Capítulo 11

PID: Consertando Tudo

Como eliminamos o desvio residual e paramos a oscilação?

O desvio residual que não morre

Theo: Lembra do Capítulo 2? Nosso controlador P deixava o drone parado abaixo de 2 m, e nenhum $K_p$ conseguia consertar isso. Hora de descobrir o que consegue.

Para manter o drone no ar, os motores precisam empurrar $mg \approx 4{,}9$ N, para sempre. Um controlador P só empurra quando há erro: $\eff{T} = K_p\,\err{e}$ . Então, para empurrar 4,9 N, ele precisa de um erro de $\err{e} = mg/K_p$ . Com $K_p$ = 20 N/m, isso dá $\err e$ = 4,9/20 ≈ 24,5 cm, para sempre. O desvio residual não é um defeito da nossa sintonia. É o preço que o P cobra para segurar qualquer coisa no alto.

June: Então precisamos de uma parte do controlador que consiga empurrar 4,9 N com erro zero. Algo com memória.

I: uma pilha de erros passados

A ideia é esta. Mantenha um total acumulado do erro, a área sob a curva do erro, exatamente a "área que se acumula" do Capítulo 3. Empurre proporcionalmente a essa pilha:

\eff{T_I} = K_i \int_0^t \err{e}\,dt

Enquanto o drone estiver abaixo de 2 m, o erro é positivo e a pilha continua crescendo, então o empurrão continua crescendo. A pilha só para de crescer quando o erro é exatamente zero. Nesse ponto ela simplesmente fica, segurando o empuxo que tiver acumulado. É essa a memória que a June queria.

Theo: Ah, isso é manhoso. O drone não consegue se estabilizar em nenhum outro lugar além de 2 m, porque em qualquer outro lugar a pilha ainda estaria mudando.

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Por que a pilha desacelera

Theo: Peraí. 63% depois de uma constante de tempo? Esse é o café do Capítulo 3!

June: Porque é o café. Quando a oscilação rápida some, o P empurra o que a pilha ainda não empurra. Então o erro é o empurrão que falta dividido por $K_p$ , e a pilha cresce por esse erro.

\frac{d}{dt}\!\int\!\err e\,dt = \err e \approx \frac{\dis{mg} - K_i\!\int\!\err e\,dt}{K_p} \;\Longrightarrow\; \tau_I \approx \frac{K_p}{K_i}

Mika: Ela cresce em proporção ao quanto ainda falta. Capítulo 3!

Então o desvio residual morre como café esfriando, com uma constante de tempo de cerca de $K_p/K_i$ = 2 s com os nossos ganhos. No mapa do Capítulo 10, isso é um polo lento perto de $-K_i/K_p = -0{,}5$ . (Só "cerca de": a oscilação rápida precisa de um instante para sumir e, com um $K_i$ grande, as duas se misturam. É por isso que o número lá em cima só vai até 12.)

Preveja primeiro! Mika quer que o desvio residual desapareça rápido, então planeja aumentar $K_i$ bem alto. O que vai acontecer?

O widget começa com $K_i$ = 10 N/(m·s). Observe três coisas: a área sombreada em vermelho (o erro sendo empilhado), a parte integral do empuxo, tracejada em laranja, subindo até a linha roxa da gravidade, e a leitura do desvio residual. Arraste $K_i$ até 0 para ter de volta o desvio residual do Capítulo 2 e depois teste valores maiores. $K_p$ fica fixo em 20 N/m.

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Mika: Aumenta logo! $K_i = 50$ ! Acaba com isso de uma vez!

Mika: …por que não para? Os quiques foram crescendo, crescendo, e agora ele fica subindo e descendo meio metro, para sempre!

Theo: Com 50 você passou de algum tipo de limite. Testei alguns valores: abaixo de uns 40 ele se estabiliza, acima não (e o ioiô leva cerca de um segundo por balanço). Já vamos ver por quê. A pilha está sempre um pouco atrasada: continua empurrando para cima depois que o drone já passou de 2 m.

Esse é o erro da Mika, e é muito comum: o integral corrige o desvio residual, mas adiciona atraso, e atraso faz as coisas oscilarem (a manopla do chuveiro nos ensinou isso). Precisamos de algo que reaja contra a velocidade. (Pela matemática, os balanços dela deveriam crescer para sempre. Eles param em cerca de meio metro só porque o empuxo bate em 0 N a cada balanço: hélices não conseguem puxar para baixo, o limite do Capítulo 10.)

D: um amortecedor virtual

June: No Capítulo 7, o amortecedor era o que acalmava a mola. E se o controlador fingisse ser um amortecedor?

Um amortecedor empurra contra a velocidade. Então adicione um termo que empurra contra a rapidez com que o drone está se movendo:

\eff{T_D} = -K_d\,\frac{d\out{h}}{dt}

Veja a equação do drone: o arrasto já dá $-c\,\dot h$ . O termo D adiciona $-K_d\,\dot h$ por cima, então o drone se comporta como se seu arrasto fosse $c + K_d$ . Estamos adicionando resistência do ar em software.

