Rozdział 3

Język zmiany

Jak opisać, jak szybko coś się zmienia?

Nachylenie to prędkość

Theo: Ciągle mówimy „ospały”, „rozkołysany”, „uspokaja się”. June ma rację: to wrażenia, a nie matematyka. Chcę precyzyjnie powiedzieć, jak szybko dron się zmienia.

June: Odtwórzmy naszego drona z rozdziału 2 (Kp = 20 N/m) i przyjrzyjmy się z bliska.

Niebieska krzywa to wysokość drona w czasie. Prędkość to o ile zmienia się wysokość w ciągu sekundy. Na wykresie to, jak stroma jest krzywa w danej chwili. Przyłóż linijkę do krzywej tak, żeby dotykała jej tylko w jednym punkcie. Ta linijka to styczna, a jej nachylenie to prędkość.

Mika: Proste: dron leci najszybciej na samym szczycie górki, bo tam jest najwyżej!

Rozdział 3: Język zmiany ↗

Theo: Ustaw kursor na szczycie górki. Styczna jest pozioma. Prędkość wynosi tam zero!

Mika: Oj. Dron się wznosi, traci prędkość w górę, na szczycie zatrzymuje się na moment i spada z powrotem. Wysoko i szybko to zupełnie różne rzeczy.

Najszybszy moment jest tak naprawdę w połowie wznoszenia, tam, gdzie krzywa jest najbardziej stroma. A kiedy krzywa idzie w dół, nachylenie jest ujemne: dron spada.

To „nachylenie w jednej chwili” ma swoją nazwę: pochodna. Zapisujemy ją jak malutką zmianę wysokości podzieloną przez malutki czas, jaki jej to zajęło. W symbolach $\Delta h / \Delta t$ czytamy „zmiana wysokości przez zmianę czasu”: grecka litera Δ (delta) to skrót od słowa zmiana.

\begin{gathered}\text{prędkość} = \frac{d\out{h}}{dt} \\[1em] \approx \frac{\text{zmiana wysokości}}{\text{zmiana czasu}} \\[1em] (\text{w bardzo krótkim czasie})\end{gathered}

Reguła na prędkość

June: Moja kawa stygnie najpierw szybko, a potem naprawdę powoli. Nigdy do końca nie dochodzi do temperatury pokojowej.

Theo: Bo szybkość stygnięcia zależy od tego, ile jeszcze zostało do przebycia. Bardzo gorący kubek szybko traci ciepło. Ledwo ciepły prawie nie traci.

Zapiszmy to jako regułę na nachylenie. Temperatura kawy to T, pokój ma 20 °C:

\frac{d\out{T}}{dt} = -\frac{\out{T} - \sp{T_{\text{pokój}}}}{\tau}

Minus mówi „stygnij, gdy jesteś cieplejsza od pokoju”. Liczba τ (tau, stała czasowa) mówi, jak ospały jest kubek. Wyobraź to sobie tak: τ to czas, w jakim kawa doszłaby do temperatury pokojowej, gdyby cały czas stygła w tempie z samego początku. Dla zwykłego kubka τ ≈ 10 minut.

Zagadka jest taka: reguła mówi nam tylko o nachyleniu w tej chwili. Czy da się z niej wyciągnąć całą krzywą? Zbudujmy ją ręcznie: spójrz na nachylenie, idź wzdłuż niego przez chwilkę (Δt), spójrz na nowe nachylenie, idź znowu…

Rozdział 3: Język zmiany ↗

June: Dwanaście małych kroczków to nuda. Zrobię kroki po 15 minut i skończę w mgnieniu oka.

June: …Chwila. Kawa ma −15 °C?! Zamarzła w ciepłym pokoju?

Theo: Reguła jest w porządku. Problemem są kroki. W jednym gigantycznym kroku cały czas używasz stromego nachylenia z początku kroku, długo po tym, jak przestało być prawdziwe. Przelatujesz prosto przez temperaturę pokojową.

