Capítulo 4

Por que as exponenciais são mágicas

Existe uma curva cuja inclinação é uma cópia de si mesma?

Capítulo 4: Por que as exponenciais são mágicas ↗

Multiplicando, de novo e de novo

Theo: Da última vez, a diferença entre o café e a temperatura ambiente diminuiu a uma taxa proporcional à própria diferença. Diferença grande, encolhimento rápido. Diferença pequena, encolhimento lento. Que tipo de curva faz isso?

June: O Capítulo 3 já deu uma dica. Cada passinho multiplicava a diferença pelo mesmo número. Então vamos começar pela máquina de multiplicar mais simples que existe: dobrar.

Pegue algo que dobra a cada segundo. Depois de 1 s você tem 2. Depois de 2 s, 2 × 2 = 4. Depois de 3 s, 2 × 2 × 2 = 8. Escrevemos isso como $2^t$ : o t pequenininho lá em cima conta quantas vezes multiplicamos por 2.

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Arraste o número de segundos para abaixo de zero, ou para meio segundo. Zero segundo significa que nada dobrou ainda, então $2^0 = 1$ . Um segundo para trás desfaz uma dobra: $2^{-1} = \tfrac12$ . E meio segundo tem de ser um número que, usado duas vezes, faça uma dobra inteira: $\sqrt2 \approx 1{,}41$ , porque 1,41 × 1,41 ≈ 2.

Mika: Então o expoente não precisa ser um número inteiro. É só "quanta multiplicação já aconteceu", e isso pode ser um pouco, muito ou até negativo.

Aqui estão essas dobras como uma escada de barras. Divida cada passo em metades, depois em quartos, depois em fatias minúsculas, e passeie com a lupa:

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Mika: Onde quer que eu coloque a lupa, o passo sobe a mesma fração da sua própria altura. Barras altas sobem muito, barras baixas sobem pouco, mas sempre a mesma fração.

Theo: Essa é exatamente a propriedade do café: a mudança é proporcional a quanto existe. E olhe a última leitura. Conforme os passos encolhem, subida ÷ altura por segundo se aproxima de um número, cerca de 0,69 para a dobra. Guarde essa ideia.

Crescendo em passos minúsculos

Mika: Já vi $e^t$ nos livros didáticos. $e$ não é só um número aleatório que os matemáticos gostam? 2,718 e alguma coisa, tanto faz.

June: Nada de discutir. Vamos montar uma regra de crescimento e ver que número sai dela.

A regra é esta: crescer 100% do que você tem, por segundo. O jeito preguiçoso de segui-la é dar um passo gigante: depois de 1 s você tem 1 + 1 = 2. Mas esse é o truque do passo gigante da June no Capítulo 3. Durante o segundo inteiro usamos a taxa de crescimento do início, mesmo com a pilha ficando cada vez maior.

Então dê passos menores. Dois passos de 50%: 1,5 × 1,5 = 2,25. Quatro passos de 25%: 1,25 × 1,25 × 1,25 × 1,25 ≈ 2,44. Cada passo faz crescer uma pilha que já cresceu.

Mika: Mais passos, mais crescimento! Com infinitos passos a gente teria uma quantidade infinita. Vou encher o bolso!

Preveja primeiro! Continue dividindo o segundo: mil passos, um milhão, quantos você quiser. O que acontece com o total depois de um segundo?

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Mika: Empacou! Cem passos, mil, e nunca passa de 2,718. Adeus, minha fortuna infinita.

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Esse teto é o número $e$ . É dele que os passos se aproximam quando ficam infinitamente pequenos:

e = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} \approx 2{,}71828

Theo: Agora mude o widget para encolher. Com $\left(1 - \frac1n\right)^n$ ele chega a $1/e \approx 0{,}368$ : sobram 36,8%, então 63,2% do caminho já foi. São os 63% da régua da constante de tempo do Capítulo 3!

June: E esse é o meu café! Corte um τ em n passos à mão, $\Delta t = \tau/n$ : cada passo multiplica a diferença por $1 - \frac1n$ , então depois de um τ a diferença é $\left(1 - \frac1n\right)^n$ do que era. Um passo gigante ( $n = 1$ ) cai exatamente na temperatura ambiente. Passos minúsculos deixam 36,8%.

Uma curva que se copia

Agora vamos caçar com uma régua. Queremos uma curva cuja inclinação, em cada ponto, seja um múltiplo fixo de sua altura. A escada diz que toda exponencial $b^t$ deveria servir: $2^t$ , $3^t$ e companhia. Coloque uma tangente em cada curva e divida sua inclinação por sua altura.

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Arraste o cursor ao longo de qualquer curva e a leitura de inclinação ÷ altura não se altera. Toda exponencial se copia, escalada por um número fixo. Para a base 2, esse número é cerca de 0,693 (o número do qual os passos cada vez menores da escada estavam se aproximando). Para a base 3, é cerca de 1,099.

E para exatamente uma base o número de escala é 1, então a curva da inclinação fica bem em cima da própria curva. Que base é essa?

\frac{d}{dt}\,e^{t} = e^{t}

Mika: É 2,718 de novo! O mesmo número que os passos minúsculos nos deram. Duas caçadas completamente diferentes, um só número. Ok, retiro o que disse: $e$ não é aleatório de jeito nenhum.

