Rozdział 12

Powrót pod prysznic

Dlaczego oscylowaliśmy i jak blisko krawędzi jesteśmy?

Nowe spojrzenie na prysznic

June: Podłączyłam nasz dronowy PID do prysznica (ta sama żwawość, tylko przeliczona na jednostki kurka). Huśtało go: gorąco, zimno, gorąco… zupełnie jak Mikę w rozdziale 0. Dron nigdy tak nie robił!

Theo: Dron nie ma dużego opóźnienia. Prysznic ma 2,5 sekundy rury. Wreszcie ustalmy, co właściwie robi opóźnienie.

Prysznic ma dwie powolne części: rurę, czyste opóźnienie 2,5 s, oraz wygładzacz, czyli nagrzewające się słuchawkę i ścianki rury, ze stałą czasową z rozdziału 3, $\tau = 1$ s (po 1 s zamyka 63 % różnicy do nowej temperatury).

Najpierw wyznanie w sprawie „zwykłej ręki” z rozdziału 0. Kręciła kurkiem z prędkością proporcjonalną do tego, jak bardzo woda odbiegała od celu: prędkość kurka $= k\cdot\err{e}$ , gdzie $k = 0{,}8\,\%$ zakresu kurka na sekundę na każdy °C. Prędkość proporcjonalna do uchybu oznacza, że położenie kurka to stos dawnego uchybu. To regulator I, z $K_i = k$ .

Mika: Chwila, czyli w rozdziale 0 byłam regulatorem PID? No, regulatorem I. Nadgorliwym.

Opóźnienie to przesunięcie w kołysaniu

Theo: Dalej uważam, że opóźnienie tylko wszystko spowalnia. Nie powinno móc niczego zdestabilizować.

Najpierw oddzielmy czyste opóźnienie rury od reszty. Wyobraź sobie falę sinusoidalną, która przechodzi od wejścia rury do słuchawki bez wygładzania: na wyjściu ma ten sam kształt, tylko pojawia się 2,5 s później. Jak duże to opóźnienie w porównaniu z jednym pełnym wahnięciem?

Rozdział 12: Powrót pod prysznic ↗

Theo: Chwila. Przy wahnięciu co 5 sekund gorąca woda przychodzi dokładnie wtedy, gdy kurek prosi o zimną. To nie jest wolniej. To jest na odwrót.

Opóźnienie rury nadal wynosi 2,5 s, ale wywołane nim opóźnienie fazowe zależy od szybkości wahań. Oznaczmy kąt opóźnienia przez $\phi$ , a samo opóźnienie przez $L$ . Jeśli jedno wahnięcie trwa $T$ sekund (tutaj $T$ to czas, nie temperatura), częstość kołowa wynosi $\omega=2\pi/T$ radianów na sekundę. Dodatnie opóźnienie oznacza, że wyjście wlecze się za wejściem. Inżynierowie zapisują opóźnienie jako kąt ujemny, dlatego wykresy poniżej idą w dół.

Jedno całe wahnięcie to jeden pełny obrót wirującej strzałki z rozdziału 5: 360°, czyli 2π radianów. Liczy się więc to, jaki ułamek wahnięcia obejmuje opóźnienie: $L/T$ .

\phi = \underbrace{\frac{L}{T}}_{\text{ułamek wahnięcia}}\cdot 360^\circ = \omega L \text{ radianów},\qquad \omega = \frac{2\pi}{T}

Rozdział 12: Powrót pod prysznic ↗

Przy wahnięciu co 5 sekund 2,5 s to pół wahnięcia: 180°. W tym modelu czystego opóźnienia każdy szczyt na wyjściu wypada naprzeciw doliny na wejściu. Wygładzacz prysznica dodatkowo zmniejsza szybkie wahania; zaraz go dodamy.

Mika: Czyli te same 2,5 s to lekkie szturchnięcie dla leniwego wahnięcia i pełne odwrócenie dla szybkiego. Rura się nie zmienia. Zmienia się wahnięcie!

Sonda widzi opóźnienie

Sonda z rozdziału 8 daje ten sam czynnik dla dowolnego sygnału, nie tylko dla wirującej strzałki. Sygnał, który przychodzi $L$ sekund później, zaczyna zbierać pole $L$ sekund później, a do tego czasu sonda zmalała już o czynnik $e^{-sL}$ . Zanim sygnał przyjdzie, jest zerem, więc podstaw $u = t - L$ :

\int_0^\infty f(t-L)\,e^{-st}\,dt = \int_0^\infty f(u)\,e^{-s(u+L)}\,du = e^{-sL}\,F(s)

Czyste opóźnienie mnoży więc każdą transformatę przez $e^{-sL}$ . To jego transmitancja, a na prostej $s = i\omega$ to dokładnie obrót wstecz o $\omega L$ opisany wyżej.

