Capítulo 3

A Linguagem da Mudança

Como descrevemos quão rápido algo está mudando?

Inclinação é velocidade

Theo: Ficamos dizendo "lento", "oscilante", "estabiliza". June tem razão: isso são sensações, não matemática. Quero uma forma precisa de dizer quão rápido o drone está mudando.

June: Vamos reproduzir nosso drone do Capítulo 2 (Kp = 20 N/m) e observar de perto.

A curva azul é a altura do drone ao longo do tempo. Velocidade é quanto a altura muda por segundo. No gráfico, isso é quão íngreme a curva está em um dado momento. Coloque uma régua ao longo da curva de modo que ela apenas a toque em um ponto. Essa régua é a reta tangente, e sua inclinação é a velocidade.

Mika: Fácil: o drone está mais rápido no topo da subida, porque é onde está mais alto!

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Theo: Coloque o cursor no topo da subida. A tangente é plana. A velocidade é zero ali!

Mika: Ah. O drone sobe, perde velocidade para cima, para por um instante no topo e cai de volta. Alto e rápido são coisas totalmente diferentes.

O momento mais rápido é, na verdade, no meio da subida, onde a curva é mais íngreme. E quando a curva vai para baixo, a inclinação é negativa: o drone está caindo.

Essa "inclinação em um instante" ganha um nome: a derivada. Escrevemos como uma pequena variação na altura dividida pelo pequeno tempo que levou. Em símbolos, $\Delta h / \Delta t$ se lê "variação da altura sobre variação do tempo": a letra grega Δ (delta) é a abreviação de variação de.

\begin{gathered}\text{velocidade} = \frac{d\out{h}}{dt} \\[1em] \approx \frac{\text{variação da altura}}{\text{variação do tempo}} \\[1em] (\text{em um intervalo muito curto})\end{gathered}

Uma regra para a velocidade

June: Meu café esfria rápido no começo e depois bem devagar. Ele nunca chega exatamente à temperatura ambiente.

Theo: Porque a velocidade de resfriamento depende de quanto ainda falta para chegar lá. Uma caneca bem quente perde calor rapidamente. Uma caneca mal morna quase não perde nada.

Vamos escrever isso como uma regra para a inclinação. A temperatura do café é T, o ambiente é 20 °C:

\frac{d\out{T}}{dt} = -\frac{\out{T} - \sp{T_{\text{ambiente}}}}{\tau}

O sinal de menos diz "esfrie quando estiver mais quente que o ambiente". O número τ (tau, a constante de tempo) diz o quão lenta é a caneca. Imagine assim: τ é o tempo que o café levaria para chegar à temperatura ambiente se continuasse esfriando na velocidade inicial. Para uma caneca normal, τ ≈ 10 minutos.

Aqui está o enigma: a regra só nos diz a inclinação agora. Conseguimos obter a curva inteira a partir dela? Vamos construí-la à mão: olhe a inclinação, caminhe ao longo dela por um tempinho (Δt), olhe a nova inclinação, caminhe de novo…

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June: Doze passinhos é entediante. Vou dar passos de 15 minutos e terminar num instante.

June: …Espera. O café está a −15 °C?! Ele congelou num ambiente quente?

Theo: A regra está certa. O problema são os passos. Num passo gigante você continua usando a inclinação acentuada do início do passo, muito depois de ela ter deixado de ser verdadeira. Você passa direto pela temperatura ambiente.

Podemos ver exatamente o quanto. Cada passo multiplica a diferença até a temperatura ambiente pelo mesmo número:

\text{diferença}_{\text{próximo}} = \left(1 - \frac{\Delta t}{\tau}\right) \cdot \text{diferença}

Δt menor que τ: o fator fica entre 0 e 1. A diferença diminui, sem ultrapassar o alvo.
Δt exatamente τ: o fator é 0. Um passo cai exatamente na temperatura ambiente: é a velocidade inicial mantida durante um τ inteiro.
Δt entre τ e 2τ: o fator é negativo. O café ultrapassa para baixo da temperatura ambiente, depois para cima, oscilando de um lado para o outro enquanto as oscilações diminuem.
Δt maior que 2τ: o fator é menor que −1. As oscilações crescem a cada passo. Café sem sentido.

Mika: Isso é o chuveiro! Agir com muita ousadia com base em informação velha faz você oscilar.

Faça Δt pequeno e ligue a curva suave. Os pontos construídos à mão caem exatamente sobre ela. Essa forma suave é chamada de decaimento exponencial. Ela ganha seu próprio capítulo a seguir.

O café de verdade nunca mantém sua velocidade inicial: a inclinação diminui conforme a diferença diminui. Então, depois de um τ, ele fechou só cerca de 63% da diferença, não ela toda. Na régua abaixo, a linha tracejada é a velocidade inicial mantida; a curva é o que acontece de verdade. De onde vêm esses 63%? O Capítulo 4 mostra.

A constante de tempo é uma régua

Preveja primeiro! Depois de uma constante de tempo, o café fechou 63% da diferença até a temperatura ambiente. Depois de duas constantes de tempo, quanto da diferença foi fechado?

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Após 1τ: 63%. Após 2τ: 86%. Após 3τ: 95%. Nunca chega exatamente lá, mas depois de cerca de 4–5 τ ninguém percebe. Mude para o tanque: ele enche por um cano ligado a um grande reservatório com a água a 1,2 m, e o fluxo é empurrado pela diferença de nível, então ele desacelera conforme o nível do tanque alcança o do reservatório. A regra é a mesma ("a taxa é proporcional a quão longe está de cheio") e a forma também.