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Ligue o grande ganho I da Mika e depois adicione amortecimento. Até $K_d = 0{,}5$ N·s/m já o traz de volta à estabilidade (empurra o limite para $K_i = 60$ ): o ioiô sem fim vira um quique que vai morrendo. Mas ele ainda passa do alvo em pelo menos um quarto, por mais D que você coloque. Essa pilha enorme simplesmente lembra demais. Agora desligue o $K_i$ da Mika (de volta a 10) e teste $K_d \approx 3$ –5: calmo. I e D se compensam: o D abre espaço para o I, mas não espaço infinito.

June: Se 4 é bom, 10 deve ser melhor. Amortecedor no máximo!

Mika: Ele sobe tããão devagar… e mesmo assim passa de 2 m? Atrasado?

Theo: June, é o seu drone no mel do Capítulo 7 de novo! Acima de $K_d \approx 5{,}3$ , o par rápido fica superamortecido. Mas agora também tem uma pilha, e um drone lento dá tempo para a pilha transbordar.

O amortecimento crítico é onde ζ = 1: $K_d = 2\sqrt{m K_p} - c \approx 5{,}3$ N·s/m com $K_p$ = 20. Com $K_i$ = 10, ir de $K_d$ = 4 para 10 leva o sobressinal de 0 para cerca de 8 %, e o tempo de acomodação de menos de um segundo para cerca de 5 s. Mais D nem sempre é melhor; agora o widget avisa quando você exagera.

Mika: Então D prevê o futuro! Ele vê para onde o drone está indo e chega lá primeiro.

Theo: Não exatamente. Ele só conhece a inclinação agora. É como adivinhar onde uma bola vai cair assumindo que continua em linha reta. Geralmente é um palpite razoável, mas não é mágica. Espere até alimentarmos isso com um sensor instável.

O que cada botão faz com os polos

Hora de usar o mapa do Capítulo 10. Escreva toda a malha, com $\err{e} = \sp{r} - \out{h}$ :

m\ddot{\out h} + c\dot{\out h} = \underbrace{K_p\,\err e + K_i\!\int\!\err e\,dt - K_d\,\dot{\out h}}_{\eff{T}} - \dis{mg}

A integral atrapalha, então tire a inclinação dos dois lados. Inclinação e área se desfazem (Capítulo 3), então a inclinação de $\int \err e\,dt$ é simplesmente $\err e$ . A gravidade é constante, então sua inclinação é zero: ela simplesmente cai fora. Com um valor de referência fixo, $\dot{\err e} = -\dot{\out h}$ . Termo a termo:

\begin{aligned} \tfrac{d}{dt}\big(K_p\,\err e\big) &= -K_p\,\dot{\out h} \\ \tfrac{d}{dt}\Big(K_i\!\int\!\err e\,dt\Big) &= K_i\,(\sp r - \out h) \\ \tfrac{d}{dt}\big(-K_d\,\dot{\out h}\big) &= -K_d\,\ddot{\out h} \end{aligned}

Junte tudo de novo e passe tudo o que tem $\out h$ para a esquerda. Os três pontos em $\dddot{\out h}$ significam a inclinação da inclinação da inclinação:

\begin{aligned} m\dddot{\out h} + (c + K_d)\,\ddot{\out h} &+ K_p\,\dot{\out h} + K_i\,\out h \\ &= K_i\,\sp r \end{aligned}

Theo: A gravidade desapareceu da equação. Esse é o matador do desvio residual na forma algébrica: a altura final não se importa com $mg$ de forma alguma. Isto é, desde que ele se acomode. O drone de $K_i = 50$ da Mika nunca se acomodou.

Chute $e^{st}$ de novo. Com o I ativo, a equação é cúbica, então há três polos. Se $K_i=0$ , não há integrador: tirar a inclinação acrescentou uma raiz falsa em $s = 0$ , o fator comum $s$ se cancela, e o drone PD tem dois polos.

m s^3 + (c + K_d)\,s^2 + K_p\,s + K_i = 0

O I é um "dividir por s"

No Capítulo 9, uma inclinação virou "× s". Uma área é o contrário, então vira "÷ s". Escreva o controlador assim, use a receita do próprio drone $P(s) = 1/(ms^2+cs)$ (entra empuxo, sai altura) e encontre os polos com a regra da malha do Capítulo 10, $1 + C\,P = 0$ . Tire as frações e sai a mesma cúbica, sem tirar uma única inclinação:

\begin{gathered} C(s) = K_p + \frac{K_i}{s} + K_d\,s \\ 1 + C(s)\,\frac{1}{ms^2+cs} = 0 \\ ms^3 + (c+K_d)\,s^2 + K_p\,s + K_i = 0 \end{gathered}

Mika: Então o ÷ s é o polo extra!

June: E o numerador da fração ganha $K_p s + K_i$ : um zero, em $-K_i/K_p$ . (Nosso D atua só sobre $\out h$ , então não acrescenta zero.) Fique de olho nele.

