Rozdział 6

Mapa s

Jak wirująca liczba tworzy prawdziwe kołysanie i jak wygląda każde s?

Powrót do sprężyny (i nowy błąd)

June: Ostatnio zbudowaliśmy liczbę, która wiruje. Dajmy ją sprężynie i zobaczmy, czy się sprawdzi.

Sprężyna potrzebowała $a^2 = -k/m = -4$ . Spróbuj $a = 2i$ : $(2i)^2 = 4\,i^2 = -4$ . ✓ I $a = -2i$ też działa.

Theo: Dobra, myliłem się. Trik ze zgadywaniem wykładniczej przetrwał. Sprężyna to $e^{2it}$ , bączek, który robi dwa obroty co… 2π sekund.

Mika: Czyli położenie sprężyny to $e^{2it}$ ? Teraz jest na… $0{,}4 + 0{,}9i$ metra?

June: Sprężyna nie może być 0,9 metra w bok. Porusza się tylko w górę i w dół.

Mika zapomniała o drugiej odpowiedzi. Znaleźliśmy dwa rozwiązania, $e^{2it}$ i $e^{-2it}$ : bączka i jego lustrzanego bliźniaka, który kręci się w drugą stronę. Dodaj je:

Rozdział 6: Mapa s ↗

Mika: Części boczne idealnie się znoszą! Suma po prostu przesuwa się wzdłuż osi rzeczywistej, tam i z powrotem.

x(t) = \tfrac12\left(e^{i\omega t} + e^{-i\omega t}\right) = \cos(\omega t),\qquad \omega = \sqrt{k/m}

Dlaczego bliźniak zawsze tam jest? Reguła sprężyny zawiera tylko liczby rzeczywiste ( $m$ i $k$ , żadnego $i$ ). Odwróć rozwiązanie do góry nogami, zamieniając każde $i$ na $-i$ , a reguła nie zauważy różnicy: lustrzane odbicie też jest rozwiązaniem. Dlatego dla wszystkiego, co rzeczywiste, bączki występują w lustrzanych parach, a razem ich części boczne się znoszą i zostaje prawdziwe kołysanie, które możemy zmierzyć.

Mapa s

Rozdział 4 dał nam wykładnicze, które rosną albo maleją. Teraz mamy bączki, które się kołyszą. Połączmy je: $e^{st}$ , gdzie $s = \sigma + i\omega$ .

e^{st} = e^{(\sigma + i\omega)t} = \underbrace{e^{\sigma t}}_{\text{rośnie/maleje}}\cdot\underbrace{e^{i\omega t}}_{\text{wiruje}}

Czyli każda liczba s to przepis: σ (część wzdłuż) mówi, jak szybko rosnąć albo maleć, ω (część boczna) mówi, jak szybko wirować. Razem rysują spiralę, a cień spirali to sygnał, który widzimy.

Najpierw zgadnij! Ustaw s w punkcie $-0{,}5 + 3i$ . Jak wygląda cień $e^{st}$ ?

Rozdział 6: Mapa s ↗

Zrób wycieczkę po mapie, przeciągając s (albo używając strzałek):

Lewa połowa (σ < 0): spirala się zwija, kołysanie wygasa.
Prawa połowa (σ > 0): spirala rośnie, kołysanie eksploduje.
Na pionowej linii (σ = 0): idealny okrąg, kołysanie, które trwa w nieskończoność.
Na poziomej linii (ω = 0): żadnego wirowania, tylko zwykłe wykładnicze z rozdziału 4.
Dalej od poziomej linii (w górę lub w dół): szybsze wirowanie, szybsze kołysanie. Bardziej w lewo: szybsze wygasanie.

June: Czyli jedna kropka na tej mapie to cały charakter: jak szybko się kołysze i czy się uspokaja, czy wybucha.

Mała dygresja: fale z wirujących składników

Ostatnia niespodzianka. Weź bączki o różnych prędkościach (1, 3, 5, 7… razy szybsze), każdy odpowiednio zmniejsz i ustaw pod właściwym kątem startowym, a potem dodaj ich cienie. Mając ich wystarczająco dużo, zbudujesz ogromną gamę kształtów, nawet falę prostokątną z ostrymi narożnikami.

Rozdział 6: Mapa s ↗

Fourier pokazał, jak z wirujących składników budować wiele sygnałów okresowych. Przebieg prostokątny jest przykładem: więcej składników lepiej oddaje płaskie fragmenty i ostre krawędzie. To potężny sposób opisu sygnałów, mający warunki i ograniczenia, do których możemy wrócić później.

Co już wiemy

Co udało nam się ustalić

Prawdziwe kołysania biorą się z lustrzanych bliźniaczych bączków, których części boczne się znoszą.
$e^{st}$ , gdzie $s = \sigma + i\omega$ , wiruje i rośnie albo maleje: to spirala. Jej cień to rosnące albo wygasające kołysanie.
Mapa s: po lewej się uspokaja, po prawej wybucha, wyżej znaczy szybsze kołysanie.
Wiele sygnałów okresowych, nawet falę prostokątną, można zbudować, dodając bączki o różnych prędkościach (Fourier). Tuż przy skoku suma zawsze przestrzeliwuje o około 9 %.

June: „To gdzie na tej mapie mieszka nasz dron?”

Rozdział 6: Mapa s ↗