June: Então τ é uma régua embutida. Me diga τ e eu sei quão lenta uma coisa é, seja uma caneca, um tanque ou um drone.

Palavras novas

Derivada: A inclinação de uma curva em um instante: quão rápido algo muda. Escrita $\frac{dh}{dt}$ ou $\dot h$ .
Sistema de primeira ordem: Algo cuja taxa de variação é proporcional a quão longe está de onde está indo (café, tanques). Sua curva é uma exponencial.
Constante de tempo τ: Quanto tempo um sistema de primeira ordem levaria para chegar se mantivesse sua velocidade inicial. Na verdade, nesse tempo ele percorre 63% da distância restante.

Indo ao contrário: somando área

Theo: A inclinação transforma altura em velocidade. Podemos ir ao contrário? Suponha que o sensor do drone só nos diga sua velocidade. Onde ele está?

Se você voa a uma velocidade constante de 2 m/s por 3 s, você sobe 6 m: velocidade × tempo. Em um gráfico de velocidade versus tempo, isso é a área de um retângulo. Quando a velocidade fica mudando, fatie o tempo em tiras finas, trate cada tira como um retângulo e some todas.

Passe o cursor e veja a área sombreada crescer. A curva azul abaixo é simplesmente a área até agora. Onde a velocidade cai abaixo de zero (o drone desce), a área conta como negativa e a altura diminui.

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Mika: A área acumulada cai exatamente na altura real. A inclinação leva você em um sentido, a área traz de volta.

Essa operação de "acumular a área" é chamada de integral. Seu sinal ∫ é um S esticado, de soma: uma soma de faixas finas. O pequeno $dt$ é a largura de cada faixa, e o $0$ e o $t$ dizem onde começar e parar de somar:

\out{h}(t) = \out{h}(0) + \int_0^{t} \text{velocidade}\;dt

A inclinação de uma inclinação

Mika: O Capítulo 1 nos prometeu uma coisa. A equação do drone tinha dois pontos sobre $h$ . Um ponto é a velocidade. E o segundo?

A velocidade também é uma curva, então ela também tem uma inclinação: quão rápido a velocidade muda. Isso é a aceleração, a inclinação de uma inclinação. Abaixo, o mesmo voo três vezes: a altura, sua inclinação (a velocidade) e a inclinação dessa inclinação (a aceleração), todas no mesmo cursor de tempo.

Preveja primeiro! Bem no topo da subida, a velocidade é zero. Qual é a aceleração ali?

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Mika: Eu disse zero! Mas no topo a curva da velocidade está no ponto mais íngreme ladeira abaixo. Velocidade zero não quer dizer empurrão zero.

Dois pontos significam a inclinação da inclinação. Existe um terceiro jeito de escrever inclinações, com pequenas marcas chamadas linhas: $h'$ ("h linha") para a inclinação, $h''$ ("h duas linhas") para a inclinação da inclinação. Três grafias, uma ideia só:

Palavras novas

$\dot h = h' = \frac{dh}{dt}$: A inclinação de $h$ : sua velocidade.
$\ddot h = h'' = \frac{d^2 h}{dt^2}$: A inclinação da inclinação: a aceleração.
$\Delta$: "Variação de": $\Delta t$ é um passo de tempo.
$\int$: Um S esticado, de "soma": somar área.

Agora a equação do Capítulo 1 se lê como uma frase. Massa vezes aceleração é igual a tudo o que empurra: o empuxo para cima, o peso para baixo e o arrasto contra a velocidade. É a lei de Newton, um termo de cada vez:

\underbrace{0{,}5\,\ddot{\out{h}}}_{\text{massa}\times\text{aceleração}} = \underbrace{\eff{T}}_{\text{empuxo}} - \underbrace{4{,}9}_{\text{peso}} - \underbrace{1{,}0\,\dot{\out{h}}}_{\text{arrasto}\,\times\,\text{velocidade}}

Theo: Então a regra do café era sobre a velocidade dele, e a regra do drone é sobre a aceleração: uma inclinação mais fundo. É por isso que o drone consegue ultrapassar o alvo e oscilar, e o café nunca?

June: Só pode ser. A velocidade do café só acompanha a diferença. A velocidade do drone precisa ser acumulada e gasta, então ele ainda pode estar se movendo quando chega lá.

O que sabemos até agora

O que descobrimos

A derivada é a inclinação de uma curva em um instante: quão rápido ela está mudando. Alto e rápido são coisas diferentes.
Uma regra como "esfrie mais rápido quanto mais quente você estiver" define a curva inteira: uma aproximação exponencial.
A constante de tempo τ é uma régua: 63% do caminho após τ, 86% após 2τ, 95% após 3τ.
Construir curvas com passos grandes demais cria sobressinal e oscilações falsas, assim como no chuveiro.
A inclinação da inclinação é a aceleração: $\ddot h$ , ou $h''$ . A equação do drone do Capítulo 1 é uma regra para ela.
A integral acumula área e desfaz a derivada.

Theo: "A curva do café tinha uma propriedade curiosa: sua inclinação era sempre proporcional à diferença que ainda faltava. Existe alguma curva cuja inclinação seja proporcional a ela mesma?"

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