Capítulo 6

O Mapa de s

Como um número que gira faz uma oscilação real, e qual é a cara de cada s?

De volta à mola (e um novo erro)

June: Da última vez construímos um número que gira. Vamos entregá-lo para a mola e ver se ele se comporta.

A mola precisava de $a^2 = -k/m = -4$ . Tente $a = 2i$ : $(2i)^2 = 4\,i^2 = -4$ . ✓ E $a = -2i$ também funciona.

Theo: Certo, eu estava errado. O truque de chutar uma exponencial sobrevive. A mola é $e^{2it}$ , um girador dando duas voltas a cada… 2π segundos.

Mika: Então a posição da mola é $e^{2it}$ ? Agora mesmo ela está em… $0{,}4 + 0{,}9i$ metros?

June: Uma mola não pode ficar 0,9 metros de lado. Ela só se move para cima e para baixo.

Mika esqueceu a outra resposta. Encontramos duas soluções, $e^{2it}$ e $e^{-2it}$ : um girador e seu gêmeo espelhado girando no sentido contrário. Some-os:

Capítulo 6: O Mapa de s ↗

Mika: As partes laterais se cancelam perfeitamente! A soma apenas desliza ao longo da reta real, para frente e para trás.

x(t) = \tfrac12\left(e^{i\omega t} + e^{-i\omega t}\right) = \cos(\omega t),\qquad \omega = \sqrt{k/m}

Por que o gêmeo está sempre lá? A regra da mola só tem números reais ( $m$ e $k$ , nenhum $i$ ). Vire uma solução de cabeça para baixo, trocando cada $i$ por $-i$ , e a regra não percebe a diferença: a imagem espelhada também é uma solução. Então, para qualquer coisa real, os giradores vêm em pares espelhados, e juntos suas partes laterais se cancelam, deixando uma oscilação real que podemos medir.

O mapa de s

O Capítulo 4 nos deu exponenciais que crescem ou diminuem. Agora temos giradores que oscilam. Junte-os: $e^{st}$ com $s = \sigma + i\omega$ .

e^{st} = e^{(\sigma + i\omega)t} = \underbrace{e^{\sigma t}}_{\text{crescer/encolher}}\cdot\underbrace{e^{i\omega t}}_{\text{girar}}

Então cada número s é uma receita: σ (a parte ao longo) diz quão rápido crescer ou diminuir, ω (a parte lateral) diz quão rápido girar. Juntos, eles desenham uma espiral, e a sombra da espiral é o sinal que veríamos.

Preveja primeiro! Coloque s em $-0{,}5 + 3i$ . Como é a sombra de $e^{st}$ ?

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Faça um tour pelo mapa arrastando s (ou usando as teclas de seta):

Metade esquerda (σ < 0): a espiral encolhe, a oscilação morre.
Metade direita (σ > 0): a espiral cresce, a oscilação explode.
Na linha vertical (σ = 0): um círculo perfeito, uma oscilação que continua para sempre.
Na linha horizontal (ω = 0): nenhum giro, apenas as exponenciais simples do Capítulo 4.
Mais longe da linha horizontal (para cima ou para baixo): giro mais rápido, oscilações mais rápidas. Mais para a esquerda: desaparecimento mais rápido.

June: Então um único ponto neste mapa é toda uma personalidade: quão rápido ele oscila e se ele se acalma ou explode.

Um parêntese rápido: tudo é feito de giradores

Uma última surpresa. Pegue giradores de velocidades diferentes (1, 3, 5, 7… vezes mais rápido), encolha cada um, comece cada um exatamente no ângulo certo e some suas sombras. Com o suficiente deles, você pode construir uma enorme variedade de formas, até mesmo uma onda quadrada com cantos afiados.

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Fourier mostrou como muitos sinais periódicos podem ser montados a partir de peças giratórias. Uma onda quadrada é um exemplo: mais peças tornam suas partes planas e bordas afiadas mais nítidas. Essa é uma forma poderosa de descrever sinais, com condições e limites que podemos explorar mais adiante.

O que sabemos até agora

O que descobrimos

Ondulações reais vêm de giradores espelhados gêmeos cujas partes laterais se cancelam.
$e^{st}$ com $s = \sigma + i\omega$ gira e cresce ou encolhe: uma espiral. Sua sombra é uma ondulação que cresce ou morre.
O mapa de s: à esquerda acalma, à direita explode, para cima significa ondulações mais rápidas.
Muitos sinais periódicos, até uma onda quadrada, podem ser montados somando giradores de velocidades diferentes (Fourier). Bem ao lado de um salto, a soma sempre ultrapassa o alvo em cerca de 9%.

June: "Então onde neste mapa mora o nosso drone?"

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