Theo: Claro que é o mesmo. "Crescer 100% do que você tem, por segundo, de forma suave" significa inclinação = altura. É um só desejo com duas fantasias.

Acelerando: e^(at)

Sistemas reais não mudam todos no mesmo ritmo, então vamos colocar um botão no expoente: $e^{at}$ . O número a estica ou comprime o tempo.

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Agora a inclinação ÷ altura é exatamente a, em todos os pontos da curva. Imagine por quê: $e^{at}$ é o filme de $e^{t}$ passado a vezes mais rápido, então toda inclinação fica a vezes mais íngreme. a positivo: ela cresce (e cresce cada vez mais rápido). a negativo: ela diminui em direção a zero, como a diferença do café. a = 0: ela simplesmente fica parada.

\frac{d}{dt}\,e^{at} = a\,e^{at}

O botão e a base são duas visões da mesma coisa: $e^{at} = \left(e^{a}\right)^{t}$ . A cada segundo, a curva se multiplica por $e^{a}$ .

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Preveja primeiro! Pegue a inclinação de $e^{2t}$ e depois pegue a inclinação dessa inclinação. O que você obtém?

\frac{d}{dt}e^{at} = a\,e^{at},\qquad \frac{d^2}{dt^2}e^{at} = a^2\,e^{at}

Theo: Espere, isso é enorme. Para exponenciais, calcular uma inclinação (cálculo) se transforma em multiplicar por a (apenas álgebra).

Adivinhe uma exponencial

Para uma regra em que a inclinação é só números fixos vezes a própria coisa (nada ao quadrado, nenhum número que muda com o tempo), como a nossa regra do café, podemos tentar uma exponencial: substitua e veja qual valor de a faz a regra ser verdadeira. Outros tipos de regras podem precisar de outras formas.

A regra do café era $\frac{dT}{dt} = -\frac{T - 20}{\tau}$ com τ = 10 min. Nossa suposição é $T = 20 + 70\,e^{at}$ (70 é a diferença inicial). Ajuste a até que a inclinação da suposição concorde com o que a regra exige.

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A álgebra concorda com o controle deslizante. A inclinação da suposição é $a \cdot 70e^{at}$ (o 20 nunca muda, então sua inclinação é 0, e o 70 só vai de carona). A regra quer $-70e^{at}/\tau$ . O $70e^{at}$ aparece em ambos os lados e se cancela:

a \cdot 70e^{at} = -\frac{70e^{at}}{\tau} \quad\Longrightarrow\quad a = -\frac{1}{\tau}

Theo: E cai exatamente nos pontos que construímos à mão no Capítulo 3. Adivinhe-uma-exponencial funciona. A equação que determina a é chamada de equação característica.

A mola quebra nosso truque

June: Vamos tentar em algo que quica. Uma massa numa mola é basicamente nosso drone sob controle P: puxada de volta com mais força quanto mais longe estiver do alvo.

A mola puxa de volta com força $-kx$ . Força = massa × aceleração, e aceleração é a inclinação da inclinação (Capítulo 3). Então a regra é:

m\,\frac{d^2x}{dt^2} = -k\,x

Adivinhe $x = e^{at}$ . A inclinação da inclinação é $a^2 e^{at}$ , então $m a^2 e^{at} = -k e^{at}$ . Cancele $e^{at}$ :

a^2 = -\frac{k}{m}

Com k/m = 4, precisamos de um número cujo quadrado seja −4. Procure um:

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Theo: Quadrados nunca são negativos. A parábola azul nunca chega à linha verde. Então não existe tal a. Nosso truque falha: molas simplesmente não podem ser descritas com exponenciais.

Mika: Mas a mola está bem ali, quicando alegremente. Ela tem um movimento. Talvez não seja a mola que está errada, talvez seja nossa ideia do que conta como um número?

Theo: …Hmm. Vou admitir que falei "nenhum número" um pouco rápido demais. Todo número que eu conheço elevado ao quadrado dá algo positivo.

O que sabemos até agora

O que descobrimos

$b^t$ significa "multiplicar por b, t vezes", e t pode ser qualquer coisa: $2^0 = 1$ , $2^{-1} = \tfrac12$ , $2^{0{,}5} = \sqrt2$ .
Crescer 100% por segundo em passos cada vez menores se estabiliza em $e \approx 2{,}718$ . Encolher do mesmo jeito deixa $1/e \approx 0{,}368$ : a régua dos 63% do Capítulo 3.
A inclinação de toda exponencial é uma cópia de si mesma: inclinação ÷ altura é constante.
$e \approx 2{,}718$ é a base em que essa razão é exatamente 1. Com $e^{at}$ a razão é a.
Tomar a inclinação de $e^{at}$ apenas multiplica por a. O cálculo vira álgebra.
Chute uma exponencial, substitua na regra e resolva para a. Para o café, a = −1/τ.
Para uma mola, o chute exige $a^2 = -k/m$ , e nenhum número comum faz isso. Ainda.

O drone e a mola oscilam. Exponenciais só crescem ou diminuem. A menos que… um número possa elevar ao quadrado e dar negativo?

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