Rozdział 7

Prawdziwy charakter drona

Dlaczego dron podskakuje jak sprężyna?

Regulator to sprężyna

Mika: June pytała, gdzie na mapie mieszka nasz dron. Wskazówka: pamiętacie skocznego drona z rozdziału 2? Im bardziej podkręcaliśmy $\eff{K_p}$ , tym bardziej robił „boing”. Wyglądał dokładnie jak ciężarek na sprężynie.

Theo: „Wyglądał jak” to nie dowód. Postawmy je obok siebie i zapiszmy oba równania.

Po lewej: masa 0,5 kg zawieszona na sprężynie z tłumikiem (małym tłokiem wypełnionym olejem, który stawia opór ruchowi). Po prawej: nasz dron, ta sama masa, ten sam opór, z regulatorem proporcjonalnym.

Najpierw zapiszmy po kolei wszystkie siły działające na masę. Położenie $x$ mierzymy od punktu spoczynku, w górę na plus.

Sprężyna ciągnie z powrotem do spoczynku, tym mocniej, im bardziej jest rozciągnięta: $-\eff{k}\,x$ . Rozciągnij ją dwa razy bardziej, a pociągnie dwa razy mocniej.
Tłumik pcha przeciwko ruchowi, a nie przeciwko położeniu: $-c\,\dot{x}$ . Gdy masa stoi, nic nie robi. Gdy pędzi, mocno się opiera. ( $\dot{x}$ to prędkość z rozdziału 3.)
Grawitacja tylko trochę obniża punkt spoczynku. Mierzenie od spoczynku załatwia sprawę.

Siła = masa × przyspieszenie, a przyspieszenie to nachylenie nachylenia (rozdział 3). Dodaj siły i przenieś wszystko na jedną stronę:

m\,\ddot{x} = -\eff{k}\,x - c\,\dot{x} \quad\Longrightarrow\quad m\,\ddot{x} + c\,\dot{x} + \eff{k}\,x = 0

Mika: Czyli tłumik to po prostu powietrze, które nie znosi prędkości?

Theo: Mniej więcej. A w naszym dronie tłumikiem jest powietrze.

W widżecie pomarańczowa strzałka na masie to ciągnięcie sprężyny, a szara to pchnięcie tłumika. Zobacz, jak strzałka tłumika znika za każdym razem, gdy masa na chwilę zatrzymuje się na górze albo na dole wahnięcia.

Rozdział 7: Prawdziwy charakter drona ↗

June: Krzywe leżą jedna na drugiej. Nie podobne. Identyczne.

Spójrz na oba równania. Sprężyna odpycha siłą $\eff{k}\,x$ : im bardziej rozciągnięta, tym mocniej ciągnie. Nasz regulator pcha z siłą $\eff{K_p}(\sp{2} - \out{h})$ : im dalej od celu, tym mocniej pcha. Ta sama reguła. Regulator jest sprężyną: niewidzialną, która ciągnie drona w stronę 2 m.

Theo: Czyli regulator P to wirtualna sprężyna, a opór powietrza $c$ to wirtualny tłumik. Wszystko, czego nauczymy się o sprężynach, dostajemy gratis.

Dwa pokrętła charakteru

Każdy układ masa-sprężyna-tłumik, a więc każdy dron z regulatorem P, opisują tylko dwie liczby. Zapracujmy na nie po kolei.

Jak szybko: pulsacja własna

Zabierz tłumik, a wracamy do rozdziału 6: sprężyna waha się jak $\cos(\omega t)$ z $\omega = \sqrt{k/m}$ . Tę szybkość nazywamy pulsacją własną $\omega_n$ : jak szybko układ chce się wahać, gdy nic go nie hamuje.

\omega_n = \sqrt{\frac{\eff{k}}{m}} \qquad\qquad \text{jedno pełne wahnięcie co } \frac{2\pi}{\omega_n} \text{ s}

Rozdział 7: Prawdziwy charakter drona ↗

Mika: Sztywniejsza sprężyna, szybsze kołysanie. To podkręcam $\eff{k}$ na maksa i wszystko jest lepsze!

Sztywniejsza sprężyna ciągnie mocniej, więc waha się szybciej. Cięższą masę trudniej popchnąć, więc waha się wolniej. (Radiany na sekundę to szybkość wirowania z rozdziału 5: pełny obrót to 2π radianów, obręcz o długości 2π promienia.)

Theo: Ostrożnie. W rozdziale 2 podkręcanie $\eff{K_p}$ zrobiło drona szybszym i bardziej rozbujanym. Najpierw posłuchajmy, co ma do powiedzenia tłumik.