Para uma cúbica com todos os coeficientes positivos $a_3 s^3 + a_2 s^2 + a_1 s + a_0$ , existe um teste clássico (o critério de Routh–Hurwitz) que diz que os três polos estão no semiplano esquerdo exatamente quando $a_2 a_1 > a_3 a_0$ . Para o nosso drone, essa é a beira do precipício:

(c + K_d)\,K_p > m\,K_i \quad\Longleftrightarrow\quad K_i < \frac{(c+K_d)\,K_p}{m}

Mika: Uma regra com o nome de duas pessoas. A gente tem que simplesmente acreditar?

Theo: Nada disso. A gente mesmo consegue achar o limite.

No instante em que um par oscilante chega ao eixo vertical, sua parte real é zero, então teste $s=i\omega$ na cúbica. Como $i^2 = -1$ e $i^3 = -i$ , as partes reais e as partes laterais têm que somar zero, cada uma:

K_i - (c+K_d)\,\omega^2 = 0, \qquad \omega\,\big(K_p - m\,\omega^2\big) = 0

A segunda diz que $\omega^2 = K_p/m$ . Coloque isso na primeira:

\omega^2=\frac{K_p}{m},\qquad K_i=(c+K_d)\omega^2=\frac{(c+K_d)K_p}{m}

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Nos valores iniciais ( $K_p$ = 20, sem D), o limite é 40. Foi exatamente aí que o drone da Mika enlouqueceu, e seu ioiô levava cerca de um segundo por balanço: 6,32 rad/s é o próprio ωn do drone P, do Capítulo 7. Colocar $K_d = 4$ empurra o limite para 200. Não confie na gente: mude os números acima, ou os controles deslizantes abaixo, e observe os polos, o minimapa e a resposta ao degrau.

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O botão do I ( $K_i$ ) traz um terceiro polo para a malha e pode empurrar um par para a direita. Demais, e ele cruza a linha.
O botão do D ( $K_d$ ) eleva o limite de estabilidade do ganho I ao adicionar amortecimento. Os caminhos dos polos podem virar: mais D não move todo polo para a esquerda.
O botão do P ( $K_p$ ) principalmente espalha o par oscilante para cima e para baixo: mais rápido, mas mais oscilante, a menos que o D acompanhe.

O playground de sintonia

Agora a coisa de verdade: decole do chão até 2 m com motores reais (0–20 N). Conquiste as quatro estrelas. Toda vez que você muda um ganho, o último voo permanece como um fantasma tênue.

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June: Desliguei o anti-windup, coloquei $K_p$ = 30, $K_i$ = 60, $K_d$ = 2… e o drone disparou até 4 m, direto para fora da sua figura!

Theo: A pilha continuou crescendo o tempo todo em que os motores estavam no máximo. Com o anti-windup ligado, os mesmos ganhos chegam a um pico de 2,8 m. Mesmos botões, memória bem diferente.

Dois avisos sobre D

Aviso 1: o chute derivativo

O drone paira a 1 m. Em $t = 1$ s, mudamos o valor de referência para 1,5 m. Se o D usa a inclinação do erro, então o erro salta meio metro num instante. Sua inclinação é enorme, e o empurrão também.

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Mika: Sobre o erro, ele pede mais de 200 N? De motores que chegam no máximo a 20?

June: E eles não sabem dizer não com educação. Vão com tudo por um instante, e o drone leva um chute no traseiro.

Usar a inclinação da altura medida em vez disso resolve: o drone não pode se teletransportar, então sua altura não tem saltos. Mesmo amortecimento, sem chute. Quase todo PID real faz isso.

Aviso 2: ruído

Sensores de altura reais oscilam alguns centímetros. Alguns centímetros de oscilação, mil vezes por segundo, têm uma inclinação enorme. D amplifica isso direto para os motores. A solução é suavizar a medição antes de calcular sua inclinação (um filtro com constante de tempo $\tau_f$ ), ao custo de reagir um pouco mais tarde.

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Mika: Certo, D não prevê o futuro. Ele prevê o que o ruído sentiu um milissegundo atrás.

O que consertamos

O que descobrimos

P empurra em proporção ao erro, mas precisa deixar um desvio residual para manter o drone no ar.
I empilha o erro passado; o único ponto de repouso é erro zero, então ele elimina o desvio residual, que morre com uma constante de tempo de cerca de $K_p/K_i$ . Ele acrescenta atraso, então demais faz as coisas balançarem.
D empurra contra a velocidade: um amortecedor virtual que se soma ao arrasto $c$ , então $\zeta = (c+K_d)/(2\sqrt{mK_p})$ . Mais D nem sempre é melhor: superamortecido, o drone se arrasta e a pilha transborda.
A malha fechada é $m s^3 + (c + K_d)s^2 + K_p s + K_i$ ; ela é estável exatamente quando $(c+K_d)K_p > mK_i$ .
Tire o D da medição (sem chute) e filtre-o (menos ruído).

June testou nosso PID estilo drone no chuveiro… e ele oscilou exatamente como fizemos no Capítulo 0. O que há com o atraso?

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