Theo: Ale $e^{-sL}$ nie jest ilorazem wielomianów. Gdzie są jego bieguny?

June: Nigdzie, gdzie dałoby się je wypisać. Włóż je do pętli, a $1 + C\,P = 0$ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Dlatego ten rozdział przestaje rysować mapy biegunów i zamiast tego mierzy wahania.

Mierzymy prysznic, wahnięcie po wahnięciu

Dodajmy teraz do opóźnienia rury wygładzacz. Słuchawka i ścianki rury potrzebują czasu, żeby się nagrzać, więc cały prysznic zarówno opóźnia, jak i wygładza zmiany ustawienia kurka. Plan jest taki: poruszaj kurkiem w jednym rytmie, poczekaj na ustalone wahania i zmierz dwie liczby:

Wzmocnienie (to samo słowo co wzmocnienie regulatora: wielkość na wyjściu ÷ wielkość na wejściu): jak duże jest wahanie temperatury w porównaniu z wahaniem mieszanki wody, o które prosiliśmy.
Faza: jak bardzo jest spóźnione, wyrażone jako kąt: jego ułamek całego wahnięcia razy 360°.

Każdy pomiar stawia kropkę na dwóch wykresach. Zmierz co najmniej pięć prędkości, powolnych i szybkich.

Rozdział 12: Powrót pod prysznic ↗

Ściśnięta linijka

Na tych wykresach każde ×10 to jeden równy krok wzdłuż osi: od 0,1 do 1 zajmuje tyle miejsca co od 1 do 10. Połowa drogi między 0,1 a 1 to około 0,3, a nie 0,55. Linijka jest ściśnięta (w podręcznikach to skala logarytmiczna), żeby wahnięcie trwające 100 sekund i takie trwające 3 sekundy zmieściły się na jednym wykresie. Spójrz na tej linijce na wzmocnienie wygładzacza: płaskie dla powolnych wahań, a dla szybkich zjeżdża w dół prawie prostą linią, z zakrętem w pobliżu $\omega = 1/\tau$ .

June: Równe kroki to równe razy, a nie równe plusy. Jak oktawy na pianinie!

Ściśnięta linijka ma drugi dar: na niej mnożenie staje się dodawaniem. ×10 to zawsze jeden krok w górę, niezależnie od tego, skąd zaczynasz, a ×0,1 jeden krok w dół. Dlatego oś wzmocnienia też jest ściśnięta. W pętli wzmocnienia się mnożą (ręka × wygładzacz × rura), więc na tej linijce ich wysokości po prostu się dodają, tak jak ich opóźnienia fazowe. To logarytm z rozdziału 4 w akcji: $\ln(a\,b) = \ln a + \ln b$ .

Wygładzacz zmniejsza szybkie wahania, a rura nadal dodaje opóźnienie fazowe. Wykresy wzmocnienia i fazy w zależności od szybkości wahań tworzą charakterystyki Bodego. Razem opisują charakterystykę częstotliwościową prysznica: jak traktuje każdą prędkość wahań. Tutaj wejściem jest temperatura zmieszanej wody, więc powolne wahania mają wzmocnienie 1. Gdyby wejściem było ustawienie kurka, wzmocnienie byłoby 45 razy większe. Żeby dostać charakterystykę częstotliwościową ze wzoru, wstaw $s = i\omega$ : ten sam trik, który znalazł krawędź w rozdziale 11. (Działa to, bo sam prysznic jest stabilny, więc jego wahania ustalają się w równym rytmie, który możemy zmierzyć.)

Co wygładzacz robi z wirującą strzałką

Theo: Znowu trik z rozdziału 4: zgadnij, że odpowiedź to ta sama wirująca strzałka, tylko o innej długości i pod innym kątem.

\tau\,\dot y + y = u,\quad u = e^{i\omega t},\ y = Y\,e^{i\omega t} \;\Rightarrow\; (1 + i\omega\tau)\,Y = 1 \;\Rightarrow\; Y = \frac{1}{1+i\omega\tau}

Wstaw wirującą strzałkę $e^{i\omega t}$ do reguły wygładzacza, a strzałka $Y$ musi spełniać $(1 + i\omega\tau)\,Y = 1$ . Strzałki z rozdziału 7: $1 + i\omega\tau$ ma długość $\sqrt{1+\omega^2\tau^2}$ i jest skierowana w górę pod kątem $\arctan(\omega\tau)$ . Dzielenie przez nią skraca o tę długość i obraca wstecz o ten kąt. Powolne wahania prawie tego nie zauważają. Szybkie zostają zgniecione i spóźniają się coraz bliżej ćwierć obrotu, ale nigdy więcej.