Jak skocznie: współczynnik tłumienia

Teraz przywróćmy tłumik. Ile tłumienia to „dużo”? To zależy od sprężyny: tłumik, który poskramia miękką sprężynę, ledwo spowalnia sztywną. Porównujemy więc z jedną szczególną wartością, tłumieniem krytycznym $c_{\text{kr}}$ : najmniejszym tłumieniem, które całkiem usuwa przeregulowanie.

c_{\text{kr}} = 2\sqrt{m\,\eff{k}} \qquad\qquad \zeta = \frac{c}{c_{\text{kr}}} = \frac{c}{2\sqrt{m\,\eff{k}}}

Współczynnik tłumienia ζ (grecka litera dzeta) to nasze tłumienie jako ułamek tamtego. To czysta liczba, bez jednostek. ζ = 0 waha się w nieskończoność, ζ = 1 to dokładnie tłumienie krytyczne, a ζ = 0,5 ma połowę tłumienia potrzebnego, żeby usunąć przeregulowanie.

Rozdział 7: Prawdziwy charakter drona ↗

June: Chwila. 0,16? To dokładnie ζ drona z pierwszego widżetu!

Theo: Ta sama masa, ten sam opór, ta sama sztywność, więc to samo ζ. Sprężyna i dron to naprawdę bliźniaki.

Dwie kropki na mapie

Wróćmy do mapy $s$ . Zgadywanie $x = e^{st}$ , jak w rozdziałach 4 i 6, zamienia równanie w $m s^2 + c s + k = 0$ . Podziel przez $m$ , a potem zapisz oba współczynniki za pomocą naszych pokręteł:

s^2 + \underbrace{\frac{c}{m}}_{2\zeta\omega_n}\, s + \underbrace{\frac{\eff{k}}{m}}_{\omega_n^2} = 0

Theo: Chwileczkę. Skąd się wzięło to $2\zeta\omega_n$ ? Wygląda na wymyślone.

June: Wymnóż: $2\zeta\omega_n = 2 \cdot \frac{c}{2\sqrt{mk}} \cdot \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{c}{m}$ . To ta sama liczba, tylko pod nową nazwą, żeby nasze dwa pokrętła pojawiły się w równaniu.

Rozwiąż je wzorem na pierwiastki równania kwadratowego, a wyjdą dwie wartości $s$ :

\begin{aligned} & s^2 + 2\zeta\omega_n\, s + \omega_n^2 = 0 \\ \Longrightarrow\quad & s = -\zeta\omega_n \pm \omega_n\sqrt{\zeta^2 - 1} \end{aligned}

Skąd się bierze ±

Każde równanie $s^2 + b\,s + q = 0$ da się rozwiązać, uzupełniając do kwadratu: $(s + b/2)^2 = b^2/4 - q$ . Pierwiastek kwadratowy ma dwie odpowiedzi, jedną z + i jedną z −, więc zawsze są dwie wartości $s$ :

s = -\frac{b}{2} \pm \sqrt{\frac{b^2}{4} - q}

Przy $b = 2\zeta\omega_n$ i $q = \omega_n^2$ wyrażenie pod pierwiastkiem to $\omega_n^2(\zeta^2 - 1)$ . Gdy ζ < 1, jest ujemne i potrzebujemy $i$ z rozdziału 5: obie odpowiedzi stają się lustrzaną parą, $-\zeta\omega_n \pm i\,\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$ . Przy ζ = 1 pierwiastek wynosi dokładnie zero i obie odpowiedzi się spotykają. Stąd właśnie $c_{\text{kr}} = 2\sqrt{mk}$ : to tłumienie, przy którym pierwiastek znika.

Znak ± daje dwie odpowiedzi, po jednej dla każdej kropki. Pozycja kropki w poziomie to σ (sigma): jak szybko ta część ruchu maleje. Jej wysokość to ω: jak szybko wiruje. Gdy tłumienie jest mniejsze od 1, kropki mają tę samą pozycję poziomą, lecz przeciwne wysokości. Przy 1 się spotykają; powyżej 1 obie leżą na osi poziomej.

Nowe pojęcia

Odpowiedź skokowa: Jak układ reaguje na nagły skok celu, tutaj z 0 do 1 m. To standardowy sposób pokazywania charakteru.
Czas ustalania (2 %): Ile trwa, zanim odpowiedź na dobre zostanie w granicach 2 % od celu.

Pobaw się dwoma pokrętłami. Obserwuj niebieskie kropki na mapie: to dwie wartości $s$ , a poza wysokością, na której się ustala, ruch jest mieszanką $e^{s_1 t}$ i $e^{s_2 t}$ . (Przy dokładnie ζ = 1 obie kropki stają się jedną, a drugim składnikiem zostaje $t\,e^{s_1 t}$ .)

