej wartości pole ucieka do nieskończoności. Kołysanie $\sin 2t$ zawodzi inaczej: przy $s = 0$ jego pole po prostu przelewa się tam i z powrotem między 0 a 1 (ujemne pole z rozdziału 3 znosi dodatnie) i nigdy nie ustala się na jednej liczbie.

Całkowite pole musi ustalić się na skończonej wartości, żeby każde $s$ dostało jedną liczbę. Jeśli sonda zanika zbyt wolno, pole rośnie bez końca i takie $s$ nie ma odpowiedzi.

Transformata zdradza, gdzie „mieszka” sygnał

Przyjrzyjmy się bliżej $f(t) = e^{at}$. Zbadaj go sondą $e^{-st}$, a iloczyn wyniesie $e^{(a-s)t}$, zwykłą wykładniczą. Dopóki $s > a$, zanika, a jej pole to $\frac{1}{s-a}$ (porządnie wyprowadzimy to, gdy w następnym rozdziale zbudujemy naszą tabelkę).

Rozdział 8: Sonda Laplace'a ↗

Mika: Gdy $s$ zbliża się do $a$, liczba robi się ogromna! Przy $s = a$ sonda dokładnie znosi wzrost, iloczyn jest płaski na zawsze, a pole jest nieskończone.

Theo: Czyli transformata wybucha dokładnie w tym $s$, w którym mieszka sygnał. Gdybym dostał tylko $F(s)$, mógłbym znaleźć $a$ sygnału, szukając miejsca, w którym wybucha.

Rozdział 8: Sonda Laplace'a ↗

Mika: To jak czujnik dymu. Przesuwaj $s$ w stronę $a$, a wyje coraz głośniej. Stań dokładnie na $a$, a nie przestanie nigdy.

Teraz niech $s$ będzie zespolone, $s = \sigma + i\omega$, jak nasze wirujące liczby z rozdziału 5. Jako sygnał weź bączka sprężyny z rozdziału 6, $e^{2it}$ (połowę jego bliźniaczej pary). Sonda $e^{-st}$ go zmniejsza (to część pozioma, $\sigma$) i obraca go do tyłu (to część pionowa, $\omega$). Poniżej małe kawałki pola iloczynu są dodawane jako strzałki, koniec do początku, jedna strzałka na każdą ćwierć sekundy. Obserwuj bieżącą sumę.

Rozdział 8: Sonda Laplace'a ↗

June: Kiedy sonda wiruje dokładnie z prędkością 2, sygnał przestaje wirować, wszystkie kawałki wskazują w tę samą stronę i suma jest największa z możliwych: $1/\sigma$, która ucieka do nieskończoności, gdy σ maleje do 0. Kiedy się nie zgadzają, strzałki zawijają się w kółko i znoszą.

Ta sama lekcja, o jeden wymiar wyżej: transformata wybucha w zespolonym $s$, w którym mieszka sygnał. Dlatego od teraz każde $s$ będziemy rysować na mapie z $\sigma$ w poziomie i $\omega$ w pionie. Nasza „mapa $s$” z rozdziału 6 wreszcie dostaje dorosłą nazwę: płaszczyzna s.

Co teraz wiemy

Theo: „Czyli sonda mówi nam, gdzie mieszka sygnał. Ale chcieliśmy, żeby nachylenia zamieniały się w mnożenie. Co sonda robi z nachyleniem?”