Rozdział 12: Powrót pod prysznic ↗

G(i\omega) = \frac{e^{-i\omega L}}{1 + i\omega\tau}, \qquad |G| = \frac{1}{\sqrt{1+\omega^2\tau^2}}, \qquad \angle G = -\arctan(\omega\tau) - \omega L

Rozdział 12: Powrót pod prysznic ↗

June: Mam! W okolicy 0,95 rad/s sam prysznic odwraca wahnięcie do góry nogami. Zapamiętajcie tę prędkość.

Jak blisko urwiska?

Teraz zamknijmy pętlę: ręka → kurek → rura → skóra → ręka. Prześledź wahnięcie przez całe okrążenie. Dla ręki z rozdziału 0 podróż dookoła pętli to $G_{\circ}$ (kółeczko od pętli, bo $L$ oznacza już opóźnienie):

G_{\circ}(s) = \underbrace{\frac{k}{s}}_{\text{ręka}}\cdot\underbrace{\frac{45\,e^{-2{,}5s}}{s+1}}_{\text{prysznic}}

Sprzężenie zwrotne odejmuje (uchyb = cel − temperatura). To ×(−1), pół obrotu z rozdziału 5, więc fala odwraca się raz. Jeśli podróż dookoła pętli dodatkowo opóźnia ją dokładnie o 180°, oba odwrócenia się znoszą i każda korekta przychodzi idealnie w rytm z wahaniem, jak pchanie huśtawki na placu zabaw w samą porę. Jeśli pętla oddaje falę w pełnej wielkości (wzmocnienie 1), huśtanie samo się podtrzymuje; przy wzmocnieniu większym niż 1 rośnie. To znowu $1 + C\,P = 0$ z rozdziału 10, na prostej $s = i\omega$ : okrążenie, które wraca odwrócone i w pełnej wielkości, to $G_{\circ}(i\omega) = -1$ .

June: W tej prostej pętli prysznica faza przechodzi przez −180° przy jednej istotnej prędkości wahań. Znajdź ją na wykresie fazy, a potem odczytaj wzmocnienie pętli przy tej samej prędkości. Czy jest mniejsze, czy większe od 1?

Rozdział 12: Powrót pod prysznic ↗

Przesuwaj, aż suma przekroczy 180°, między 0,45 a 0,46 rad/s. W samym punkcie przejścia, około 0,457 rad/s, wahanie wraca pomnożone przez 0,72, więc ręka mogłaby być około 1 ÷ 0,72 ≈ 1,4 raza mocniejsza, zanim dojdzie do krawędzi.

Nowe pojęcia

Zapas wzmocnienia: Ile razy można pomnożyć wzmocnienie regulatora, zanim wzmocnienie pętli przy prędkości −180° dojdzie do 1. Poniżej 1 = za urwiskiem.
Zapas fazy: Przy prędkości, przy której wzmocnienie pętli wynosi dokładnie 1: ile dodatkowego opóźnienia trzeba, żeby dojść do −180°. Więcej znaczy bezpieczniej; 45°–60° to częsty cel (dygresja poniżej mówi dlaczego).

Dla naszego prysznica faza $G_{\circ}$ dochodzi do −180° przy $\omega \approx 0{,}457$ rad/s, czyli przy okresie wahań około 13,8 s. Zwykła ręka ( $k = 0{,}008$ ) ma zapas wzmocnienia tylko około 1,4 i zapas fazy około 22° (tam, gdzie jej wzmocnienie pętli wynosi 1, przy 0,34 rad/s, faza wynosi −158°). Blisko krawędzi! Mocniejsza ręka podwaja wzmocnienie: 1,4 ÷ 2 = 0,7, za urwiskiem. Właśnie dlatego nigdy się nie uspokajała.

Najpierw zgadnij! Załóżmy, że rura byłaby dwa razy dłuższa (opóźnienie 5 s). Co stanie się z największym wzmocnieniem ręki, przy którym układ jest jeszcze stabilny?

Rozdział 12: Powrót pod prysznic ↗

Mika: Dwa razy dłuższa rura, mniej więcej o połowę słabsza ręka. A wahania na krawędzi też robią się wolniejsze: prawie 24 sekundy!

Theo: Dobra, odszczekuję. Opóźnienie nie tylko wszystko spowalnia: zjada zapas fazy, a zapas fazy to jedyne, co dzieli cię od oscylacji.

Twój prysznic z rozdziału 0, wyjaśniony

Oto twój własny przebieg z rozdziału 0. Jeśli twoje wahania były blisko krawędzi, ich okres powinien być bliski temu, co przewiduje pętla. Jest pewien haczyk: nie wszyscy ludzie są tym samym rodzajem regulatora.