Rozdział 7: Prawdziwy charakter drona ↗

Nowe pojęcia

Niedotłumiony ( $\zeta < 1$ ): Dwie wartości $s$ to lustrzana para poza osią rzeczywistą, leżąca na okręgu o promieniu $\omega_n$ . Odpowiedź przestrzeliwuje i kołysze się, zanim się ustali.
Tłumiony krytycznie ( $\zeta = 1$ ): Para spotyka się na osi rzeczywistej jako jedna podwójna kropka, więc ruch to $(A + B\,t)\,e^{-\omega_n t}$ . Najszybsza odpowiedź bez przeregulowania.
Przetłumiony ( $\zeta > 1$ ): Para rozdziela się wzdłuż osi rzeczywistej: jedna wartość ucieka w lewo, druga pełznie w stronę zera. Bez przeregulowania, ale ospale.

W niedotłumionych kropkach kryje się jeszcze jeden szczegół: ich wysokość to $\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$ , trochę mniej niż $\omega_n$ . Tłumienie nie tylko zmniejsza kołysanie, ale też trochę je spowalnia. To pulsacja tłumiona $\omega_d$ i widżet ją pokazuje.

\omega_d = \omega_n\sqrt{1 - \zeta^2}

Mika: Czyli spirale z rozdziału 6 były przez cały czas charakterem drona. Wirowanie = kołysanie, zwijanie się = uspokajanie!

Czy więcej tłumienia to zawsze lepiej?

June: Proste. Kołysanie jest złe, a tłumienie zabija kołysanie. Więc dla bezpieczeństwa ustawię $\zeta = 5$ . Najbezpieczniejszy dron świata.

Najpierw zgadnij! Ta sama sprężyna, to samo $\omega_n$ . Zwiększamy tłumienie z $\zeta = 1$ do $\zeta = 3$ . Czy układ dotrze do celu szybciej, czy wolniej?

Rozdział 7: Prawdziwy charakter drona ↗

June: Mój „bezpieczny” dron trwa wieki. Jakby poruszał się w miodzie.

Mika: Spójrz na mapę! Jedna kropka uciekła w lewo, superszybka. Ale druga siedzi naprawdę blisko zera.

Theo: A $e^{st}$ z $s$ bliskim zera wygasa bardzo powoli. Szybka znika w mgnieniu oka. Rządzi ta powolna.

Każdy składnik ruchu $e^{st}$ nazywamy modem. Ruch jest mieszanką modów, a gdy szybkie już wygasną, zostaje tylko najwolniejszy. Dlatego w tej odpowiedzi skokowej długie oczekiwanie wyznacza najwolniejszy mod, który naprawdę występuje.

Zbyt małe tłumienie daje wahania, zbyt duże — powolne pełzanie. Pomiędzy jest złoty środek. Wybierz w wyścigu ζ = 0,7: przeregulowanie jest mniejsze niż 5 %, ale układ trafia w granice 5 % od celu dużo wcześniej niż przy ζ = 1. Wiele projektów celuje w ζ mniej więcej od 0,7 do 1, wymieniając małe przeregulowanie na szybkość. Inne zadania mogą wymagać innego kompromisu.

Wracamy do drona

Teraz rozdział 2 wreszcie nabiera sensu. W naszym dronie stała sprężyny to wzmocnienie:

\omega_n = \sqrt{\frac{\eff{K_p}}{m}}, \qquad \zeta = \frac{c}{2\sqrt{m\,\eff{K_p}}}

$\eff{K_p}$ siedzi w mianowniku wzoru na tłumienie. Podkręcanie wzmocnienia sprawia, że dron jest szybszy (większe $\omega_n$ ), ale słabiej tłumiony. Przy $\eff{K_p} = 20$ N/m: $\zeta = 1/(2\sqrt{0{,}5 \times 20}) \approx 0{,}16$ . Bardzo skocznie, dokładnie tak, jak widzieliśmy. Na mapie jego dwie wartości $s$ siedzą wysoko i tylko trochę na lewo od osi pionowej. Tam mieszka nasz dron.

Theo: I nie dostaniemy więcej tłumienia bez mocnego skręcenia $\eff{K_p}$ , a to przywraca zwis. Potrzebujemy sposobu, żeby dodawać tłumienie celowo.

Przeciągnij wzmocnienie i zobacz cały kompromis w jednym zdaniu:

Rozdział 7: Prawdziwy charakter drona ↗

Strzałki mają długość i kąt

Mika: Chwila. Kropki leżą na okręgu o promieniu $\omega_n$ , a ζ tylko przesuwa je po nim. Czyli kropka to tak naprawdę dwie rzeczy: jak daleko od 0 i w którą stronę.