Możemy dokładnie zobaczyć, o ile. Każdy krok mnoży różnicę względem temperatury pokojowej przez tę samą liczbę:

\text{różnica}_{\text{następna}} = \left(1 - \frac{\Delta t}{\tau}\right) \cdot \text{różnica}

Δt mniejsze niż τ: czynnik jest między 0 a 1. Różnica maleje, bez przeregulowania.
Δt dokładnie równe τ: czynnik wynosi 0. Jeden krok ląduje dokładnie na temperaturze pokojowej: to początkowe tempo utrzymane przez całą τ.
Δt między τ a 2τ: czynnik jest ujemny. Kawa przestrzeliwuje poniżej temperatury pokoju, potem powyżej, kołysze się w tę i z powrotem, a wahania maleją.
Δt większe niż 2τ: czynnik jest mniejszy niż −1. Wahania rosną z każdym krokiem. Kawa bez sensu.

Mika: To przecież prysznic! Zbyt śmiałe działanie na podstawie starych informacji powoduje wahania.

Ustaw małe Δt i włącz gładką krzywą. Ręcznie zbudowane kropki lądują dokładnie na niej. Ten gładki kształt nazywa się zanikiem wykładniczym. Następny rozdział jest cały o nim.

Prawdziwa kawa nigdy nie utrzymuje początkowego tempa: nachylenie maleje razem z różnicą. Dlatego po jednej τ pokonuje tylko około 63 % różnicy, a nie całą. Na linijce poniżej przerywana linia to początkowe tempo utrzymane do końca, a krzywa to to, co dzieje się naprawdę. Skąd się bierze 63 %? Zbudujemy to w rozdziale 4.

Stała czasowa to linijka

Najpierw zgadnij! Po jednej stałej czasowej kawa pokonała 63 % różnicy względem temperatury pokojowej. Jaką część różnicy pokona po dwóch stałych czasowych?

Rozdział 3: Język zmiany ↗

Po 1τ: 63 %. Po 2τ: 86 %. Po 3τ: 95 %. Nigdy nie dochodzi dokładnie do celu, ale po mniej więcej 4–5 τ nikt nie zauważy różnicy. Przełącz na zbiornik: napełnia się rurą z dużego rezerwuaru, w którym woda stoi na wysokości 1,2 m, a przepływ napędza różnica poziomów, więc zwalnia, w miarę jak zbiornik dogania rezerwuar. Reguła jest ta sama („tempo proporcjonalne do tego, ile brakuje do pełna”) i kształt też.

June: Czyli τ to wbudowana linijka. Podaj mi τ, a będę wiedzieć, jak ospała jest dana rzecz, czy to kubek, zbiornik, czy dron.

Nowe pojęcia

Pochodna: Nachylenie krzywej w jednej chwili: jak szybko coś się zmienia. Zapisywana $\frac{dh}{dt}$ lub $\dot h$ .
Układ pierwszego rzędu: Coś, czego tempo zmiany jest proporcjonalne do tego, jak daleko jest od miejsca, do którego zmierza (kawa, zbiorniki). Jego krzywa to wykładnicza.
Stała czasowa τ: Czas, w jakim układ pierwszego rzędu doszedłby do celu, gdyby utrzymał początkowe tempo. Naprawdę w tym czasie pokonuje 63 % pozostałej drogi.

W drugą stronę: sumowanie pola

Theo: Nachylenie zamienia wysokość w prędkość. Czy da się pójść w drugą stronę? Załóżmy, że czujnik drona podaje nam tylko jego prędkość. Gdzie on jest?

Jeśli lecisz ze stałą prędkością 2 m/s przez 3 s, wznosisz się o 6 m: prędkość × czas. Na wykresie prędkości w czasie to pole prostokąta. Kiedy prędkość ciągle się zmienia, pokrój czas na cienkie paski, potraktuj każdy pasek jak prostokąt i dodaj je wszystkie.

Przesuwaj kursor i patrz, jak rośnie zacieniowane pole. Niebieska krzywa poniżej to po prostu pole zebrane do tej pory. Tam, gdzie prędkość spada poniżej zera (dron spada), pole liczy się jako ujemne i wysokość maleje.

Rozdział 3: Język zmiany ↗

Mika: Zebrane pole ląduje dokładnie na prawdziwej wysokości. Nachylenie prowadzi w jedną stronę, pole przyprowadza z powrotem.