Rozdział 12: Powrót pod prysznic ↗

Ręka prędkościowa (kręci kurkiem, dopóki woda jest nie taka) to regulator I: jej krawędź to wahania co 13,8 s. Ręka położeniowa („jest za gorąco, ustaw kurek tutaj”) działa jak regulator P: $G_{\circ}(s) = 45K\,e^{-2{,}5s}/(s+1)$ . Ręka położeniowa nie ma stosu, więc nie ma własnych 90°: sama rura i wygładzacz muszą dojść do 180°, a to dzieje się przy szybszym wahnięciu, $\omega \approx 0{,}95$ rad/s (prędkość „do góry nogami” June). To daje wahania co 6,6 s, dla każdego $K$ powyżej około 0,031 kurka na °C. Większość ludzi to mieszanka. (Zwykła robotyczna ręka waha się nieco wolniej niż co 13,8 s, mniej więcej co 15,5 s, bo siedzi tuż przed krawędzią; wahania mocniejszej ręki, mniej więcej co 11,6 s, są spłaszczone przez kurek dochodzący do oporu.)

Rozdział 12: Powrót pod prysznic ↗

Mika: Czyli kiedy szarpałam kurek prosto w jedno miejsce, byłam ręką położeniową. Moje sześciosekundowe wahania to była rura i wygładzacz, a nie niezdarne palce.

Zaprojektuj automatyczny prysznic

Teraz pobijmy własne ręce. Robot używa PI: P reaguje na bieżący uchyb temperatury, a I pamięta nagromadzony uchyb. Dzięki temu kurek reaguje szybko, a I znajduje właściwe trwałe położenie.

June: Proste. Dam duże wzmocnienia, jak w dronie: szybko i żwawo. Już są ustawione. Patrzcie!

Rozdział 12: Powrót pod prysznic ↗

June: …huśta się, gorąco–zimno–gorąco, co 6 sekund, jak ręka położeniowa w rozdziale 0. Duże wzmocnienia przesunęły prędkość wzmocnienia 1 za prędkość −180°. Zero zapasu fazy.

Theo: Dron znosił duże wzmocnienia, bo prawie nie miał opóźnienia. Tutaj odporny znaczy łagodny: zostaw zapas na opóźnienie. Spróbuj moich łagodnych wzmocnień, mniej więcej $K_p \approx 1$ i $K_i \approx 0{,}6$ .

P reaguje na teraz, I na stos. Dodanie odrobiny teraz rusza kurkiem odrobinę wcześniej, a to oddaje fazę: wyprzedzenie fazowe, około 37° przy dawnej prędkości −180° z wzmocnieniami Theo.

PI z dobrym zapasem osiąga komfort w około 9,4 sekundy, bez powtarzających się dużych wahań. To lepiej niż zwykła ręka (która przez większą część minuty się huśtała, zanim się uspokoiła) i niż większość ludzi. Fizyki jednak nie pobije: nic nie zareaguje na wodę, która jeszcze nie dopłynęła. Inżynierowie mają co prawda trik na długie opóźnienia, predyktor Smitha, który w środku regulatora uruchamia małą symulację rury. Ale to opowieść na inny zeszyt.

Prawdziwa lekcja to odporność. Twój model prysznica nigdy nie jest idealny: rura może być dłuższa, grzałka słabsza. Zapas mówi, jak bardzo model może się mylić, liczbą, którą da się poczuć. Zapas fazy (w radianach) podzielony przez prędkość wzmocnienia 1 to zapas opóźnienia: ile sekund dodatkowej rury pętla wytrzyma.

Rozdział 12: Powrót pod prysznic ↗

Theo: Zwykła ręka wytrzymuje tylko około 1,1 s dodatkowej rury. Mój łagodny robot wytrzymuje 3,5 s. To właśnie znaczy odporny.

Co teraz rozumiemy

Co udało nam się ustalić

Opóźnienie $L$ przesuwa wahnięcie o $\omega L$ : nic dla powolnych wahań, dużo dla szybkich.
Stos (I) opóźnia każde wahnięcie o 90°; wygładzacz o najwyżej 90°; rura o $\omega L$ , bez ograniczenia.
Podawanie sinusoid i mierzenie wzmocnienia i fazy daje charakterystykę częstotliwościową; narysowana to charakterystyki Bodego, i to po prostu $G(i\omega)$ .
W tej prostej pętli prysznica trwałe wahania zaczynają się, gdy faza pętli osiąga −180° przy wzmocnieniu 1; większe wzmocnienie powiększa wahania, aż zadziałają ograniczenia.
Zapas wzmocnienia i zapas fazy mierzą odległość od tego urwiska. Dłuższe opóźnienie to mniejszy zapas, więc potrzeba łagodniejszego sterowania.
Nasze wahania z rozdziału 0 to był regulator (my) ze zbyt małym zapasem.

Mamy już wszystkie narzędzia: sprzężenie zwrotne, PID, bieguny, zapasy. Czas na prawdziwy test: wiatr, zrzut paczki i zaszumiony czujnik. Czy utrzymasz drona na 2 m?

Rozdział 12: Powrót pod prysznic ↗