Każdą strzałkę $z = a + b\,i$ można opisać na odwrót: jej długością $|z|$ i jej kątem. Długość daje twierdzenie Pitagorasa. Dla strzałki skierowanej w prawo ( $a > 0$ ) kąt to ten, którego nachylenie (przyrost w pionie podzielony przez przyrost w poziomie) wynosi $b/a$ . Nazywa się arcus tangens, $\arctan$ : przycisk „cofnij” dla tangensa.

|z| = \sqrt{a^2 + b^2}, \qquad \angle z = \arctan\frac{b}{a} \quad (a > 0)

Rozdział 7: Prawdziwy charakter drona ↗

W rozdziale 5 odkryliśmy, że mnożenie strzałek mnoży ich długości i dodaje ich kąty. Dzielenie musi to cofnąć, więc dzieli długości i odejmuje kąty.

Theo: Czyli $1/(1+i)$ : długość $1/\sqrt 2$ , a kąt to 45° plus 45°, czyli 90°? Hmm. Pomnóż to z powrotem przez $1+i$ , a wyjdzie strzałka pod kątem 135°, daleko od 1.

June: No to minus. Długość $1/\sqrt 2$ pod kątem −45°. Razy $\sqrt 2$ pod kątem +45° i wychodzi długość 1 przy 0°: dokładnie 1. Zgadza się.

Rozdział 7: Prawdziwy charakter drona ↗

Blada przerywana strzałka to lustrzany bliźniak $\bar z = a - b\,i$ z rozdziału 6 (matematycy nazywają go liczbą sprzężoną): ta sama długość, przeciwny kąt. Pomnóż strzałkę przez jej bliźniaka, a kąty się zniosą i zostanie zwykła liczba dodatnia: kwadrat długości. Tabelka z rozdziału 9 będzie potrzebować dokładnie tego:

z\,\bar z = |z|^2 = a^2 + b^2, \qquad (s - i\omega)(s + i\omega) = s^2 + \omega^2

A okrąg? Biegun w $-\zeta\omega_n + i\,\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$ ma długość $\omega_n$ . Zmierz jego kąt θ od ujemnej części osi rzeczywistej, a część skierowana w lewo wyniesie $\omega_n\cos\theta$ . Zatem $\zeta = \cos\theta$ : tłumienie to kąt.

June: Wypróbuj drugie ustawienie widżetu: 1 + iωτ. To reguła stygnącej kawy z rozdziału 3, która spotyka wahanie. Dzielenie przez nią skraca i obraca wstecz, tym mocniej, im szybsze wahanie, ale nigdy ponad ćwierć obrotu. Założę się, że prysznic się tym przejmuje.

Nowe pojęcia

Długość $|z|$: Jak długa jest strzałka: $\sqrt{a^2+b^2}$ dla $z = a + b\,i$ . Mnożenie strzałek mnoży ich długości.
Kąt $\angle z$: W którą stronę wskazuje strzałka, mierzone od dodatniej części osi rzeczywistej. $\arctan(b/a)$ dla strzałki skierowanej w prawo. Mnożenie dodaje kąty, dzielenie je odejmuje.
Lustrzany bliźniak $\bar z$: Strzałka odbita względem osi rzeczywistej, $a - b\,i$ (liczba sprzężona). $z\,\bar z = |z|^2$ .

Co teraz wiemy

Co udało nam się ustalić

Dron z regulatorem P podlega dokładnie temu samemu równaniu co masa na sprężynie: regulator to wirtualna sprężyna.
Jego charakter opisują dwie liczby: $\omega_n$ (jak szybko) i $\zeta$ (jak skocznie).
$\omega_n = \sqrt{k/m}$ to szybkość wahań bez tłumika. $\zeta = c/c_{\text{kr}}$ porównuje tłumienie z tłumieniem krytycznym $2\sqrt{mk}$ , które akurat usuwa przeregulowanie.
Ruch jest mieszanką dwóch składników $e^{st}$ . Dwie wartości $s$ leżą na okręgu o promieniu $\omega_n$ , gdy układ jest niedotłumiony, i rozdzielają się wzdłuż osi rzeczywistej, gdy jest przetłumiony.
Strzałka ma długość i kąt ( $\arctan$ ). Mnożenie mnoży długości i dodaje kąty; dzielenie dzieli i odejmuje. $\zeta = \cos\theta$ .
Tłumienie też trochę spowalnia kołysanie: $\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$ .
Więcej tłumienia to nie zawsze lepiej: powyżej $\zeta = 1$ powolna wartość $s$ pełznie w stronę zera i wszystko zwalnia.
W dronie więcej $K_p$ oznacza mniej tłumienia. Dlatego robił się coraz bardziej chybotliwy.

Theo: „Do tych wartości $s$ doszliśmy zgadując. Dodaj grawitację, wiatr, paczki i sprytniejszy regulator, a zgadywanie zrobi się paskudne. Czy istnieje maszyna, która zamienia tę analizę w zwykłą algebrę?”

Rozdział 7: Prawdziwy charakter drona ↗