Capítulo 5

Números Giratórios

Que tipo de número poderia elevar ao quadrado e dar −1, e por que ele iria oscilar?

Números são setas

Mika: Da última vez, a mola precisou de um número com $a^2 = -4$ . Theo disse que tal número não existe. Mas como ele seria de verdade?

Imagine cada número como uma seta a partir do 0 ao longo da reta numérica. Multiplicar por 2 estica a seta. Multiplicar por ½ a encolhe. E multiplicar por −1 a inverte para apontar no sentido contrário. Isso é uma meia volta.

June: Ooh. Se ×(−1) é meia volta… o que é metade de uma meia volta? Um quarto de volta! A seta apontaria direto para cima, fora da reta numérica.

Vamos dar um nome ao quarto de volta: i. Faça duas vezes e você terá meia volta, que é ×(−1). Então $i \cdot i = -1$ . Aí está o nosso número que ao quadrado dá negativo!

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i^2 = -1 \qquad\text{(dois quartos de volta = meia volta)}

Theo: Calma aí. Esses são os "números imaginários". Todo mundo sabe que são inventados. Eles não podem descrever uma mola real e física.

June: Eles não são imaginários, são laterais! É só uma seta 2-D. Virar à esquerda é tão real quanto andar para frente.

Um número como $3 + 2i$ significa apenas "3 passos para frente, 2 passos para o lado". Todo o plano de setas é o palco para tudo o que vem a seguir.

Medindo voltas

June: Se i é um quarto de volta, vamos passar o dia inteiro girando setas. Então como dizemos o quanto uma seta girou?

Graus são um costume antigo: 360 deles numa volta, porque um calendário antigo gostava de 360. Os matemáticos medem uma volta com o próprio círculo. Role uma roda de raio 1 e veja quanto o seu aro percorre. Um radiano é o ângulo cujo arco tem exatamente um raio de comprimento.

Preveja primeiro! Quantos radianos formam uma volta completa?

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Acompanhe a ponta da seta enquanto ela gira. Sua sombra no eixo real se chama cosseno do ângulo, $\cos\theta$ ; sua sombra no eixo lateral é o seno, $\sin\theta$ (nos livros brasileiros, sen θ). Gire sem parar e as duas sombras traçam ondas, o seno um quarto de volta atrás do cosseno.

Mika: Entendi. Então um girador a 2 radianos por segundo dá duas voltas por segundo!

Theo: Duas vezes por segundo seriam 2 voltas, $4\pi$ radianos. Dois radianos por segundo é uma volta completa a cada $2\pi/2 \approx 3{,}14$ segundos.

Palavras novas

Radiano: O ângulo cujo arco tem um raio de comprimento. Uma volta completa é $2\pi$ radianos, meia volta é $\pi$ .
Cosseno e seno: As sombras de uma seta de comprimento 1 no ângulo θ: $\cos\theta$ ao longo do eixo real, $\sin\theta$ de lado.

Um número que gira

Velocidades de giro são medidas em radianos por segundo: um girador a 2 radianos por segundo dá uma volta completa em $2\pi/2 \approx 3{,}14$ segundos. O símbolo ω nos diz essa velocidade de giro.

Agora imagine um ponto percorrendo um círculo a uma velocidade constante, ω radianos por segundo. Para onde aponta sua velocidade? (Aqui é a velocidade do Capítulo 3 com uma direção, a velocidade vetorial da física da escola, então a velocidade de uma seta em movimento também é uma seta: para onde sua ponta se move, e com que rapidez.) Sempre ao longo do círculo, que está um quarto de volta à frente da seta que aponta para o ponto.

Um quarto de volta é ×i, e a velocidade é ω vezes o raio. Então a velocidade é a posição girada um quarto de volta, vezes ω: velocidade = iω × posição.

Theo: Espere. "A inclinação é um número fixo vezes ela mesma" é exatamente a propriedade da exponencial do Capítulo 4! Com a = iω.

Mika: Mas espera aí. No Capítulo 4, uma potência significava "quanta multiplicação já aconteceu". O que $e$ elevado a $i\theta$ poderia sequer significar? Multiplicar por $e$ , $i\theta$ vezes?

June: Construa do jeito do Capítulo 4. $e$ era $n$ passos minúsculos, cada um crescendo $\frac1n$ . Agora faça de cada passo minúsculo um empurrãozinho para o lado.

e^{i\theta} = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{i\theta}{n}\right)^{n}

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Cada passo gira a seta por um ângulo minúsculo, cerca de $\theta/n$ radianos, e a estica um pouquinho. Com mais passos o esticamento some e o caminho pousa no círculo, exatamente θ radianos adiante. É por isso que usamos radianos: os empurrõezinhos laterais se somam ao longo do aro. Então $e^{i\theta}$ é simplesmente o ponto do círculo no ângulo θ.

Então $e^{i\omega t}$ não é nada assustador. É um ponto girando em torno do círculo de raio 1, ω radianos a cada segundo. Observe-o, e observe sua sombra no eixo real:

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\begin{aligned}\frac{d}{dt}\,e^{i\omega t} &= i\omega\,e^{i\omega t} \\ \text{sombra no eixo real} &= \cos(\omega t)\end{aligned}

A sombra desliza para frente e para trás como uma onda cosseno perfeita. Uma seta girando, vista de lado, é uma oscilação. É aí que a oscilação estava se escondendo.

O que sabemos até agora

O que descobrimos

Números são setas. Multiplicar gira e estica elas. i é um quarto de volta, então $i^2 = -1$ .
Um radiano é o ângulo cujo arco tem um raio de comprimento: uma volta completa é $2\pi$ . cos θ e sin θ são as sombras de uma seta girada.
$e^{i\theta}$ , construído com passos minúsculos para o lado $\left(1 + \frac{i\theta}{n}\right)^n$ , é o ponto do círculo no ângulo θ.
$e^{i\omega t}$ é um ponto girando em torno de um círculo. Sua sombra é uma onda cosseno.
A velocidade de um girador está sempre um quarto de volta à frente da sua posição: velocidade $= i\omega \times$ posição. É a regra da exponencial com $a = i\omega$ .

Mika: "Então o número misterioso da mola existe, afinal: é 2i. Isso quer dizer que uma mola de verdade balança para o lado?"

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