Ta operacja „zbierania pola” nazywa się całką. Jej znak ∫ to rozciągnięte S, od słowa suma: suma cienkich pasków. Małe $dt$ to szerokość każdego paska, a $0$ i $t$ mówią, gdzie zacząć i gdzie skończyć dodawanie:

\out{h}(t) = \out{h}(0) + \int_0^{t} \text{prędkość}\;dt

Nachylenie nachylenia

Mika: Rozdział 1 coś nam obiecał. Równanie drona miało dwie kropki nad $h$ . Jedna kropka to prędkość. A co oznacza druga?

Prędkość sama jest krzywą, więc też ma nachylenie: to, jak szybko zmienia się prędkość. To jest przyspieszenie, nachylenie nachylenia. Poniżej trzy razy ten sam lot: wysokość, jej nachylenie (prędkość) i nachylenie tego nachylenia (przyspieszenie), wszystko z jednym kursorem czasu.

Najpierw zgadnij! Na samym szczycie górki prędkość wynosi zero. Jakie jest tam przyspieszenie?

Rozdział 3: Język zmiany ↗

Mika: Powiedziałam, że zero! A na szczycie krzywa prędkości najbardziej stromo opada w dół. Zerowa prędkość nie oznacza zerowego pchania.

Dwie kropki oznaczają nachylenie nachylenia. Jest jeszcze trzeci sposób zapisu nachyleń, z małymi kreseczkami zwanymi primami: $h'$ („h prim”) to nachylenie, $h''$ („h bis”) to nachylenie nachylenia. Trzy zapisy, jedna idea:

Nowe pojęcia

$\dot h = h' = \frac{dh}{dt}$: Nachylenie $h$ : jego prędkość.
$\ddot h = h'' = \frac{d^2 h}{dt^2}$: Nachylenie nachylenia: przyspieszenie.
$\Delta$: „Zmiana”: $\Delta t$ to krok czasu.
$\int$: Rozciągnięte S, od słowa „suma”: sumowanie pola.

Teraz równanie z rozdziału 1 czyta się jak zdanie. Masa razy przyspieszenie równa się wszystkiemu, co pcha: ciąg w górę, ciężar w dół i opór przeciw prędkości. To druga zasada dynamiki Newtona, wyraz po wyrazie:

\underbrace{0{,}5\,\ddot{\out{h}}}_{\text{masa}\times\text{przyspieszenie}} = \underbrace{\eff{T}}_{\text{ciąg}} - \underbrace{4{,}9}_{\text{ciężar}} - \underbrace{1{,}0\,\dot{\out{h}}}_{\text{opór}\,\times\,\text{prędkość}}

Theo: Czyli reguła kawy mówiła o jej prędkości, a reguła drona mówi o jego przyspieszeniu: o jedno nachylenie głębiej. Czy to dlatego dron może przestrzelić i się kołysać, a kawa nigdy?

June: Na pewno. Prędkość kawy po prostu idzie za różnicą. Prędkość drona trzeba rozpędzić i wytracić, więc może się jeszcze ruszać, kiedy dron dotrze do celu.

Co już wiemy

Co udało nam się ustalić

Pochodna to nachylenie krzywej w jednej chwili: jak szybko się zmienia. Wysoko i szybko to różne rzeczy.
Reguła typu „stygnij tym szybciej, im jesteś cieplejsza” wyznacza całą krzywą: wykładnicze dochodzenie do celu.
Stała czasowa τ to linijka: 63 % drogi po τ, 86 % po 2τ, 95 % po 3τ.
Budowanie krzywych za dużymi krokami tworzy fałszywe przeregulowanie i wahania, zupełnie jak prysznic.
Nachylenie nachylenia to przyspieszenie: $\ddot h$ albo $h''$ . Równanie drona z rozdziału 1 to reguła właśnie na nie.
Całka zbiera pole i odwraca pochodną.

Theo: „Krzywa kawy miała zabawną własność: jej nachylenie było zawsze proporcjonalne do tego, ile jeszcze brakowało. Czy istnieje krzywa, której nachylenie jest proporcjonalne do niej samej?”

Rozdział 3: Język zmiany ↗